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      例談給定含參線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解問(wèn)題

      2018-10-18 10:59:04張文斌
      新課程·下旬 2018年5期
      關(guān)鍵詞:實(shí)數(shù)斜率題意

      張文斌

      “題設(shè)給出x,y滿足的二元一次不等式組,以及含參線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解的個(gè)數(shù),求參數(shù)的取值范圍或參數(shù)的值”,此類(lèi)問(wèn)題的求解具有一定的難度,需要在變化過(guò)程中去靈活思考分析,同時(shí)還需要考慮全面,防止遺漏,請(qǐng)看以下歸類(lèi)解析.

      類(lèi)型一:給定含參線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解“唯一”

      一般地,根據(jù)x,y滿足的二元一次不等式組,以及含參線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解唯一,求參數(shù)的取值范圍,其關(guān)鍵是讓線性目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線繞著最優(yōu)解對(duì)應(yīng)的點(diǎn)“旋轉(zhuǎn)分析”,以便考慮全面.

      例1.已知實(shí)數(shù)x,y滿足線性約束條件x-y-2≤0x+2y-5≥0y-2≤0,若目標(biāo)函數(shù)z=kx+y當(dāng)且僅當(dāng)x=3,y=1時(shí)取得最小值,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________.

      分析:由于目標(biāo)函數(shù)z=kx+y中涉及參數(shù)k,所以動(dòng)直線

      y=-kx+z(將z看作常量)的斜率不是常數(shù),故本題需要根據(jù)最優(yōu)解唯一以及動(dòng)直線的斜率與可行域中邊界直線的斜率的大小關(guān)系,加以靈活分析.

      解析:如圖,先畫(huà)出可行域,易求得點(diǎn)A(3,1).于是,讓動(dòng)直線y=-kx+z(將z看作常量)繞點(diǎn)A“旋轉(zhuǎn)分析”易知:應(yīng)滿足

      kAC<-k

      又易知kAC=-,kAB=1,所以-<-k<1,即-1

      故所求實(shí)數(shù)k的取值范圍是(-1,).

      評(píng)注:由于最優(yōu)解對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是唯一確定的,故可讓直線繞點(diǎn)“旋轉(zhuǎn)分析”,其目的是全面考慮動(dòng)直線的各種可能位置中,有哪些是適合題意的.

      類(lèi)型二:給定含參線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解“有無(wú)窮多個(gè)”

      一般地,根據(jù)x,y滿足的二元一次不等式組,以及含參線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解有無(wú)窮多個(gè),求參數(shù)的值,其關(guān)鍵是將“平移直線法”和“分類(lèi)與整合思想”加以靈活、綜合運(yùn)用,以便考慮全面.

      例2.設(shè)變量x,y滿足約束條件x-y+2≥02x+3y-6≥03x+2y-9≤0,若z=kx-y(k∈R)取得最小值時(shí)的最優(yōu)解有無(wú)窮多個(gè),則實(shí)數(shù)k的值為

      ( )

      A.1或- B.1或-

      C.-1或 D.-或-

      分析:由于目標(biāo)函數(shù)z=kx-y中涉及參數(shù)k,所以動(dòng)直線y=kx-z(將z看作常量)的斜率不是常數(shù),故本題需要根據(jù)題設(shè)最優(yōu)解有無(wú)窮多個(gè)以及動(dòng)直線的斜率與零的大小關(guān)系加以討論分析.

      解析:如圖,畫(huà)出可行域,利用平移直線法分析可知:

      當(dāng)k>0時(shí),為滿足題意應(yīng)使動(dòng)直線y=kx-z與直線AB的斜率相等,所以有k=1(對(duì)應(yīng)最優(yōu)解為線段BC上任一點(diǎn)的坐標(biāo));

      當(dāng)k=0時(shí),顯然不適合題意;

      當(dāng)k<0時(shí),為滿足題意應(yīng)使動(dòng)直線y=kx-z與直線BC的斜率相等,所以有k=-(對(duì)應(yīng)最優(yōu)解為線段BC上任一點(diǎn)的坐標(biāo)).

      綜上可知,本題應(yīng)選B.

      評(píng)注:一般地,若最優(yōu)解有無(wú)窮多個(gè),則最值情景一定滿足目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的動(dòng)直線與可行域的邊界直線重合.特別提醒:動(dòng)直線與邊界直線重合時(shí),目標(biāo)函數(shù)是取得最小值還是最大值,則需要根據(jù)教材給出的最值規(guī)律加以具體判斷.

      綜上所述,處理此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵在于將靜態(tài)的問(wèn)題放置到一系列的運(yùn)動(dòng)變換過(guò)程中去加以思考分析.這樣求解具體問(wèn)題,有利于從運(yùn)動(dòng)變換的角度對(duì)問(wèn)題進(jìn)行探究.值得一提的是,我們要注意具體“動(dòng)”的方式,通過(guò)在“動(dòng)”中去關(guān)注、運(yùn)用題設(shè)條件,從而可幫助我們順利分析、解決目標(biāo)問(wèn)題.

      ?誗編輯 魯翠紅

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