漫談古詩與數(shù)學

【編者按】數(shù)學和古詩兩者看似風馬牛不相及，實則關(guān)系密切：鄭霽光老師的漫談以對比的方式點出古詩與數(shù)學的相通之處，令人茅塞頓開；李尚志教授以一元微積分入詩，讓古詩中的數(shù)學充滿哲理與樂趣。本期“學海新知”我們將在詩歌的海洋里暢游，途中遇到的無不是美麗的數(shù)學符號與公式定理。

談?wù)撛姼枧c數(shù)學時，有人專注于介紹詩歌中數(shù)字與圖形的運用，譬如“一望二三里，煙村四五家”“大漠孤煙直，長河落日圓”，但數(shù)字與圖形很難在整體上代表數(shù)學；有人將古代數(shù)學著作中的問題或解答作為詩歌來探討，譬如“三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子團圓正半月，除百零五便得知”（《算法統(tǒng)宗》），而這些著作很難說能代表古代詩歌?；蛟S我們可以從宏觀的角度來認識數(shù)學與古代詩歌的關(guān)系。

公理與形式

數(shù)學與詩歌都遵循一定的理論范式。譬如，公理系統(tǒng)是數(shù)學的重要根基。歐氏幾何的大廈建立于如下五條公理之上：

（1）過相異兩點，能且只能作一條直線；

（2）任意線段可以無限延伸；

（3）以任意一點為圓心，任意長度為半徑，可以做一圓；

（4）凡是直角都相等；

（5）兩直線被第三條直線所截，若同側(cè)兩內(nèi)角和小于兩直角和，則兩直線會在該側(cè)相交。

其中，第五公理又稱平行公理，其等價于“在平面內(nèi)，過直線外一點可且僅可作一條直線與該直線平行”。修改該公理可以得到不同的非歐幾何學，如雙曲幾何與黎曼幾何。

對應(yīng)的，古詩中的律詩、絕句、詞、曲都遵循一定的規(guī)范形式。雖然常見體裁一直在變，但詩歌理論的傳承與革新賦予了其強大的生命力?！对娊?jīng)》中的“六義”—風、雅、頌、賦、比、興，前三者為詩體，后三者為表現(xiàn)手法。從《詩經(jīng)》中常見的四言詩，到唐詩中常見的五言、七言，到宋詞中常見的長短句，再到元曲等，每個時代常見的詩歌體裁和時代背景皆有深刻的聯(lián)系。然而，對起承轉(zhuǎn)合的運用，對格律與對仗的講究，對美的追求和情感表達是一脈相承的。

符號與象征

數(shù)學符號讓人們能更好地推廣與使用數(shù)學這門工具。那么，詩歌中的符號是什么？原來，這是一些帶有象征意義的字詞。比如，“子衿”是以衣服指代戀人，“青青子衿，悠悠我心”；“蓮”通“憐”，故言蓮多愛慕，“低頭弄蓮子，蓮子清如水”；秋風多感傷，“人生若只如初見，何事秋風悲畫扇”；“柳”通“留”，故言柳或送別或思鄉(xiāng)，“昔我別時，楊柳依依”“此夜曲中聞?wù)哿?，何人不起故園情”；此外，落花/亂紅、夕陽、子規(guī)、鴻雁、羌笛等常見的字詞也往往是詩人表達感情的符號，是讀者理解詩歌的基本意象。

對稱與對仗

數(shù)學家赫爾曼·外爾有本知名的小冊子《對稱》，基于群論介紹了對稱的概念與旋轉(zhuǎn)不變性，以及對物理學中的對稱的思考。在中學數(shù)學里面，函數(shù)的奇偶性、函數(shù)與反函數(shù)、平面幾何的軸對稱和中心對稱、以及圖像的平移和旋轉(zhuǎn)等都涉及對稱性。理解對稱思維無論是在初等數(shù)學還是高等數(shù)學中都非常重要。

與此對應(yīng)，中國古代詩歌中的對仗和互文見義是某種對稱性的體現(xiàn)。將滿足韻律要求的同類意象分別寫入上下兩句，讓表達的內(nèi)容深刻而別致，且朗朗上口。譬如“落霞與孤鶩齊飛，秋水共長天一色”“鳥宿池邊樹，僧敲月下門”“身無彩鳳雙飛翼，心有靈犀一點通”……駢文與律詩推動了楹聯(lián)的發(fā)展，讓對仗工整的對聯(lián)進入千家萬戶。

讀詩與解題

詩歌注重語言與意境。通過讀詩結(jié)合背景去感受詩人寫詩的環(huán)境和心境，去理解當時詩人在想什么，做什么。屈原說“惟草木之零落兮，恐美人之遲暮”，其中的美人用于指代君王；崔顥寫姑娘“停船暫借問，或恐是同鄉(xiāng)”來婉轉(zhuǎn)地搭訕帥哥；朱慶馀的“妝罷低眉問夫婿，畫眉深淺入時無”暗藏著詢問考試成績。要讀懂詩歌，體會詩歌之美，就要推敲用詞之妙，感受“兩句三年得，一吟雙淚流”；亦要透過現(xiàn)象看本質(zhì)，體會“假語存、真事隱”。

數(shù)學強調(diào)本質(zhì)與意義。解題的過程亦是要透過問題的表象去探索內(nèi)在的數(shù)量規(guī)律。愛因斯坦說：“純粹數(shù)學，就其本質(zhì)而言，是邏輯思想的詩篇?！?/p>

“文似看山不喜平”，一個好問題往往需要人的思維拐幾道彎才能解答出來。答案往往被隱藏在嚴密的邏輯推理之后，把握問題的核心才能不被表象所迷惑。比如多面體很多，正多面體只有五種。此外，比如分類問題是數(shù)學中很迷人的問題，可以讓復雜的問題明朗化，使問題的結(jié)構(gòu)更清晰。舉個例子，有限單群分類定理讓我們可以更加自如地處理各種有限群的問題。詩云：“不畏浮云遮望眼，只緣身在最高層?！?/p>

荀子在《勸學》中說“登高而招，臂非加長也，而見者遠；順風而呼，聲非加疾也，而聞?wù)哒谩由钱愐?，善假于物也?！币虼耍浞掷煤脭?shù)學這個工具，我們方可在科學的道路上奮勇前行，上下求索。