一類可逆飽和生化系統(tǒng)的定性分析

徐 姜

在微分動力系統(tǒng)中，研究生化系統(tǒng)極限環(huán)的存在唯一性是十分重要的問題.1984年，廖山濤證明了三維離散系統(tǒng)和四維無奇點(diǎn)常微系統(tǒng)穩(wěn)定推測.1997年，吳云華用數(shù)學(xué)的方法證明了系統(tǒng)正奇點(diǎn)存在唯一的充要性條件.2001年，孫寶法給出了二次系統(tǒng)恰有一個無窮遠(yuǎn)奇點(diǎn)的充要條件.可逆飽和的生化系統(tǒng)是相對比較難的研究對象.本文應(yīng)用了微分動力學(xué)理論在對一類可逆多分子飽和模型進(jìn)行研究，其模型如下.

1 平衡點(diǎn)的分析

由于系統(tǒng)（1）具有一定的生態(tài)意義，所以討論區(qū)域?yàn)镚={(x,y)|x≥0,y≥0}.經(jīng)過計(jì)算得到，當(dāng)b≤a時，系統(tǒng)（1）無正奇點(diǎn)，這種情況得出系統(tǒng)（1）在G內(nèi)無極限環(huán).當(dāng)b＞a時，系統(tǒng)（1）存在唯一正奇點(diǎn)M(A,B)，其中，

對系統(tǒng)（1）作變換

經(jīng)過變換，仍以x,y代替x1,y1得到該系統(tǒng)的一階線性近似方程

由此可以判定正奇點(diǎn)M(A,B)為非鞍初等奇點(diǎn).系統(tǒng)（2）在(0,0)處的特征方程是

記p=(B+b)[naB-1-(1+c)B5-(1+c)B5]+a-d，則當(dāng)p＞0時，M為不穩(wěn)定的焦點(diǎn)或結(jié)點(diǎn)；當(dāng)p＜0時，M為穩(wěn)定的焦點(diǎn)或結(jié)點(diǎn)；當(dāng)p=0時，M為一階穩(wěn)定的細(xì)焦點(diǎn).

2 極限環(huán)的存在唯一性

定理1 當(dāng)d＞a且p＞0時，系統(tǒng)（1）在G內(nèi)奇點(diǎn)M(A,B)的外圍至少存在一個穩(wěn)定的極限環(huán).

證明 先構(gòu)造環(huán)域，當(dāng)P＞0時，系統(tǒng)（1）的正奇點(diǎn)M為不穩(wěn)定的焦點(diǎn)或結(jié)點(diǎn)，根據(jù)環(huán)域定理，要構(gòu)造一條外境界線，讓它包圍正奇點(diǎn)M，這樣系統(tǒng)（1）的軌線與外境界線相交時，當(dāng)變量t增大時，它都是從外入內(nèi).作等傾線，如圖1所示.

圖1 軌線示意圖

Γ1:a-xy5+cy=0，Γ2:xy5-cy6-dy/(y+6)=0，如圖1，G被Γ1和Γ2分為4個區(qū)域，其向量場為（I）

由向量場理論以及解對初值的連續(xù)依賴性可知，有點(diǎn)C(0,yc)存在，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)C的正半軌線一定與Γ2相交于點(diǎn)D(xd,yd)，過點(diǎn)D作線段DE，交Γ1于點(diǎn)E，它平行于x軸.

在DE上，再過E作線段EF，交Γ1于點(diǎn)F(xF,yF)，它平行于y軸，且yF＞B，在EF上.過點(diǎn)F作直線L=x+y-(xF+yF)=0，交y軸于點(diǎn)G，則=-(d-a)(y-B)/(y+b)＜0(y＞yF＞B)，在GC上.則Γ=CDEFGC為封閉曲線，它就成為一條圍繞M的外境界線，且系統(tǒng)（1）的軌線與外境界線相交時，當(dāng)變量t增大時，它都是從外入內(nèi)的.由環(huán)域原理知，系統(tǒng)（1）在Ω內(nèi)至少存在一個穩(wěn)定的極限環(huán).

3 極限環(huán)的不存在性

為了討論系統(tǒng)（1）的極限環(huán)的不存在性，將系統(tǒng)（1）化為Lienard系統(tǒng).對系統(tǒng)（1）作變換.

u=y-B,v=x+y-(A+B),dτ=(u+B)5dt，仍記τ為t，則系統(tǒng)（1）化為Lienard型方程.

其中，-B＜u＜+∞，-(A+B)＜v＜+∞，F(xiàn)(u)=

系統(tǒng)（1）的奇點(diǎn)M(A,B)對應(yīng)于（3）的奇點(diǎn)O(0,0)，故以下僅在區(qū)域 Ω={(u,v)|u＞-B,v＞-A-B}上對系統(tǒng)（3）討論.

對系統(tǒng)（3）作菲里波夫變換Z=G(u)=分別表示Z=G(u)在u＞0及 -B＜u＜0上 的 反 函 數(shù) ，則 有ui(0)=0,(i=1,2)，記Fi(Z)=F(ui(Z)),(i=1,2).

引理 1 若d＞a，且p＜0,則F1(Z)＞F2(Z)(Z＞0).

定理2 若d＞a，且p＜0,，則系統(tǒng)（1）在Ω區(qū)域內(nèi)不存在極限環(huán).

證明 系統(tǒng)（3）的軌線L=L1+L2也是微分方程的積分曲線，現(xiàn)分別在u＜0(u＞0)上對該式作變換u=u1(Z),(u=u2(Z))，則有

由引理知，F(xiàn)1(Z)＞F2(Z)(Z＞0)，又F1(0)=F2(0)=0.則，在 (v,Z)平面上，由v負(fù)半軸上同一點(diǎn)出發(fā)的兩個方程（4）和（5）的積分曲線在Z≥0半平面上是沒有交點(diǎn)的，這就是說在(u,v)平面上時，系統(tǒng)（3）一定沒有閉軌線，所以系統(tǒng)（1）不存在極限環(huán).

4 結(jié)論

本文通過常微分方程的定性理論，研究了一類可逆飽和生化系統(tǒng)的平衡點(diǎn)和極限環(huán)存在、唯一及不存在的條件.當(dāng)條件更復(fù)雜時，研究起來更加困難.