抓實(shí)探究過(guò)程滲透數(shù)學(xué)思想

陳麗云

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》（以下簡(jiǎn)稱“新課程標(biāo)準(zhǔn)”）明確提出：讓學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)獲得適應(yīng)未來(lái)社會(huì)生活和進(jìn)步發(fā)展所必需的重要的數(shù)學(xué)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。“數(shù)學(xué)廣角”的內(nèi)容是通過(guò)生活實(shí)例呈現(xiàn)一個(gè)個(gè)數(shù)學(xué)經(jīng)典問(wèn)題，在探究過(guò)程中，使學(xué)生經(jīng)歷和體驗(yàn)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題的有效性和價(jià)值。本文以人教版六年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第68～69頁(yè)例1、例2“鴿巢問(wèn)題”的教學(xué)為例，談?wù)勗跀?shù)學(xué)廣角中滲透數(shù)學(xué)思想的一些做法。

一、通過(guò)課前互動(dòng)，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

在教學(xué)“鴿巢問(wèn)題”一課時(shí)，課前帶領(lǐng)學(xué)生開(kāi)展了兩個(gè)互動(dòng)游戲。一是搶凳子（①人與凳子一一對(duì)應(yīng)；②人比凳子多1）。二是變魔術(shù)。一副54張的撲克牌，取出大小王，還剩52張，請(qǐng)5人每人隨意抽取一張，師準(zhǔn)確判斷至少有2張牌是同一花色的。在兩個(gè)游戲中，滲透總有和至少兩個(gè)概念。

游戲情境中的元素，是學(xué)生生活中比較熟悉、生動(dòng)有趣的素材，可激發(fā)學(xué)生探究游戲背后的數(shù)學(xué)原理的強(qiáng)烈愿望。

二、通過(guò)自主探究，感悟數(shù)學(xué)思想

活動(dòng)一：研究3支鉛筆放進(jìn)2個(gè)文具盒。

1.要把3支鉛筆放進(jìn)2個(gè)文具盒，有幾種放法？請(qǐng)同學(xué)們想一想、擺一擺、寫一寫，再把你的想法在小組內(nèi)交流。

2.反饋。

生：兩種放法（3，0）和（2，1）。

師：請(qǐng)觀察兩個(gè)文具盒里的鉛筆數(shù)，看看有什么發(fā)現(xiàn)？

生：總有一個(gè)文具盒至少放進(jìn)2支鉛筆。

師：“總有”什么意思？

生：一定有。

師：“至少”有2支鉛筆什么意思？

生：不少于2支。

師：在研究3支鉛筆放進(jìn)2個(gè)文具盒時(shí)，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)了“不管怎么放，總有一個(gè)文具盒里至少放進(jìn)2支鉛筆”。

在課前互動(dòng)游戲中滲透了總有和至少兩個(gè)概念，在研究3支鉛筆放進(jìn)2個(gè)文具盒時(shí)，學(xué)生能順利遷移。

活動(dòng)二：研究4支鉛筆放進(jìn)3個(gè)文具盒

1.要把4支鉛筆放進(jìn)3個(gè)文具盒里，有幾種放法？請(qǐng)同學(xué)們動(dòng)手?jǐn)[一擺、寫一寫，再把你的想法在小組內(nèi)交流。

2.反饋。

生：四種放法（4，0，0）、（3，1，0）、（2，2，0）、（2，1，1）。

師：這次有四種放法，同學(xué)們請(qǐng)?jiān)俅斡^察三個(gè)文具盒里的鉛筆數(shù)又有什么發(fā)現(xiàn)呢？

生：還是發(fā)現(xiàn)總有一個(gè)筆盒至少有2支鉛筆。

師：像這樣一種一種地羅列出來(lái)的方法，我們把它叫做“枚舉法”。

師：你能琢磨琢磨看有沒(méi)有更直接的辦法，只擺一種，就能解釋這個(gè)結(jié)論嗎？

生：假設(shè)每個(gè)文具盒都先放進(jìn)一支，還剩一支不管放進(jìn)哪個(gè)文具盒，總有一個(gè)文具盒至少有2支鉛筆。

師：能解釋一下你的想法嗎？

生：假設(shè)在每個(gè)文具盒里放1支鉛筆，其實(shí)就是用“平均分”的辦法把4支鉛筆平均分給3個(gè)文具盒，剩下1支任意放進(jìn)哪個(gè)文具盒里，那個(gè)文具盒里就有2支鉛筆了。

師：這位同學(xué)的思路真清晰。用假設(shè)的方法來(lái)分配鉛筆，我們就叫它“假設(shè)法”吧。

師：誰(shuí)能用算式來(lái)表示這位同學(xué)的想法？

生：4÷3=1……1。

師：商1表示什么？余數(shù)1表示什么？

生：商1表示每個(gè)文具盒里有一支鉛筆，余數(shù)1表示還剩下一支鉛筆。

師：在探究4支鉛筆放進(jìn)3個(gè)文具盒的問(wèn)題時(shí)，同學(xué)們用了“枚舉法”和“假設(shè)法”來(lái)說(shuō)明理由，你覺(jué)得哪種方法更明了更簡(jiǎn)單？

評(píng)析：“鴿巢問(wèn)題”選取學(xué)生熟悉的生活事例，為原本抽象深?yuàn)W的數(shù)學(xué)思想搭建了豐富的現(xiàn)實(shí)背景。通過(guò)讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、思考、琢磨、交流、推理、解釋等富有思維成分的兩個(gè)活動(dòng)來(lái)弄清事理，建立初步的數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想，體驗(yàn)數(shù)學(xué)思考，培養(yǎng)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度來(lái)解釋問(wèn)題。

三、通過(guò)合作研究，建立數(shù)學(xué)模型

“鴿巢問(wèn)題”是較為抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題，學(xué)生理解并抽象出抽屜原理有一定的難度，在學(xué)生經(jīng)歷了“枚舉法”和“假設(shè)法”兩種數(shù)學(xué)思考之后，再通過(guò)合作研究建立數(shù)學(xué)模型，深化推理。

活動(dòng)三：研究鉛筆數(shù)比文具盒數(shù)多1的情況。

師：請(qǐng)各小組快速研究以下幾個(gè)問(wèn)題。

把5支鉛筆放進(jìn)4個(gè)文具盒，是不是總有一個(gè)文具盒至少有2支鉛筆？為什么？

把6支鉛筆放進(jìn)5個(gè)文具盒，是不是總有一個(gè)文具盒至少有2支鉛筆？為什么？

把7支鉛筆放進(jìn)6個(gè)文具盒，是不是總有一個(gè)文具盒至少有2支鉛筆？為什么？

把100支鉛筆放進(jìn)99個(gè)文具盒，是不是總有一個(gè)文具盒至少有2支鉛筆？為什么？

生分組板書：5÷4=1（支）……1（支） 1+1=2（支）

6÷5=1（支）……1（支） 1+1=2（支）

7÷6=1（支）……1（支） 1+1=2（支）

100÷99=1（支）……1（支） 1+1=2（支）

師：從剛才的探究活動(dòng)中，你能總結(jié)出求至少數(shù)的方法嗎？

生：我們發(fā)現(xiàn)只要放的鉛筆數(shù)比文具盒的數(shù)量多1，總有一個(gè)文具盒里至少放進(jìn)2支鉛筆?？梢员硎緸椋褐辽贁?shù)=商+1

師：同學(xué)們很善于思考，真棒！

活動(dòng)四：如果鉛筆數(shù)比文具盒數(shù)多2呢？多3呢？多5呢……是不是也能得到“總有一個(gè)文具盒至少有2支鉛筆”的結(jié)論呢？

下面請(qǐng)用剛才總結(jié)的方法再研究以下問(wèn)題：

1.如果把8個(gè)蘋果放入4個(gè)抽屜中，至少有幾個(gè)蘋果被放到同一個(gè)抽屜里呢？

2.如果把8個(gè)蘋果放入3個(gè)抽屜中，至少有幾個(gè)蘋果被放到同一個(gè)抽屜里呢？

3.如果把8個(gè)蘋果放入5個(gè)抽屜中，至少有幾個(gè)蘋果被放到同一個(gè)抽屜里呢？

生板書：8÷4=2

8÷3=2……2

8÷5=1……3

師：誰(shuí)能解釋這一個(gè)結(jié)果？

生描述現(xiàn)象，教師板書總結(jié)為：

至少數(shù)

物體個(gè)數(shù)÷抽屜個(gè)數(shù)=商數(shù)

（物品數(shù)）（容器數(shù)）8÷4=2 無(wú)余數(shù) 商

8÷3=2 ……2 有余數(shù) 商+1

8÷5=1……3 有余數(shù) 商+1

師：那可以換一種物品嗎？比如鴿舍里關(guān)鴿子、袋子里放小球等，如果可以換，那要怎么描述呢？

生：可以換啊，我們可以把蘋果、小球、鴿子等都叫做物品數(shù)，把鴿舍、盤子、袋子叫做容器數(shù)。

師：這位同學(xué)歸納得很好，我們今天所研究的求至少數(shù)的方法最先是由19世紀(jì)的德國(guó)數(shù)學(xué)家狄里克雷提出來(lái)的，所以又稱“狄里克雷原理”，也稱為“鴿巢原理”或者“抽屜原理”。這一原理在解決實(shí)際問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用?！俺閷显怼钡膽?yīng)用是千變?nèi)f化的，用它可以解決許多有趣的問(wèn)題。

將活動(dòng)建立在學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，使教師的教基于學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行。

四、通過(guò)有效訓(xùn)練，鞏固數(shù)學(xué)思想

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，訓(xùn)練是不可忽視的重要環(huán)節(jié)，在學(xué)生理解數(shù)學(xué)模型，初步形成數(shù)學(xué)思想之后，設(shè)計(jì)有梯度的練習(xí)，在練習(xí)中再次指導(dǎo)學(xué)生對(duì)現(xiàn)象加以解釋，并作適當(dāng)拓展，使學(xué)生再次體驗(yàn)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題的價(jià)值。在“鴿巢問(wèn)題”訓(xùn)練環(huán)節(jié)，設(shè)計(jì)了以下基本練習(xí)和拓展練習(xí)。

1.基本練習(xí)。

做一做：請(qǐng)用鴿巢原理解釋以下現(xiàn)象。

（1）7只鴿子飛回5個(gè)鴿舍，至少有2只鴿子要飛進(jìn)同一個(gè)鴿舍里。為什么？（生：解釋現(xiàn)象。）

教師示范描述：假設(shè)一個(gè)鴿舍里飛進(jìn)1只鴿子，5個(gè)鴿舍最多飛進(jìn)5只鴿子，還剩2只鴿子，所以無(wú)論怎么飛，至少有2只鴿子要飛進(jìn)同一個(gè)鴿舍里。列式為：7÷5=1（只）……2（只）至少數(shù)=1+1=2

（2）9只鴿子飛回4個(gè)鴿舍，至少有3只鴿子要飛進(jìn)同一個(gè)鴿舍里。為什么？（生：解釋現(xiàn)象。）

教師示范描述：假設(shè)先讓一個(gè)鴿舍里飛進(jìn)2只鴿子，4個(gè)鴿舍最多飛進(jìn)8只鴿子，還剩1只鴿子，所以無(wú)論怎么飛，至少有3只鴿子要飛進(jìn)同一個(gè)籠子里。9÷4=2（只）……1（只）至少數(shù)=2+1=3

2.拓展練習(xí)。

請(qǐng)用鴿巢原理解答以下問(wèn)題。

（1）在任意15人當(dāng)中，至少有（ ）人的屬相相同。

（2）六年級(jí)有370名學(xué)生，至少有（ ）人是同一天生的。

評(píng)析：“鴿巢原理”在生活中應(yīng)用廣泛，學(xué)生在生活中常常能遇到實(shí)例，但并不能有意識(shí)地從數(shù)學(xué)的角度來(lái)理解和運(yùn)用“鴿巢原理”。通過(guò)這樣幾個(gè)片段的教學(xué)，有意識(shí)地讓學(xué)生理解“鴿巢原理”的“一般化模型”。有效地培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手操作能力、小組合作能力、邏輯思維能力和歸納推理能力，加上學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)，能更好地感受到用“鴿巢原理”解決問(wèn)題的價(jià)值。