同步擠壓小波變換提取地震信號瞬時屬性

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(西安理工大學 自動化與信息工程學院，西安 710048)

0 引言

目前，地質(zhì)勘探主要以研究人工激發(fā)的地震波為主，地震波是一種典型的非平穩(wěn)信號，其瞬時屬性是地震記錄分類、識別和解釋的有效工具[1]。其瞬時屬性的準確提取及分析有助于揭示數(shù)據(jù)中隱藏的豐富地質(zhì)信息，提高對儲層有利區(qū)預(yù)測的準確度，發(fā)現(xiàn)地下能源。因此如何精確提取地震信號瞬時屬性十分重要。

時頻分析方法是研究處理非平穩(wěn)信號的一個非常重要的工具，主要方法如：短時傅里葉變換(STFT)[2]，但STFT的分辨率受固定窗函數(shù)的限制，時間與頻率分辨率相互牽制，不能達到最好效果。小波變換(WT)[3]引進了尺度和平移因子，克服了短時傅立葉變換的單分辨率分析的不足，但在提高時頻分辨率方面WT并沒有新的突破。S變換[4](S-transform)是一種介于 STFT和CWT之間窗函數(shù)可變的時頻方法，但S變換基本窗函數(shù)形態(tài)固定，使其應(yīng)用受到一定局限。

近幾十年來，隨著地質(zhì)勘探的不斷發(fā)展，學者們提出了很多種瞬時屬性提取的方法。Gabor[5]率先提出了解析信號法，又稱希爾伯特變換法(Hilbert)。該方法是提取地震信號瞬時屬性中最常用的一種，但Hilbert易受噪聲影響，將其用于低信噪比中獲取的瞬時屬性將嚴重失真，尤其對于瞬時頻率的提取。Norman Neidell和 Tanrer[6]首次運用解析信號法去構(gòu)造復(fù)地震道。高靜懷提出了利用解析小波求取地震信號瞬時屬性的方法，但在提高時頻分辨率及提取瞬時屬性方面并沒有新的突破。

近年來，由Daubechies[7]等人提出了同步擠壓小波變換算法(synchrosqueezing wavelet transform, SST)，SST在瞬時頻率計算、諧波提取、以及醫(yī)學等方面得到了很好的結(jié)果[8-9]。SST具有良好的時頻分辨率，并能夠重構(gòu)待分析信號，同時SST自身擁有去噪的功能的特點[10-11]。這樣用SST提取的瞬時屬性有良好的抗噪性和可靠性，這樣大大提高了所獲取瞬時屬性的準確性。

綜上所述，本文提出了用同步擠壓小波變換提取地震信號瞬時屬性的方法，首先結(jié)合時頻譜重排的思想，得到同步擠壓小波變換量值，然后計算出實信號對應(yīng)的解析信號，接著提取瞬時屬性，最后與Hilbert的結(jié)果進行了對比，并將該方法運用在某油田實際地震資料中進行驗證，實驗結(jié)果表明SST可較準確提取地震信號瞬時屬性，具有良好的抗噪性和可靠性，尤其對于瞬時頻率的提取，其分辨率更高。

1 同步擠壓小波變換

Daubechies等人提出了同步擠壓小波變換[7]。首先對時間域信號f(t)進行連續(xù)小波變換，給定母小波函數(shù)φ得到小波系數(shù)Wf(a,b)：

(1)

式中,a為尺度參數(shù)，b為時間參數(shù)：φ*為母小波函數(shù)的共軛。

令諧波信號f(t)=Acos(ωt)。

根據(jù)Plancherel定理，對諧波信號進行連續(xù)小波變換式為：

(2)

又因為f(t)的傅里葉變換為：

(3)

將式(3)代入式(2)可得：

(4)

對系小波系數(shù)求偏導(dǎo), 則估計瞬時頻率為：

(5)

(6)

式中,ak為離散尺度，且ak-ak-1=(Δa)k。

同步擠壓變換的反變換為：

(7)

2 同步擠壓小波變換提取地震信號瞬時屬性

本文中，提取瞬時屬性的步驟就是結(jié)合時頻譜重排的思想，得到同步擠壓小波變換量值，然后計算出實信號對應(yīng)的解析信號，最后提取瞬時屬性。

而同步擠壓小波變換量值為式(6)。

Wf(a,b)把Wf(a,b)中尺度離散化，并將式(1)帶入式(6)可得：

(8)

這里，由高靜懷等[3]研究的小波變換與信號瞬時特征分析一文中，可知：任意給一信號f(t)∈L2(R)，f(t)相對于解析小波g(t)的小波變換同樣可以定義為：

(9)

因此，對式(9)的尺度a離散化后得Wf(ak,b)，代入式(8)中可得：

(10)

其中:ωl是同步擠壓小波變換在時間-頻率平面所取的任一中心頻率，而Δω被定義為：Δω=ωl-ωl-1，因此，Δω相當于一常數(shù)。

所以，對于任一實函數(shù)f(b)∈L2(R,db)，可以寫出通過同步擠壓小波變換計算出的實信號所對應(yīng)的解析信號為：

Tf(ωl,b)=f(b)+iH[f(b)]

(11)

其中:H[f(b)]表示f(t)的希爾伯特變換。

因此，實信號f(t)對應(yīng)的瞬時屬性為：

瞬時振幅：

A(t) = [f2(t) +f*2(t)]1/2

(12)

瞬時相位：

(13)

瞬時頻率：

(14)

其中:f*(t)為f(t)對應(yīng)的解析信號的虛部，

f*(t)=H[f(t)]=lmTf(ωl,b)

3 實驗結(jié)果與分析

3.1 雷克子波(Ricker子波)

本文采用SST來提取主頻30 Hz，長度為100個采樣點加入信噪比為30 dB高斯白噪聲的Ricker子波(圖1)的瞬時屬性，并與傳統(tǒng)的Hilbert變換結(jié)果對比，圖2(a)、(b)分別為SST、Hilbert提取的瞬時振幅，圖2(c)、(d)分別為SST、Hilbert提取的瞬時相位，圖2(e)、(f)分別為SST、Hilbert提取的瞬時頻率。

圖1 加入30 dB高斯白噪聲的Ricker子波

圖2 提取的結(jié)果示意圖

對比圖2中SST和Hilbert提取的結(jié)果，可知，利用SST提取加噪Ricker子波的瞬時屬性幾乎不會受到噪聲的影響，尤其對于瞬時相位和瞬時頻率的提取。Hilbert 變換所提取的瞬時屬性不是很很理想，瞬時振幅受噪聲影響不大，但瞬時相位與瞬時頻率在邊緣處已經(jīng)失真?？梢?，Hilbert 變換對于噪聲是相當敏感的。而SST具有很好的抗噪性，提取的瞬時屬性可靠性更強。

3.2 單道實際地震信號

隨機抽取一道地震信號進行分析，此信號為2 000個采樣點數(shù)的單道含隨機噪聲的地震信號，如圖3(a)所示。同步擠壓小波逆變換后的該道地震信號如圖3(b)所示。

圖3 地震信號圖

本文采用SST提取同步擠壓小波逆變換后的該道地震信號的瞬時屬性，并與傳統(tǒng)Hilbert變換提取的結(jié)果進行對比。圖4(a)、(b)分別為SST、Hilbert提取同步擠壓小波逆變換后的該道地震信號的瞬時振幅，圖4(c)、(d)分別為SST、Hilbert提取同步擠壓小波逆變換后的該道地震信號的瞬時頻率，結(jié)果如圖所示。

圖4 地震信號圖

對比圖4中SST和Hilbert提取的結(jié)果，可知，由于同步擠壓小波逆變換后的單道實際地震信號(圖3(b))還是有少量噪聲存在的，與Hilbert相比，SST提取的地震信號瞬時屬性抗噪性更強，精度更高，尤其對于提取的瞬時頻率幾乎不會受到噪聲的影響，可靠性更強，而Hilbert提取的瞬時頻率已嚴重失真。

4 實際油田資料的應(yīng)用

圖5是抽取了某油田實際數(shù)據(jù)疊加后的一個100道，3 s長的剖面，道間距為20 m，每道的采樣點數(shù)為1 500個，采樣間隔為2 000 μs。圖5中黑色橢圓虛線內(nèi)部區(qū)域表示地震資料目標層，即實際主要產(chǎn)油氣區(qū)域分布帶。

圖5 實際水平疊加時間剖面

由于實際地震刨面含有高頻噪音，信號能量不強以及整體層次不是很清晰，用傳統(tǒng)的Hilbert變換提取不到很好的瞬時屬性剖面，不利于層位追蹤、油氣儲層描述。與Hilbert相比，SST具有更精確的時間分辨率和頻率分辨率， 能將隨機噪聲擠壓并聚集分布，使其大部分聚集在高頻部分，降低了隨機噪聲的能量，從而使信號和噪聲明顯分離。

本文利用SST處理了該油田實際地震資料，具體步驟為：

1)將地震信號按每個道集都分解出來；

2)通過SST 對其在時頻域進行處理，得到處理后信息；

3)根據(jù)每一道在時頻譜中的分布情況，對每一道數(shù)據(jù)分別提取對應(yīng)的瞬時振幅、頻率屬性；

4)將每一道的瞬時屬性合并，得到最終的瞬時振幅、頻率剖面。

用SST方法所提取出的瞬時振幅剖面、瞬時頻率剖面，分別如圖6、圖7所示。

圖6 瞬時振幅剖面

圖7 瞬時頻率剖面

從圖6、圖7中可以看出，在瞬時振幅剖面上，中間出現(xiàn)了一個能量較強的異常區(qū)域(黑色虛線橢圓區(qū)域)，其他部位的能量相對較弱。在瞬時頻率剖面上，中間出現(xiàn)了一個高頻區(qū)域(黑色虛線橢圓區(qū)域)，其他部位的頻率相對較低。說明圖6、7中黑色橢圓虛線區(qū)域內(nèi)存在異常，有油氣的存在。可見，瞬時剖面有較高的時頻分辨率，能更加精確描述油氣儲層。

5 結(jié)束語

SST提取地震瞬時屬性是一種高分辨率瞬時屬性的提取方法，可以提取出較精確且抗噪性更強的瞬時振幅、瞬時相位和瞬時頻率等地震屬性，能夠較精確地反映豐富的地震屬性信息，為發(fā)現(xiàn)地下能源打下堅實的基礎(chǔ)。該方法在地震數(shù)據(jù)解釋及處理中具有較好的應(yīng)用前景，有待進一步研究。