對(duì)第二類曲面積分的一種有效計(jì)算方法的探討

張曉蓉 崔周進(jìn)

摘要：第二類曲面積分的計(jì)算是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)。在教學(xué)過(guò)程中，教師往往更強(qiáng)調(diào)利用二重積分和高斯公式來(lái)計(jì)算第二類曲面積分，從而忽視了更有效的計(jì)算方法。此方法主要從兩類曲面積分的關(guān)系出發(fā)，通過(guò)實(shí)現(xiàn)它們之間的轉(zhuǎn)化，達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算的目的。

關(guān)鍵詞：第二類曲面積分；計(jì)算公式；投影區(qū)域

第二類曲面積分（即對(duì)坐標(biāo)的曲面積分）的計(jì)算是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)重難點(diǎn)。書上給出了兩種基本方法，不再贅述。下面介紹一種更有效的計(jì)算方法。此方法主要是利用第一類曲面積分與第二類曲面積分的關(guān)系來(lái)實(shí)現(xiàn)兩種曲面積分之間的轉(zhuǎn)化，從而達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算的目的。

設(shè)S為光滑曲面，α、β、γ分別為S上的指定法線方向與x軸，y軸及z軸正向的夾角，若P、Q、R為S上的連續(xù)函數(shù)，則

（*）

例：計(jì)算 ，其中，S是x2+y2+z2=α2的外側(cè)。

[解]球面外側(cè)法向量，方向余弦為，，，由（*）式得

[注]此題可化為二重積分來(lái)計(jì)算，但不如上法簡(jiǎn)潔。

例：設(shè)f（x， y， z）為連續(xù)函數(shù)，S為平面x-y+z=1在第四卦限部分的上側(cè)，求

[解]被積函數(shù)中含有抽象函數(shù)，不好直接計(jì)算；又為平面x-y+z=1在第四卦限部分，其法向量的方向余弦是定值，因此可以考慮利用（*）式進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

平面S上側(cè)任一點(diǎn)法向量的方向余弦為，，，則

通過(guò)（*）式，一方面可以把對(duì)坐標(biāo)的曲面積分轉(zhuǎn)化為對(duì)面積的曲面積分，簡(jiǎn)化計(jì)算，如上面兩個(gè)例題；另一方面還可以推導(dǎo)出以下很有用的公式。

當(dāng)曲面S由方程z=z（x， y）給出時(shí)，有

從而dydz=-zxdxdy，dzdx=-zydxdy，則

（S為上側(cè)取正，下側(cè)取負(fù)）

這樣本來(lái)是對(duì)三個(gè)坐標(biāo)面的積分，現(xiàn)在就轉(zhuǎn)化為對(duì)xOy這一個(gè)坐標(biāo)面的積分，計(jì)算量大大減少。

類似地還可以把 轉(zhuǎn)化為僅對(duì)yOz面或zOx面上的積分。在做題時(shí)，到底應(yīng)該轉(zhuǎn)化到哪個(gè)坐標(biāo)面上呢？一要看曲面S的方程，看可以寫成z=z（x， y）、y=y（x， z）、x=x（y， z）三種形式中的哪一個(gè)；二要看S在哪個(gè)坐標(biāo)面上的投影區(qū)域比較簡(jiǎn)單、規(guī)則，因?yàn)檗D(zhuǎn)化之后，最終是要計(jì)算一個(gè)二重積分。

總之，從第一類曲面積分與第二類曲面積分的關(guān)系出發(fā)，對(duì)于第二類曲面積分，我們可以把它化為第一類曲面積分計(jì)算，也可以化為對(duì)一個(gè)坐標(biāo)面的積分，使計(jì)算得到簡(jiǎn)化。而且還可以推廣到一般的曲面方程，應(yīng)用更加廣泛。

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