長(zhǎng)江上游徑流混沌動(dòng)力特性及其集成預(yù)測(cè)研究

，

(華中科技大學(xué) a.水電與數(shù)字化工程學(xué)院； b.數(shù)字流域科學(xué)與技術(shù)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430074)

1 研究背景

近年來(lái)，我國(guó)洪澇干旱災(zāi)害頻繁發(fā)生，給我國(guó)社會(huì)經(jīng)濟(jì)可持續(xù)發(fā)展造成了重大影響。準(zhǔn)確可靠的水文預(yù)報(bào)信息是流域水資源規(guī)劃管理和水利工程運(yùn)行調(diào)控的重要基礎(chǔ)，能有效降低洪澇干旱等自然災(zāi)害帶來(lái)的損失，對(duì)水資源優(yōu)化配置和利用有著重要的意義。

徑流的形成受氣象、水文、地形、地貌、流域下墊面和人類活動(dòng)等多方面因素的影響，呈復(fù)雜非線性動(dòng)力特性[1]。傳統(tǒng)確定性數(shù)學(xué)模型及預(yù)測(cè)方法主要研究時(shí)間序列的外在表現(xiàn)及其隨機(jī)因素的影響，但難以刻畫水文過(guò)程內(nèi)在特性和演化機(jī)理。作為研究非線性隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特性和過(guò)程潛能的新興學(xué)科，混沌理論為人類認(rèn)識(shí)復(fù)雜水循環(huán)內(nèi)在動(dòng)力特性提供了新途徑。Hense等[2]于20世紀(jì)80年代首次將混沌建模理論引入水文學(xué)領(lǐng)域，為后續(xù)水文徑流系統(tǒng)的混沌特性識(shí)別和混沌預(yù)測(cè)兩個(gè)方面的研究指明了方向。Hu等[3]運(yùn)用混沌建模和相空間重構(gòu)理論證實(shí)了新疆瑪納斯河流域徑流過(guò)程本質(zhì)上具有很強(qiáng)的混沌特性。王秀杰等[4]建立了基于小波技術(shù)、混沌理論和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的日徑流預(yù)報(bào)模型，取得了較為滿意的預(yù)報(bào)精度。于國(guó)榮和夏自強(qiáng)[5]分析了宜昌站月徑流時(shí)間序列的混沌特性，建立了耦合混沌相空間重構(gòu)理論和支持向量機(jī)(Support Vector Machine，SVM)的月徑流預(yù)報(bào)模型，并通過(guò)實(shí)例分析驗(yàn)證了該模型的可行性和有效性。郭曉亮等[6]結(jié)合混沌相空間重構(gòu)理論構(gòu)建了模糊支持向量機(jī)月徑流時(shí)間序列模型，實(shí)驗(yàn)證明該模型能有效降低徑流預(yù)報(bào)誤差。Hong等[7]采用遺傳算法對(duì)相空間重構(gòu)理論進(jìn)行改進(jìn)，建立了基于改進(jìn)相空間的中長(zhǎng)期徑流預(yù)報(bào)模型，研究結(jié)果表明所建模型能較好地反映中長(zhǎng)期徑流時(shí)間序列的非線性和混沌特征，取得較為可靠和穩(wěn)定的預(yù)報(bào)結(jié)果。

目前，對(duì)于徑流時(shí)間序列預(yù)測(cè)的研究大多集中在基于參數(shù)優(yōu)化[8-9]、數(shù)據(jù)預(yù)處理[10-12]及加權(quán)組合預(yù)測(cè)[13-14]等方面，而對(duì)單個(gè)模型的性能進(jìn)行集成學(xué)習(xí)的研究還比較少。大量水文預(yù)測(cè)研究方法表明，沒(méi)有某一種預(yù)報(bào)方法能夠完全優(yōu)于另一種方法，且單一預(yù)測(cè)模型存在參數(shù)難以確定，極易陷入局部最優(yōu)、過(guò)擬合，以及流域不同時(shí)空物理背景場(chǎng)的適應(yīng)性和局限性等問(wèn)題。AdaBoost算法[15]通過(guò)迭代產(chǎn)生多個(gè)弱學(xué)習(xí)器，在每次迭代過(guò)程中，通過(guò)抽樣產(chǎn)生不同的訓(xùn)練樣本，并將弱學(xué)習(xí)器加權(quán)組合形成強(qiáng)學(xué)習(xí)器，以克服單一預(yù)測(cè)模型的局限，提高弱學(xué)習(xí)算法的預(yù)測(cè)精度。

機(jī)器學(xué)習(xí)模型以其不需要考慮水循環(huán)過(guò)程物理機(jī)制的優(yōu)點(diǎn)在徑流預(yù)報(bào)中應(yīng)用廣泛。目前常見(jiàn)的機(jī)器學(xué)習(xí)模型包括傳統(tǒng)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、SVM支持向量機(jī)和極限學(xué)習(xí)機(jī)(Extreme Learning Machine，ELM)模型等。其中BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和ELM模型主要基于經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)最小化準(zhǔn)則，模型不穩(wěn)定且易陷入局部最優(yōu)；SVM模型主要基于結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化準(zhǔn)則，穩(wěn)定性高，但SVM模型更適用于小樣本的訓(xùn)練，且其預(yù)報(bào)性能對(duì)懲罰參數(shù)和核參數(shù)異常敏感；相比于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和SVM模型，ELM模型不需要調(diào)整輸入權(quán)值及隱層偏置，收斂速度更快。綜上，研究工作選取ELM極限學(xué)習(xí)機(jī)模型作為AdaBoost集成模型的單項(xiàng)弱學(xué)習(xí)器[16]，通過(guò)對(duì)樣本和預(yù)報(bào)模型的雙重加權(quán)增強(qiáng)極限學(xué)習(xí)機(jī)弱學(xué)習(xí)器的建模精度和穩(wěn)定性。

本文以長(zhǎng)江上游干流攀枝花水文站、北碚水文站和宜昌水文站為研究對(duì)象，對(duì)3個(gè)站點(diǎn)的月平均徑流序列進(jìn)行混沌特性分析。在月徑流時(shí)間序列具有混沌屬性研究的基礎(chǔ)上，采用相空間重構(gòu)方法對(duì)一維時(shí)間序列進(jìn)行多維重構(gòu)，得到預(yù)測(cè)模型輸入變量。進(jìn)一步提出一種基于自適應(yīng)動(dòng)態(tài)閾值的改進(jìn)AdaBoost.RT集成極限學(xué)習(xí)機(jī)模型，對(duì)混沌月徑流時(shí)間序列進(jìn)行預(yù)測(cè)，以期獲得高精度的水文預(yù)報(bào)信息。

2 徑流時(shí)間序列的混沌動(dòng)力特性

2.1 動(dòng)力系統(tǒng)相空間重構(gòu)基本原理

徑流時(shí)間序列是一個(gè)復(fù)雜的非線性動(dòng)力系統(tǒng)，其運(yùn)行狀態(tài)的改變是多種物理因素相互作用的結(jié)果，徑流時(shí)間序列只能反映其中一部分信息。以相空間重構(gòu)為基礎(chǔ)，可以對(duì)徑流時(shí)間序列的混沌特性進(jìn)行識(shí)別并進(jìn)行進(jìn)一步的預(yù)測(cè)分析。相空間重構(gòu)的基本原理是通過(guò)引入刻畫時(shí)間序列采樣間隔的時(shí)間延遲和反映徑流序列周期要素的嵌入維數(shù)，將一維空間映射至多維可以表征原系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的相空間[17]。

對(duì)于某一離散的徑流時(shí)間序列{x(t),t=1,2,...,n}，n為時(shí)間序列長(zhǎng)度。經(jīng)過(guò)時(shí)間延遲τ嵌入到m維相空間中可表示為

(1)

式中：l=n-(m-1)τ；i=1,2,…,l；τ為時(shí)間延遲；X(i)為m維相空間中的相點(diǎn)，每個(gè)相點(diǎn)有m維分量[x(i),x(i+τ),…,x(i+(m-1)τ)]相點(diǎn)間的連線刻畫了徑流非線性動(dòng)力系統(tǒng)在m維相空間的演化軌跡。

2.2 確定相空間重構(gòu)參數(shù)

時(shí)間延遲τ和嵌入維數(shù)m對(duì)重構(gòu)相空間的效果起著重要作用。τ太大會(huì)產(chǎn)生不相關(guān)誤差，τ太小會(huì)產(chǎn)生冗余誤差。本文采用序列相關(guān)法中的自相關(guān)函數(shù)求取徑流時(shí)間序列的自相關(guān)系數(shù)，并以相關(guān)系數(shù)首次過(guò)0點(diǎn)時(shí)所得到的τ為重構(gòu)相空間的最佳時(shí)間延遲τ。計(jì)算公式為

(2)

Takens指出，當(dāng)維數(shù)足夠多(m≥2D+1，D為飽和關(guān)聯(lián)維數(shù))時(shí)，就可以刻畫出系統(tǒng)的奇異吸引子，恢復(fù)系統(tǒng)原來(lái)的動(dòng)力學(xué)形態(tài)[18]。本文采用飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)(G-P)法來(lái)計(jì)算不同嵌入維數(shù)下徑流時(shí)間序列的關(guān)聯(lián)維數(shù)Dm，當(dāng)Dm不再變化時(shí)，即系統(tǒng)飽和時(shí)的嵌入維數(shù)為重構(gòu)相空間的最佳嵌入維數(shù)。

對(duì)于m維相空間的序列{X(i),i=1,2,...,l}，X(i)與X(j)之間的歐氏距離表示為

rijm=‖Xi-Xj‖ 。

(3)

式中rijm是相空間維數(shù)m的函數(shù)。

給定一個(gè)數(shù)r0，其取值在rij的數(shù)值范圍內(nèi)，適當(dāng)調(diào)整r0的取值，算出一組lnr0與lnCr0,m的值，當(dāng)r0→0時(shí)的lnCr0,m與lnr0的比值即為關(guān)聯(lián)維數(shù)Dm,即

(4)

H(x)為Heaviside函數(shù)，定義如下：

(5)

不同嵌入維數(shù)下關(guān)聯(lián)維數(shù)Dm不再變化時(shí)的關(guān)聯(lián)維數(shù)為飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)。飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)的取值結(jié)果是判斷系統(tǒng)是否存在混沌特性的一個(gè)重要標(biāo)準(zhǔn)，混沌系統(tǒng)具有正的分?jǐn)?shù)維飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)，且飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)可描述非線性系統(tǒng)的復(fù)雜程度，根據(jù)飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)的取值可判定系統(tǒng)的形成受幾個(gè)主要狀態(tài)變量影響。

2.3 最大Lyapunov指數(shù)

Lyapunov指數(shù)刻畫了重構(gòu)相空間中2個(gè)相鄰序列間的平均指數(shù)發(fā)散率，可以用于度量混沌運(yùn)動(dòng)對(duì)初始條件的敏感性，它和飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)是判斷徑流系統(tǒng)是否具有混沌特性的充分必要條件，可以通過(guò)計(jì)算重構(gòu)相空間中任意2個(gè)相鄰序列間的最大Lyapunov指數(shù)識(shí)別系統(tǒng)的混沌特征。

i,j=1,2,…,l。

(6)

2.4 混沌徑流時(shí)間序列相空間重構(gòu)

在證實(shí)徑流時(shí)間序列具有正的分?jǐn)?shù)維飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)和正的Lyapunov指數(shù)的基礎(chǔ)上，通過(guò)相空間重構(gòu)理論建立與一維徑流時(shí)間序列保持微分同胚且具有滯后坐標(biāo)的重構(gòu)相空間，可以恢復(fù)復(fù)雜水文系統(tǒng)的時(shí)空結(jié)構(gòu)，還原徑流時(shí)間序列的主要特性，進(jìn)而以m維重構(gòu)相空間作為預(yù)測(cè)模型的輸入變量對(duì)徑流時(shí)間序列進(jìn)行預(yù)測(cè)。其中，重構(gòu)相空間的嵌入維數(shù)m表示徑流系統(tǒng)可以用m個(gè)變量進(jìn)行描述，延遲時(shí)間τ表示重構(gòu)相空間的采樣間隔。對(duì)于給定時(shí)間序列xt,t=1,2,...,n，通過(guò)序列相關(guān)法和關(guān)聯(lián)維數(shù)法分別確定月徑流時(shí)間序列的時(shí)間延遲τ和嵌入維數(shù)m，根據(jù)相空間重構(gòu)理論可以得到式(7)所示的樣本序列：

(7)

式中：N=n-1-m-1τ，為樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)；x為訓(xùn)練樣本集的輸入變量；y為訓(xùn)練樣本集的輸出變量。

3 基于混沌動(dòng)力特性的集成學(xué)習(xí)徑流預(yù)測(cè)模型構(gòu)建

3.1 極限學(xué)習(xí)機(jī)

極限學(xué)習(xí)機(jī)是一種單隱層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[16]，在訓(xùn)練極限學(xué)習(xí)機(jī)網(wǎng)絡(luò)的過(guò)程中，不需要調(diào)整輸入權(quán)值及隱層偏置，因此，其訓(xùn)練速度遠(yuǎn)大于傳統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。給定一組訓(xùn)練樣本xt,yt,t=1,2,..,N，其中xt=xt1,xt2,...,xtnT∈Rn為輸入變量，yt=yt1,yt2,...,ytmT∈Rm為輸出變量，則激勵(lì)函數(shù)為g，隱層結(jié)點(diǎn)數(shù)為L(zhǎng)的極限學(xué)習(xí)機(jī)網(wǎng)絡(luò)模型可表述為

(8)

式中：wi=w1i,w2i,...,wni表示輸入層結(jié)點(diǎn)與第i個(gè)隱層結(jié)點(diǎn)之間的權(quán)值向量；βi=βi1,βi2,...,βimT表示隱層結(jié)點(diǎn)與第m個(gè)輸出層結(jié)點(diǎn)的權(quán)值向量；bi為隱層結(jié)點(diǎn)閾值；ot=ot1,ot2,...,otmT為網(wǎng)絡(luò)輸出值。

式(9)可以簡(jiǎn)化為

Hβ=Y。

(10)

其中：

(12)

H是ELM關(guān)于訓(xùn)練樣本的隱層輸出矩陣。極限學(xué)習(xí)機(jī)的系數(shù)β可通過(guò)求解下述方程的最小二乘解獲得，即

(13)

最終解可表示為

(14)

式中H?是H的Moore-Penrose廣義逆矩陣。

3.2 混沌時(shí)間序列的集成預(yù)測(cè)流程

AdaBoost.RT是一種應(yīng)用廣泛的集成學(xué)習(xí)算法[19]，是AdaBoost.R[15]算法的變種，它主要針對(duì)回歸問(wèn)題的應(yīng)用。AdaBoost.RT首先通過(guò)迭代產(chǎn)生若干個(gè)弱學(xué)習(xí)器，然后通過(guò)不斷調(diào)整弱學(xué)習(xí)器輸出樣本權(quán)值來(lái)加強(qiáng)迭代過(guò)程中弱學(xué)習(xí)器對(duì)訓(xùn)練誤差大的樣本的學(xué)習(xí)，最后將弱學(xué)習(xí)器預(yù)報(bào)值進(jìn)行加權(quán)集成得到最終的預(yù)測(cè)結(jié)果。本文采用基于自適應(yīng)動(dòng)態(tài)閾值的改進(jìn)AdaBoost.RT算法來(lái)改進(jìn)極限學(xué)習(xí)機(jī)模型的學(xué)習(xí)性能?；谙嗫臻g重構(gòu)、改進(jìn)AdaBoost.RT算法和ELM的集成學(xué)習(xí)模型對(duì)月徑流時(shí)間序列進(jìn)行預(yù)測(cè)的具體步驟如下：

(1)根據(jù)混沌相空間重構(gòu)理論，通過(guò)式(7)構(gòu)造模型的輸入輸出樣本序列x1,y1,…,xN,yN。

(2)對(duì)于N個(gè)訓(xùn)練樣本x1,y1,…,xN,yN，確定閾值的初值φ0<φ<1、基本學(xué)習(xí)算法(極限學(xué)習(xí)機(jī))和最大迭代次數(shù)K，令當(dāng)前迭代次數(shù)k=1。

(3)設(shè)置N個(gè)樣本的初始權(quán)重值為Dki=1/N，令誤差率εk=0。

(4)在給定的樣本權(quán)重分布下訓(xùn)練ELM網(wǎng)路，建立回歸模型，使得fkx=y，fkx表示極限學(xué)習(xí)機(jī)映射函數(shù)，x表示輸入向量，y表示輸出向量。

(5)計(jì)算每個(gè)樣本的誤差及基學(xué)習(xí)器的誤差：

(15)

(16)

式中：Eki為第k次迭代第i個(gè)樣本的訓(xùn)練誤差；εk為第k次迭代的總體訓(xùn)練誤差。

(17)

(7)令k=k+1，跳轉(zhuǎn)至步驟4，直到K次迭代后跳出循環(huán)。將訓(xùn)練好的K個(gè)弱學(xué)習(xí)器進(jìn)行加權(quán)集成，構(gòu)成一個(gè)強(qiáng)預(yù)測(cè)模型，并將檢驗(yàn)樣本代入強(qiáng)預(yù)測(cè)模型，得到檢驗(yàn)期預(yù)測(cè)結(jié)果ffinalx,即

k=1,…,K。

(18)

從上述描述可以看出，在AdaBoost.RT算法的迭代過(guò)程中，閾值φ的取值很重要且很難進(jìn)行選擇。Shrestha等[20]關(guān)于AdaBoost.RT算法的研究表明，AdaBoost.RT算法的性能對(duì)閾值φ的取值敏感。如果φ太小，則難以獲得足夠的正確預(yù)測(cè)樣本，反之，φ太大則不利于對(duì)困難樣本的學(xué)習(xí)。為此，在對(duì)極限學(xué)習(xí)機(jī)進(jìn)行集成學(xué)習(xí)的過(guò)程中，本文引入基于自適應(yīng)動(dòng)態(tài)閾值的改進(jìn)AdaBoost.RT算法更新AdaBoost.RT算法的閾值[21]，即依據(jù)每次迭代訓(xùn)練樣本的均方根誤差調(diào)整閾值φ的大小，使得訓(xùn)練誤差越大的樣本在下次迭代中的弱學(xué)習(xí)器輸出樣本權(quán)值越大，反之，誤差越小的樣本權(quán)值越小。閾值φ的具體更新步驟如下：

(1)計(jì)算每次迭代中訓(xùn)練結(jié)果的均方根誤差，即

(19)

(2)根據(jù)下式更新每次迭代中的閾值φk，使得φk隨訓(xùn)練誤差的增加而增加，即

(20)

基于改進(jìn)AdaBoost.RT的極限學(xué)習(xí)機(jī)集成學(xué)習(xí)預(yù)測(cè)模型的詳細(xì)流程如圖1所示。

圖1 基于相空間重構(gòu)、改進(jìn)AdaBoost.RT和ELM的集成預(yù)測(cè)模型流程Fig.1 Flowchart of the integrated prediction model based on phase space reconstruction, improved AdaBoost.RT and extreme learning machine

4 實(shí)例分析

4.1 徑流時(shí)間序列的混沌動(dòng)力特性分析

以長(zhǎng)江上游攀枝花、向家壩和宜昌3個(gè)代表性水文站點(diǎn)的月平均徑流量時(shí)間序列為對(duì)象，分析流域徑流時(shí)間序列的混沌動(dòng)力特性。攀枝花水文站為長(zhǎng)江上游金沙江流域主要水文控制站，其控制流域集水面積約25.92萬(wàn)km2。向家壩水文站為金沙江向家壩水電站樞紐工程專用水文站，流域面積45.88萬(wàn)km2。宜昌水文站是長(zhǎng)江上游流域的總控制站，控制流域面積達(dá)101 km2。3個(gè)站點(diǎn)的具體位置如圖2所示。

圖2 攀枝花水文站、向家壩水文站、宜昌水文站在長(zhǎng)江上游流域的位置Fig.2 Locations of Panzhihua, Xiangjiaba and Yichang hydrologic stations in the upper reaches of the Yangtze River

選取3個(gè)水文站點(diǎn)1959年1月—2008年12月(600個(gè)樣本數(shù)據(jù)點(diǎn))的實(shí)測(cè)月平均徑流數(shù)據(jù)作為樣本數(shù)據(jù)，采用序列相關(guān)法中的自相關(guān)函數(shù)來(lái)確定徑流時(shí)間序列相空間重構(gòu)系數(shù)τ，采用G-P法來(lái)確定徑流時(shí)間序列相空間重構(gòu)的系數(shù)m。以攀枝花站為例，月徑流時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)變化曲線圖、不同嵌入維下lnr-lnCr曲線圖、關(guān)聯(lián)維數(shù)Dm與不同嵌入維m之間的關(guān)系圖如圖3所示。

圖3 攀枝花站月徑流時(shí)間序列相關(guān)系數(shù)、lnr-lnC(r)及m-D(m)關(guān)系曲線Fig.3 Autocorrelation function and lnr-lnC(r) and m-D(m) curves of monthly runoff at Panzhihua Station

由圖3(a) 可知，攀枝花站月徑流時(shí)間序列自相關(guān)系數(shù)隨τ的增大而減小，且當(dāng)τ=3時(shí)，自相關(guān)系數(shù)圖第一次過(guò)0點(diǎn)，因此攀枝花站徑流混沌分析相空間重構(gòu)系數(shù)τ值取為3。同理，分析長(zhǎng)江干流向家壩站和宜昌站的自相關(guān)系數(shù)圖可得，長(zhǎng)江干流上向家壩站和宜昌站自相關(guān)系數(shù)圖首次過(guò)0點(diǎn)的時(shí)間延遲均在3附近，由此，長(zhǎng)江上游3個(gè)主要站點(diǎn)相空間重構(gòu)系數(shù)τ的取值都為3。在時(shí)間延遲確定的基礎(chǔ)上，用G-P法確定月徑流時(shí)間序列相空間重構(gòu)的最佳嵌入維數(shù)。從圖3(b)可看出，lnr-lnCr曲線圖的直線部分隨著嵌入維數(shù)m的增大逐漸趨于平行，圖中每條曲線中直線部分的斜率為不同嵌入維數(shù)m下的關(guān)聯(lián)維數(shù)Dm，由此可以作出如圖3(c)所示的m-Dm關(guān)系圖。從圖3(c)可以看出，當(dāng)嵌入維數(shù)m=12時(shí)，m-Dm曲線趨于平穩(wěn)，所以攀枝花站月徑流時(shí)間序列相空間重構(gòu)的系數(shù)m取值為12。同理，如圖4所示，當(dāng)嵌入維數(shù)m=12時(shí)，向家壩站和宜昌站的m-Dm曲線圖趨于平穩(wěn)，因此，長(zhǎng)江上游3個(gè)主要站點(diǎn)的相空間重構(gòu)系數(shù)m取值都為12。

圖4 向家壩站和宜昌站月徑流時(shí)間序列m-D(m)關(guān)系曲線Fig.4 Curves of m-D(m) of monthly runoff at Xiangjiaba Station and Yichang Station

由圖3(c)和圖4可知，當(dāng)長(zhǎng)江干流攀枝花站、向家壩站和宜昌站徑流時(shí)間序列的m-Dm曲線趨于平穩(wěn)時(shí)，飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)取值分別為2.89，3.19，3.46。由此可見(jiàn)，長(zhǎng)江上游3站點(diǎn)月徑流時(shí)間序列系統(tǒng)的飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)均為正的分?jǐn)?shù)，具有分維特征，表示3個(gè)月徑流時(shí)間序列系統(tǒng)均具有混沌特性。從上游攀枝花站點(diǎn)到下游宜昌站點(diǎn)，飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)從2.89增加到3.46，表明在整個(gè)長(zhǎng)江上游徑流系統(tǒng)中，攀枝花站月徑流混沌系統(tǒng)相對(duì)簡(jiǎn)單，向家壩站月徑流混沌系統(tǒng)次之，宜昌站月徑流混沌系統(tǒng)最為復(fù)雜，說(shuō)明長(zhǎng)江干流下游站點(diǎn)徑流時(shí)間序列在形成的過(guò)程中受到的影響因素比上游站點(diǎn)多，混沌特性更復(fù)雜，符合河川徑流下游比上游復(fù)雜，影響因素多的自然現(xiàn)象。從定量的角度進(jìn)行分析，可以得出：攀枝花站月徑流時(shí)間序列在形成的過(guò)程中受3個(gè)主要狀態(tài)變量的影響，而向家壩站和宜昌站受4個(gè)主要狀態(tài)變量的影響，表明了不同站點(diǎn)徑流過(guò)程受氣象、水文和陸面過(guò)程影響的差異性。

根據(jù)第2.3小節(jié)描述的方法，求得長(zhǎng)江上游攀枝花站、向家壩站和宜昌站徑流時(shí)間序列的最大Lyapunov指數(shù)分別為0.214,0.300,0.335，進(jìn)一步說(shuō)明了長(zhǎng)江干流3個(gè)站點(diǎn)水文序列存在混沌特性，且下游站點(diǎn)混沌特性比上游站點(diǎn)混沌特性稍強(qiáng)。計(jì)算3個(gè)站點(diǎn)最大Lyapunov指數(shù)的倒數(shù)可得，攀枝枝花站、向家壩站和宜昌站徑流時(shí)間序列的可預(yù)測(cè)時(shí)間尺度分別為5,3，3個(gè)月，證明了流域徑流的可預(yù)測(cè)性。

4.2 徑流預(yù)測(cè)實(shí)現(xiàn)和結(jié)果分析

通過(guò)以上分析可得，長(zhǎng)江上游3站點(diǎn)月徑流時(shí)間序列都具有混沌特性，且相空間重構(gòu)系數(shù)τ和m的取值均分別為3和12，在此基礎(chǔ)上，根據(jù)式(7)對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行相空間重構(gòu)，得到的總樣本個(gè)數(shù)為566，將第1—第446個(gè)樣本用于訓(xùn)練，第447—第566個(gè)樣本用于測(cè)試檢驗(yàn)。本文極限學(xué)習(xí)機(jī)的隱層結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)通過(guò)網(wǎng)絡(luò)搜索算法確定，網(wǎng)格搜索范圍設(shè)置為2n-20,2n+20，其中，n為輸入層結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)，本文n的取值為12，搜索步長(zhǎng)設(shè)置為1；改進(jìn)AdaBoost.RT的最大迭代次數(shù)K即生成極限學(xué)習(xí)機(jī)弱學(xué)習(xí)器的個(gè)數(shù)設(shè)置為20，閾值的初值φ設(shè)置為0.2。

為評(píng)價(jià)模型的預(yù)報(bào)性能，本文選取水文預(yù)報(bào)中常用的4種評(píng)價(jià)指標(biāo)：均方根誤差RMSE、平均絕對(duì)誤差MAE、確定性系數(shù)DC及合格率QR。評(píng)價(jià)指標(biāo)計(jì)算公式如下：

(21)

(22)

(23)

(24)

為了驗(yàn)證本文所提方法的有效性和優(yōu)越性，除AdaBoost-ELM(簡(jiǎn)稱AELM)模型外，同時(shí)還建立了BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、SVM模型和ELM模型3種較為常見(jiàn)的模型。表1為攀枝花站4種模型的預(yù)測(cè)結(jié)果誤差統(tǒng)計(jì)情況。

表1 攀枝花站檢驗(yàn)期預(yù)報(bào)結(jié)果誤差統(tǒng)計(jì)Table 1 Statistical error of forecast results forPanzhihua Station in validation stage

圖5 各模型徑流量預(yù)報(bào)結(jié)果對(duì)比Fig.5 Comparison of runoff forecast results among different models

圖5展示了攀枝花站、向家壩站、宜昌站檢驗(yàn)期1999—2008年共計(jì)120個(gè)月4種模型的預(yù)測(cè)結(jié)果。由表1和圖5(a)可知，BP，SVM，ELM，AELM模型均具有較好的擬合精度，均能較好地對(duì)月徑流時(shí)間序列進(jìn)行擬合。從均方根誤差RMSE、平均絕對(duì)誤差MAE、確定性系數(shù)DC和合格率QR這4個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)來(lái)看，AELM模型的預(yù)報(bào)結(jié)果除QR稍低于SVM模型外，其它誤差指標(biāo)均表現(xiàn)最好，說(shuō)明AELM模型的整體預(yù)報(bào)效果最好。

以RMSE為例，AELM模型的預(yù)報(bào)結(jié)果誤差為613.41 m3/s，其它BP，SVM，ELM3個(gè)模型的預(yù)報(bào)結(jié)果分別為632.69，636.71，626.58 m3/s。通過(guò)對(duì)比ELM和AELM模型的預(yù)報(bào)結(jié)果可以看出，AELM模型的RMSE和MAE比ELM模型小，且DC和QR比ELM模型大，說(shuō)明AELM模型的預(yù)報(bào)效果明顯優(yōu)于ELM模型，改進(jìn)的AdaBoost.RT算法能有效地提高弱學(xué)習(xí)算法的精度。從圖5(a)的頂部子圖可知，相比于ELM模型，AELM模型能更好地對(duì)月徑流時(shí)間序列進(jìn)行擬合：在高流量階段，AELM模型預(yù)測(cè)曲線比ELM模型預(yù)測(cè)曲線稍高，更接近實(shí)測(cè)曲線；在低流量階段，AELM模型能夠在一定程度上減輕ELM模型模擬徑流時(shí)間序列的波動(dòng)，說(shuō)明改進(jìn)AdaBoost.RT算法能夠減輕ELM算法的隨機(jī)性對(duì)預(yù)報(bào)結(jié)果的影響，從而提高預(yù)報(bào)精度。

為了進(jìn)一步研究AELM模型的預(yù)報(bào)能力，本文將BP，SVM，ELM，AELM 4種模型分別應(yīng)用于向家壩站和宜昌站的混沌月徑流時(shí)間序列。表2顯示了向家壩站和宜昌站4種模型的預(yù)報(bào)結(jié)果誤差統(tǒng)計(jì)情況。同時(shí)圖5(b)和圖5(c)通過(guò)對(duì)4種模型預(yù)報(bào)結(jié)果誤差進(jìn)行對(duì)比，得出了與攀枝花站預(yù)報(bào)結(jié)果相一致的結(jié)論：①與BP，SVM，ELM模型相比，AELM模型預(yù)報(bào)效果最好；②AELM模型的預(yù)報(bào)效果優(yōu)于ELM模型，改進(jìn)AdaBoost.RT算法能夠減輕ELM算法的隨機(jī)性對(duì)預(yù)報(bào)結(jié)果的影響，進(jìn)而提高弱學(xué)習(xí)算法的泛化性能。

表2 向家壩站和宜昌站檢驗(yàn)期預(yù)報(bào)結(jié)果誤差統(tǒng)計(jì)Table 2 Statistical error of the results of XiangjiabaStation and Yichang Station in validation stage

5 結(jié) 論

(1)本文通過(guò)對(duì)長(zhǎng)江上游流域攀枝花、向家壩和宜昌水文站月徑流時(shí)間序列進(jìn)行非線性動(dòng)力建模與分析，推求了月徑流時(shí)間序列相空間重構(gòu)的最佳時(shí)間延遲和嵌入維數(shù)、飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)和最大Lyapunov指數(shù)，從定性和定量的角度驗(yàn)證了長(zhǎng)江上游月徑流時(shí)間序列的混沌特性，得出了該三站點(diǎn)月徑流時(shí)間序列不僅具有混沌特性且下游站點(diǎn)比上游站點(diǎn)混沌特性更強(qiáng)的結(jié)論。

(2)在此基礎(chǔ)上，引入Adaboost.RT算法對(duì)ELM算法進(jìn)行集成學(xué)習(xí)，提出了基于相空間重構(gòu)、改進(jìn)AdaBoost.RT和ELM算法的集成學(xué)習(xí)模型，并將該方法應(yīng)用于月徑流時(shí)間序列混沌預(yù)測(cè)建模研究。

(3)在采用AdaBoost.RT集成算法對(duì)ELM弱學(xué)習(xí)算法進(jìn)行集成學(xué)習(xí)的過(guò)程中，通過(guò)自適應(yīng)動(dòng)態(tài)閾值法不斷調(diào)整訓(xùn)練樣本可以提高預(yù)測(cè)精度。

(4)用訓(xùn)練好的集成學(xué)習(xí)模型對(duì)不同站點(diǎn)月徑流時(shí)間序列進(jìn)行預(yù)測(cè)，并與前饋BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型、SVM模型和ELM模型進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果表明所提模型的預(yù)報(bào)效果優(yōu)于其它模型，且能夠顯著提高ELM模型預(yù)報(bào)結(jié)果的穩(wěn)定性，從而獲得更準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)結(jié)果。