植物根底害蟲(chóng)治理控制模型研究

王鐵英，左 萍，蔡 瑾

(中國(guó)人民公安大學(xué) 信息技術(shù)與網(wǎng)絡(luò)安全學(xué)院，北京 100038)

0 引言

近年來(lái)，地下害蟲(chóng)發(fā)生和危害日趨嚴(yán)重，給農(nóng)業(yè)生產(chǎn)造成重大損失，所以對(duì)地下害蟲(chóng)的治理控制越來(lái)越受到人們的重視[1].在植物根底的土壤中常存在一種以土壤中微生物為食的害蟲(chóng)，它的存在對(duì)植物根系增長(zhǎng)造成極大的危害，必以農(nóng)藥殺之.當(dāng)然農(nóng)藥也會(huì)對(duì)土壤微生物造成一定的損害，我們要通過(guò)了解害蟲(chóng)發(fā)生的狀態(tài)來(lái)控制用藥量，使害蟲(chóng)得到控制并且保證土壤微生物保持正常生長(zhǎng)進(jìn)而有益于植物生長(zhǎng).害蟲(chóng)防治是一個(gè)生態(tài)學(xué)問(wèn)題，防治害蟲(chóng)的目的不是單純地追求直接消滅防治對(duì)象，而是為了控制種群數(shù)量，使其對(duì)作物不足以造成危害.當(dāng)害蟲(chóng)的數(shù)量達(dá)到經(jīng)濟(jì)閾值(Economic Threshold， ET)的時(shí)候，通過(guò)噴灑農(nóng)藥來(lái)控制害蟲(chóng)的數(shù)量，不讓其超過(guò)經(jīng)濟(jì)危害水平(Economic Injury Level， EIL).目前，應(yīng)用文獻(xiàn)[2]中提出的半連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的理論和方法研究害蟲(chóng)治理，已有很多報(bào)道[3-8].

本文針對(duì)植物根底害蟲(chóng)建立如下具有狀態(tài)反饋控制治理害蟲(chóng)模型：

(1)

其中:x和y是t時(shí)刻土壤中微生物和害蟲(chóng)的密度；r>0是x的內(nèi)稟增長(zhǎng)率；ω>0為半飽和常數(shù)；α，α1是正常數(shù)；β>0是害蟲(chóng)的死亡率；0

1 無(wú)脈沖系統(tǒng)的定性分析

(2)

1.1 系統(tǒng)(2)的奇點(diǎn)分析

利用系統(tǒng)(2)所對(duì)應(yīng)的線性系統(tǒng)，不難判定O為鞍點(diǎn)，當(dāng)正平衡點(diǎn)存在時(shí)R1也必為鞍點(diǎn)；正平衡點(diǎn)R(x2,y2)是穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn)或焦點(diǎn).

1.2 確定無(wú)環(huán)區(qū)域

取Dulac函數(shù)B(x,y)=x-1y-1,容易算得

1.3 全局漸近穩(wěn)定性

定理1 若

(3)

證明根據(jù)環(huán)域定理，構(gòu)造外境界線.當(dāng)y>0時(shí)，由于

故當(dāng)軌線與x=x1相遇時(shí)，均從直線x=x1的右方穿入左方(如圖1所示).考察直線

l?y+(x-x1)-y1=0.

由于

(α-α1-1)x2+(β+α1x1-αx1)x+

只需選取

y1>max{((α-α1-1)x2+(β+α1x1-αx1)x+

故當(dāng)軌線與y=yC相遇時(shí)，均從直線y=yC的上方穿入下方.

圖1 有界域Fig. 1 Bounded domain

2 系統(tǒng)(1)周期解的存在性與穩(wěn)定性

定理3 若0

圖2 當(dāng)0

(2)穩(wěn)定性：由上述階1周期解存在性的推導(dǎo)過(guò)程及系統(tǒng)(1)的幾何結(jié)構(gòu)(圖1和圖2)，可以知道系統(tǒng)(1)的階1周期解為單側(cè)漸近型凸閉階1周期解，利用定理2和參考文獻(xiàn)[9]中的定理5.19的推論5.3研究系統(tǒng)(1)的階1周期解的穩(wěn)定性.

對(duì)于系統(tǒng)(1)，我們計(jì)算

符號(hào)不確定，構(gòu)造Dulac函數(shù)B(x,y)=x-1y-1，在區(qū)域G′={(x,y)|x>0,y>0}內(nèi)連續(xù)、可微，系統(tǒng)(1)化為

(4)

對(duì)系統(tǒng)(4)有

由參考文獻(xiàn)[9]中定理5.19的推論5.3可知系統(tǒng)(1)的階1周期解是軌道穩(wěn)定的.證畢.

3 結(jié)論

本文研究了一類(lèi)帶有脈沖狀態(tài)反饋控制的植物根底害蟲(chóng)治理模型的動(dòng)力學(xué)行為. 首先分析了無(wú)脈沖控制系統(tǒng)(2)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，此系統(tǒng)在第一象限內(nèi)不存在極限環(huán)，正平衡點(diǎn)R(x2,y2)是全局漸近穩(wěn)定的.從生態(tài)意義上來(lái)說(shuō)，若經(jīng)濟(jì)臨界值y*>y2，由正平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性，害蟲(chóng)種群與微生物種群最終將穩(wěn)定在正平衡點(diǎn)R(x2,y2)的位置上，所以在這種情況下害蟲(chóng)種群的數(shù)量永遠(yuǎn)不會(huì)達(dá)到經(jīng)濟(jì)危害值. 其次證明了當(dāng)y*