屬性排序的粗糙集和統(tǒng)計方法研究

張先韜

(1.中煤科工集團(tuán)重慶研究院有限公司， 重慶 400039；2.瓦斯災(zāi)害監(jiān)控與應(yīng)急技術(shù)國家重點實驗室， 重慶 400039)

粗糙集是數(shù)據(jù)處理方法中的一種有效的軟計算工具，由波蘭數(shù)學(xué)家Pawlak于1982年提出[1]。它是一種刻畫不完整性和不確定性問題的新型數(shù)學(xué)工具[1]，能有效分析和處理不精確、不一致、不完整等各種不完備的信息，并從中發(fā)現(xiàn)隱含的知識，揭示潛在的規(guī)律[1]。 經(jīng)過多年發(fā)展，隨著大數(shù)據(jù)、互聯(lián)網(wǎng)、移動應(yīng)用、智能算法等的不斷發(fā)展和現(xiàn)實應(yīng)用需求的不斷提出，粗糙集理論和方法被越來越多的行業(yè)領(lǐng)域和專家學(xué)者所使用[2-11]。在醫(yī)療、機器學(xué)習(xí)、模式識別、數(shù)據(jù)處理、互聯(lián)網(wǎng)等多個行業(yè)和領(lǐng)域均發(fā)揮著其作用，而且越來越多的地方正在探索和嘗試使用粗糙集方法與其他方法交叉結(jié)合以期對所研究問題獲取更好的解決方案[2-11]。

在粗糙集理論中，屬性約簡是將數(shù)據(jù)庫或數(shù)據(jù)系統(tǒng)中的信息進(jìn)行合理的篩選，將冗余信息屏蔽或刪除，大大簡化數(shù)據(jù)信息表達(dá)而不影響研究需求或簡化信息至可控范圍[8]。在經(jīng)典粗糙集理論中，計算信息表中各屬性的重要度，可以計算出各個屬性的重要性數(shù)值度量，直接進(jìn)行屬性重要性量化比較并進(jìn)行排序。在多學(xué)科交叉研究中很多學(xué)者采用粗糙集方法進(jìn)行排序、評價、預(yù)測研究[9-11]，對部分?jǐn)?shù)據(jù)表的信息研究是一個很好的方法，但是這種計算方法也有缺陷。在信息系統(tǒng)中計算屬性重要度可能存在數(shù)值相同的情形，這種情形很普遍[12]，對于很多研究產(chǎn)生了局限性，單純使用粗糙集方法不能滿足屬性重要性唯一鏈?zhǔn)脚判虻难芯啃枨?。本文在研究中將粗糙集方法和統(tǒng)計學(xué)方法相結(jié)合，使用層級計算的方式，在同一標(biāo)準(zhǔn)下解決小規(guī)模數(shù)據(jù)系統(tǒng)中屬性重要度相同無法進(jìn)行屬性重要性唯一鏈?zhǔn)脚判虻膶嶋H需求。

1 粗糙集基礎(chǔ)知識

在決策中，對于每個子集B?C，定義[12-13]IND(B)={(x,y)∈U2|f(x,b)=f(y,b), ?b∈B}[12-13]。IND(B)是等價關(guān)系，可以不加區(qū)分地用B表示。對任意的B?C和x∈U，記[x]B={y∈U|f(x,a)=f(y,a), ?a∈B}，稱[x]B是對象x在屬性集B下的等價類。記U/B={[x1]B, [x2]B,…,[xn]B}，稱U/B是屬性集B對論域構(gòu)成的劃分[12-13]。

在信息系統(tǒng)I=(U,A,V,f)中，對子集X?U和屬性集B?A，定義[12-13]：

建立數(shù)據(jù)表并使用粗糙集方法進(jìn)行研究，目的就是從數(shù)據(jù)表中去掉對于分類沒有影響的條件屬性或子集，去掉后不影響系統(tǒng)的分類能力，即保持其知識表達(dá)能力不變，這個過程就是屬性約簡。在粗糙集理論中，通過計算屬性重要度或其他方法可以獲取信息系統(tǒng)的約簡，在小規(guī)模信息系統(tǒng)中，約簡可以窮舉。在某些實際問題研究中可以通過計算屬性重要度對屬性重要性程度進(jìn)行排序，重要度為0的屬性去掉以后不影響信息系統(tǒng)的知識表達(dá)。該方法計算的屬性重要度可能存在數(shù)值相同的情形，在不允許出現(xiàn)并列的排序問題中，需要進(jìn)一步處理區(qū)分?jǐn)?shù)值相等的屬性的重要程度以期獲得唯一性排序。下面介紹研究中使用粗糙集屬性重要度、約簡結(jié)合統(tǒng)計學(xué)方法進(jìn)行屬性排序的處理方法。

2 基于粗糙集屬性重要度的一級排序

以研究中使用的決策表為例[13-16]，數(shù)據(jù)表為重慶市冬夏季節(jié)碳排放影響因素研究數(shù)據(jù)采樣統(tǒng)計結(jié)果，數(shù)據(jù)表有136個不重復(fù)對象，決策屬性D1、D2分別為冬季、夏季碳排放量，條件屬性a1～a11為影響住宅建筑碳排放的11個影響因素，分別為住房歸屬、建筑使用時間、建筑層數(shù)、所住樓層、住房面積、家庭平均年齡、家庭常住人口數(shù)、最高文化水平、家庭人均年收入、節(jié)能意識、能耗設(shè)備平均使用年限，各屬性值的意義不影響本文所述研究方法的使用，故不再給出。因篇幅原因，決策表數(shù)據(jù)不宜在本文中全部給出，表1給出簡表。

表1 決策數(shù)據(jù)表(簡表)

首先使用本文提到的粗糙集屬性重要度的計算方法計算各個屬性的重要性度量，這種計算方法科學(xué)合理，使用粗糙集方法進(jìn)行不確定信息處理和數(shù)據(jù)挖掘過程中已經(jīng)被廣泛使用，通過這種方法進(jìn)行量化計算和排序準(zhǔn)確可靠，計算得到在不同決策下各個屬性的重要度如表2所示。

表2 屬性重要性的數(shù)值度量

據(jù)表2可知：決策D1數(shù)據(jù)表中屬性a5的重要度為0.015，a5比其他單個屬性重要。決策D2數(shù)據(jù)表中屬性a5的重要度為0.015，a5同樣比其他單個屬性重要。計算屬性重要度進(jìn)行重要性排序是綜合數(shù)據(jù)表信息的全局宏觀信息排序，屬性重要度大的在重要性排序中占全局靠前，但是對于其他屬性而言，單個屬性的屬性重要度均為0，無法通過計算屬性重要度的方法決定這些相對重要屬性重要程度的全局排序，無法對屬性進(jìn)行唯一鏈?zhǔn)脚判颍Y(jié)果不能直接適用于所研究問題。為了通過數(shù)值度量計算和區(qū)分各屬性的重要性，體現(xiàn)出各個屬性的不同影響程度并實現(xiàn)排序，下面給出結(jié)合粗糙集約簡理論和統(tǒng)計方法的屬性排序方法。

3 基于約簡的屬性頻次統(tǒng)計二級排序

本文第2節(jié)使用粗糙集屬性重要性度量計算了各屬性的重要度數(shù)值，但不能滿足所研究問題的需求，本節(jié)介紹使用粗糙集約簡理論和統(tǒng)計方法的二級排序方法。為了實施本節(jié)處理方法，需要使用粗糙集約簡理論計算該決策表在決策D1和D2下各自的全部約簡。由于所研究問題獲取到的決策表數(shù)據(jù)規(guī)模較小，可以對該決策表約簡窮舉。

根據(jù)統(tǒng)計學(xué)理論和約簡的意義，在窮舉得到的所有約簡中，單個屬性出現(xiàn)的頻數(shù)差別可以體現(xiàn)屬性的重要程度，出現(xiàn)次數(shù)越多屬性越重要。頻數(shù)又可以除以所有約簡的數(shù)量轉(zhuǎn)換為比例數(shù)值，通過數(shù)值化的統(tǒng)計結(jié)果可以對屬性的重要程度進(jìn)行排序。這是一種按照等級的排序，頻數(shù)(比例)越大重要等級越高，頻數(shù)(比例)越小重要等級越低，頻數(shù)(比例)相同重要等級相同。此方法使用統(tǒng)計學(xué)原理，可以保證數(shù)據(jù)表信息的客觀性和正確性，從全局信息出發(fā)保持?jǐn)?shù)據(jù)表信息不變的情況下得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)結(jié)果，方法有理論依據(jù)支持，計算得到的數(shù)值度量結(jié)果科學(xué)可靠。由此，將得到的約簡進(jìn)行轉(zhuǎn)換，使用數(shù)據(jù)表表示，用表格的形式表示對象的有無(0表示約簡中無該屬性，1表示約簡中有該屬性)，簡表見表3。

表3 決策D1數(shù)據(jù)表約簡的數(shù)據(jù)表(簡表)

根據(jù)表1、3可以按照本節(jié)所述頻次統(tǒng)計法計算得到不同決策下屬性重要性的有效數(shù)值度量，見表4。

表4 屬性重要性的數(shù)值度量

由此可以在不同決策下進(jìn)行屬性重要性由高到低的初次排序，結(jié)果見表5。

從表5可知：使用粗糙集屬性重要度的計算方法得到的屬性排序中，對冬季決策而言屬性a9和a7重要性相當(dāng)、a10和a3重要性相當(dāng)、a6和a1重要性相當(dāng)，對夏季決策而言屬性a7和a8重要性相當(dāng)、a6和a1重要性相當(dāng)、a9和a4重要性相當(dāng)、a10和a3重要性相當(dāng)。在排序過程中使用粗糙集的屬性重要度無法區(qū)分這些數(shù)值量相同的屬性的重要性程度，在所研究的問題中無法完成排序問題的最終結(jié)果。為了區(qū)分這些屬性以實現(xiàn)研究問題所需的屬性排序，下節(jié)介紹一種基于約簡的屬性影響程度均值三級排序方法。

4 基于約簡的屬性影響程度均值三級排序

在獲取全部約簡后，在約簡中去掉某屬性后屬性子集的重要度會減小，可以使用這一點量化計算重要度變化值的平均值(稱為平均影響程度)，以實現(xiàn)屬性的重要性(影響)區(qū)分。某屬性的重要度變化越大則其在約簡中的影響/作用就越大，這符合客觀規(guī)律和理論實踐，根據(jù)平均值理論全部約簡中這種影響的平均值越大則該屬性的影響越大，可以視為該屬性越重要，由此可以由定量計算轉(zhuǎn)換成定性排序。

表5 決策表重要性由高到低二級排序

粗糙集屬性重要度數(shù)值計算是基于數(shù)據(jù)表全局信息的量化計算方法，本節(jié)是基于數(shù)據(jù)表局部細(xì)化信息的量化計算方法。這種考量方法執(zhí)行細(xì)節(jié)計算，實現(xiàn)從定量到定性的局部轉(zhuǎn)換，比粗糙集屬性重要度計算的方法等級或?qū)哟?、級別低，可作為輔助計算方式，但是這種考量方法仍保持在同一標(biāo)準(zhǔn)下執(zhí)行數(shù)值計算比較，任何一個約簡均包含不影響系統(tǒng)研究的全部信息(不改變系統(tǒng)分類能力)，執(zhí)行數(shù)值差計算時考量的是全局約簡和同一屬性，計算結(jié)果使用平均值度量，這樣計算未改變度量標(biāo)準(zhǔn)和全局信息，具有可行性和說服力，可以獲得理論和實踐上的有效支撐，在本文所引用的實際問題中可以發(fā)揮作用，用來區(qū)別兩個屬性的重要程度。稱這種方法為基于約簡的影響程度均值三級排序方法，下面介紹該方法的具體實施過程。

在決策D1數(shù)據(jù)表中為了區(qū)分a7、a9，分別計算其所在約簡的重要度和去掉這個屬性后的屬性子集的重要度，對這兩個數(shù)值作差，然后對得到的這些數(shù)值求平均，平均值越大屬性重要性越大，由此實現(xiàn)這兩個同等級屬性的重要性排序，對于冬季碳排放決策表中的a3、a10和a1、a6和夏季碳排放決策表中的同等級屬性均采用此方法進(jìn)行重要性區(qū)分排序。對冬季碳排放影響因素中重要程度概率結(jié)果相同的屬性進(jìn)行區(qū)分計算，計算結(jié)果如表6、7所示。

表6 決策D1數(shù)據(jù)表中屬性a7的平均影響程度計算

表7 決策D1數(shù)據(jù)表中屬性a9的平均影響程度計算

由表6、7可知：在決策D1數(shù)據(jù)表中屬性a9的平均影響程度比屬性a7大，在重要性排序中a9比a7重要。對決策D1數(shù)據(jù)表中的屬性a3、a10和a1、a6，可以使用相同方法進(jìn)行計算。a3的平均影響程度為0.202，a10的平均影響程度為0.222，在重要性排序中a10比a9重要；a1的平均影響程度為0.122，a6的平均影響程度為0.297，在重要性排序中a6比a1重要。使用同樣的方法可以對決策D2數(shù)據(jù)表中的4組同等級屬性a7與a8、a6與a1、a4與a9、a3與a10進(jìn)行計算，通過計算結(jié)果可知a7比a8重要，a6比a1重要，a9比a4重要，a10比a3重要。根據(jù)上面計算可以對決策D1、D2數(shù)據(jù)表的屬性再次進(jìn)行排序，如表8所示。

表8 決策表屬性重要性由高到低三級排序

至此，經(jīng)過粗糙集重要性度量、頻次統(tǒng)計法、影響程度均值法三級排序即實現(xiàn)了所研究問題的數(shù)值度量計算，實現(xiàn)了屬性重要性的唯一鏈?zhǔn)脚判颉?1個影響因素對碳排放影響程度的綜合排序結(jié)果為：

夏季a5住房面積>a11能耗設(shè)備平均使用年限>a2建筑使用時間>a9家庭人均年收入>a7家庭常住人口數(shù)>a10節(jié)能意識>a3建筑層數(shù)>a8最高文化水平>a4所住樓層>a6家庭平均年齡>a1住房歸屬；

冬季a5住房面積>a2建筑使用時間>a7家庭常住人口數(shù)>a8最高文化水平>a11能耗設(shè)備平均使用年限>a6家庭平均年齡>a1住房歸屬>a9家庭人均年收入>a4所住樓層>a10節(jié)能意識>a3建筑層數(shù)。

根據(jù)實際經(jīng)驗和相關(guān)研究結(jié)果可以判斷上述結(jié)果的正確和可信，文中所使用的方法科學(xué)有效。

5 層級式計算金字塔模型

對本文引用的研究問題，以往研究中普遍使用的方法為調(diào)查統(tǒng)計法，需要大量的樣本數(shù)據(jù)，這些樣本數(shù)據(jù)需要進(jìn)行特定的設(shè)計和數(shù)據(jù)處理，還需要假設(shè)很多情景和滿足某些要求，其獲取的數(shù)據(jù)結(jié)果基于問卷調(diào)查統(tǒng)計結(jié)果和統(tǒng)計數(shù)據(jù)，工作強度大、工作難點多，在屬性排序研究中往往因為各種原因不能很好地進(jìn)行排序或排序結(jié)果不客觀，甚至只是使用分析的方法進(jìn)行屬性排序，不能很好地做到屬性排序的數(shù)量化考量。本文所使用的方法可以免去很多繁瑣的工作，針對所研究問題，獲取采樣數(shù)據(jù)的規(guī)律，這種采樣數(shù)據(jù)獲取渠道比較簡單和客觀，從獲取的數(shù)據(jù)表中挖掘潛在的客觀事實，是粗糙集理論應(yīng)用于創(chuàng)新實踐的一次有益嘗試。本文所用方法獲取的排序結(jié)果可以量化處理，排序結(jié)果與以往研究方法中獲取的結(jié)果一致且優(yōu)于以往結(jié)果，屬性排序結(jié)果符合統(tǒng)計規(guī)律、經(jīng)驗和直觀理解。

本文針對研究中遇到的屬性排序問題使用粗糙集方法和統(tǒng)計學(xué)方法，分三級量化計算完成屬性重要性程度各級定量計算和全局定性排序。

粗糙集屬性重要度計算方法為初次排序使用方法，使用決策表全局信息計算屬性重要性數(shù)值度量，由粗糙集屬性重要度定義直接得到，未進(jìn)行任何輔助處理，在分層級計算過程中其等級最高，為基于決策表全局宏觀信息的計算，在層級計算過程中排居第1級。

在粗糙集屬性重要度計算不能區(qū)分屬性排序的情況下，引進(jìn)統(tǒng)計學(xué)中的頻次統(tǒng)計法，通過可窮舉的約簡中屬性出現(xiàn)的頻次計算數(shù)值度量，使用該度量體現(xiàn)屬性的重要性程度，該過程引進(jìn)統(tǒng)計學(xué)方法間接計算，其理論依據(jù)扎實可靠，既包含全局約簡的宏觀信息，也包含在約簡中使用統(tǒng)計方法的微觀信息，在層級計算過程中其等級排居第2級。

對于頻次統(tǒng)計結(jié)果相同的情況，進(jìn)一步使用影響程度均值計算法，通過在窮舉的約簡中考慮去掉某屬性后的影響，計算該影響的均值，輔助性區(qū)分屬性的重要性程度，該方法使用粗糙集理論中屬性重要度和約簡的意義在所對比屬性所在約簡不完全相同的情況下從微觀角度細(xì)分綜合考量屬性的影響程度的均值。均值法和窮舉約簡保證數(shù)值度量的客觀性和科學(xué)性，計算結(jié)果在此步計算中可靠可信，可以區(qū)分屬性的重要性程度，因該方法在計算數(shù)據(jù)過程中不同屬性所在的約簡可能存在差異，故將此方法應(yīng)用于層級計算的第3級。

針對本文研究的屬性重要性排序?qū)蛹売嬎惴椒?，各層級計算的過程包含宏觀到微觀的變化和過渡，每級計算均執(zhí)行統(tǒng)一度量標(biāo)準(zhǔn)，這種計算過程和每個方法均有理論支撐，包括粗糙集理論、統(tǒng)計學(xué)方法、平均值方法等，其層級和執(zhí)行過程可表示為金字塔形狀，如圖1所示。

圖1 層級計算金字塔模型

本文所研究層級式解決方法的金字塔表示可以直觀反映各層級計算的等級和權(quán)重，執(zhí)行層級算法的過程實際上是問題由宏觀到微觀細(xì)化處理的過程，稱為層級式計算的金字塔模型。在應(yīng)用問題處理過程中，可以根據(jù)需要進(jìn)行處理，按需選擇是否執(zhí)行下級計算。

對第1層級的計算方法，除粗糙集理論中最原始的屬性重要度，有可能需要使用其他擴展的重要度計算方法[17]，或者使用信息熵等其他度量，在實際問題中可能需要進(jìn)行方法的選擇。針對不同問題可能選擇使用不同的粗糙集模型，比如變精度粗糙集、序信息系統(tǒng)、多粒度系統(tǒng)、多論域系統(tǒng)等，其對屬性重要度的計算和層級式計算的細(xì)化處理可能有所差別，本文所使用的研究方法和思路均可為各種類似問題提供參考。

6 結(jié)束語

針對本文引用的研究問題，通過三級計算的方式，實現(xiàn)了研究問題所需的鏈?zhǔn)轿ㄒ慌判颍瑢τ趯嶋H問題的研究具有很重要的突破，使用粗糙集不確定性推理和數(shù)據(jù)挖掘的理論優(yōu)勢對所研究問題進(jìn)行科學(xué)處理，獲得了科學(xué)、良好的數(shù)據(jù)結(jié)果。本文所研究的方法適用于約簡可以窮舉的決策表；對于約簡不能窮舉的決策表，本文方法具有一定的參考意義。從多數(shù)贊成的客觀規(guī)律和粗糙集包含度理論的研究角度，對約簡不能窮舉的決策表，本文方法在約簡的使用過程中可以考慮使用可得到的大多數(shù)約簡進(jìn)行計算，其結(jié)果也具有一定的參考價值，尤其是在大數(shù)據(jù)研究中，在進(jìn)行數(shù)據(jù)處理時，可能不會使用全部的數(shù)據(jù)結(jié)果(約簡)，使用多數(shù)贊成和包含度的處理方法可以實現(xiàn)在不同精度下不精確推理的數(shù)據(jù)處理。本文研究方法對于應(yīng)用問題的研究和處理具有很好的參考價值。