平面向量問題的切入點探究

江蘇省海門中學(xué) (226100)

曹亞東

由于向量表示方法多、聯(lián)系知識廣、解題思路靈活，學(xué)生在學(xué)習(xí)平面向量時有這樣的困惑:“老師，平面向量既有數(shù)的特征又有形的特征，請您告訴我們在求解平面向量問題時到底何時從數(shù)入手何時從形入手好呢？”本文通過對一道平面向量問題的多角度分析，談?wù)勎沂侨绾巫寣W(xué)生尋找到平面向量解題切入點的.

一、從代數(shù)角度探究

“如果沒有運(yùn)算，向量只是一個‘路標(biāo)’，因為有了運(yùn)算，向量的力量無限.”正因為有了向量的代數(shù)運(yùn)算，才使得向量的問題變得多姿多彩.本題如果從代數(shù)運(yùn)算的角度有以下三個切入點.

切入點一：從代數(shù)變換入手探究

切入點二：從向量數(shù)量積的定義入手探究

解法三比解法一、二來的簡潔，關(guān)鍵在于直接將向量數(shù)量積用向量的模和夾角的余弦來表示.象這種以三角形為背景的向量問題一般采用邊角互化來完成.所以，從已知結(jié)構(gòu)入手，將題設(shè)中給出的信息和我們學(xué)過的公式、定理等等溝通起來，不然就不太容易找到解題突破口.

切入點三：用坐標(biāo)法入手探究

用坐標(biāo)來表示向量，本質(zhì)就把向量問題轉(zhuǎn)化成了代數(shù)問題來求解.

圖1

圖2

當(dāng)然也可如圖2建系，方法同解法四.

解法四坐標(biāo)法求解思維程度要求不高，是比較簡單的一種解法.因此，在解決向量問題時，一般涉及到夾角為特殊角的問題優(yōu)先考慮建系用坐標(biāo)法求解，若不行，再考慮要用其它的方法處理.

二、從幾何角度探究

向量的代數(shù)運(yùn)算非常重要，但向量畢竟不是數(shù)量，它是既有大小又有方向的量，有向線段是其最直觀和貼切的表示，若所有的向量題目純粹用代數(shù)運(yùn)算，而不能數(shù)形結(jié)合，則似單腿走路，必定行之不遠(yuǎn)，所以我們考慮從數(shù)形結(jié)合的角度來研究.

切入點四：從數(shù)形結(jié)合的角度入手探究

圖3

圖4

解法六：如圖4，取AB中點為O，連接CO并延長至點D，使得CO=OD，過點C、D分別作邊AB的垂線，垂足分別為M、N.

數(shù)形結(jié)合是解決平面向量問題的最重要的數(shù)學(xué)思想，所以必須讓學(xué)生熟練掌握和理解向量各種運(yùn)算的幾何意義，引導(dǎo)學(xué)生多從數(shù)形結(jié)合角度去解決平面向量問題，多利用平面幾何中的圖形性質(zhì)，不僅可以簡化運(yùn)算，還能大大提高解題的準(zhǔn)確率.解法五的數(shù)形結(jié)合只是利用了數(shù)量積的幾何意義，顯得格外的簡潔明了.同樣的數(shù)形結(jié)合利用解法六就不是那么容易想到，技巧性比較高.從上面的幾種解法我們看到利用數(shù)形結(jié)合解題非常快捷，但對學(xué)生的要求比較高，它需要我們的學(xué)生牢固掌握一些概念和運(yùn)算的幾何意義，以及曲線的代數(shù)特征，然后利用題目中的條件和結(jié)論等分析它的幾何意義，從而達(dá)到數(shù)向形的轉(zhuǎn)化.

以上介紹了幾種向量問題解題切入點的探究方法，實際上向量問題的解題切入點遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止以上幾種方法，它需要我們在平時解題過程中多注意思想方法的積累并將它靈活運(yùn)用.只有根據(jù)具體問題具體分析，憑借積累的經(jīng)驗、直覺和靈感等不斷嘗試探索，從而快速而準(zhǔn)確地找尋到具體而恰當(dāng)?shù)慕忸}方法，這才是學(xué)好數(shù)學(xué)之關(guān)鍵所在.