層層猜想 處處探究
——“三角形的拼接”教學(xué)實(shí)錄與評析

◇執(zhí)教/陳加倉 評析/符玲利

一、談話引入，提出問題

1.談話引入。

師：（呈現(xiàn)圖片。圖片略）大家玩過“橋梁建筑師”游戲嗎？它是用什么圖形來建造橋梁的？

生：三角形。

師：是的，三角形具有穩(wěn)定性，用一個(gè)個(gè)三角形拼接成的橋梁，肯定比較牢固。今天這節(jié)課我們就來研究“三角形的拼接”。

2.提出問題。

師：猜一猜，10個(gè)三角形拼接，有14個(gè)連接點(diǎn)，有幾條邊呢？

生：30條邊。

生：25條邊。

生：5條邊。

（師引導(dǎo)后，學(xué)生發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤）

師：到底有幾條邊呢？一下子解決10個(gè)三角形的拼接問題有點(diǎn)困難，怎么辦呢？

生：從2個(gè)三角形拼接開始研究。

師：真厲害，把復(fù)雜的問題簡單化。

評析：通過“橋梁建筑師”游戲情境的導(dǎo)入，激發(fā)學(xué)生研究三角形拼接問題的興趣，進(jìn)一步感悟數(shù)學(xué)來源于生活。通過“猜一猜”的環(huán)節(jié)，學(xué)生感受解決10個(gè)三角形拼接問題的困難，從而進(jìn)行簡化滲透“化繁為簡”的數(shù)學(xué)思想。

二、探索研究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

（一）舉例。

1.2個(gè)三角形的拼接。

師：2個(gè)三角形是怎樣拼接的呢？請同學(xué)們到黑板前演示一下。

學(xué)生板演“拼接”，課件再呈現(xiàn)結(jié)果。（如圖1）

圖1

師：數(shù)數(shù)看，它們分別有幾條邊、幾個(gè)點(diǎn)呢？

學(xué)生回答后教師板書如表1。

表1

師：它們拼接的方法不同，得到的拼接圖也不同，邊數(shù)與點(diǎn)數(shù)也不同。請同學(xué)們仔細(xì)觀察，它們有什么相同的地方？

生：都是2個(gè)三角形的拼接。

生：邊數(shù)減少1，點(diǎn)數(shù)減少1。

生：邊數(shù)比點(diǎn)數(shù)多1。

師：如果3個(gè)三角形拼接，邊數(shù)與點(diǎn)數(shù)又有什么關(guān)系呢？請同學(xué)們自己畫圖研究。

2.3個(gè)三角形的拼接。

畫圖研究，匯報(bào)交流。

生：如圖2，我把3個(gè)三角形拼接在一起，它一共有 9條邊，7個(gè)點(diǎn)。（如圖2）

圖2

生：我研究的結(jié)果也是9條邊，7個(gè)點(diǎn)，但是形狀不一樣。（如圖3）

圖3

師：為什么拼接形狀不同，但是邊數(shù)與點(diǎn)數(shù)卻是相同的？

生：它們的拼接方式是一樣的，都是點(diǎn)與點(diǎn)的拼接。

師：真棒！如果拼接方式不同，得到結(jié)果也不同。還有誰研究的結(jié)果不一樣？

生：我是這樣拼接的，（如圖4）得到的邊數(shù)是8條，點(diǎn)有6個(gè)。

圖4

生：我是這樣拼接的，（如圖5）得到的邊數(shù)是7條，點(diǎn)有5個(gè)。

圖5

課件展示學(xué)生的研究成果并補(bǔ)充在表1中。

師：請?jiān)僮屑?xì)觀察，3個(gè)三角形拼接時(shí)，邊數(shù)與點(diǎn)數(shù)有什么關(guān)系？

生：邊數(shù)比點(diǎn)數(shù)大2。

評析：動(dòng)手操作可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)學(xué)生理解與記憶，是活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累的必備步驟。陳老師此處給學(xué)生充分的操作機(jī)會(huì)，反饋時(shí)注重引導(dǎo)學(xué)生比較相同數(shù)據(jù)、不同的擺法，突出共性，為后續(xù)推理奠定了基礎(chǔ)。

（二）猜想。

師：請大家猜想一下：4個(gè)三角形拼接，邊數(shù)與點(diǎn)數(shù)相差幾？

生：4個(gè)三角形拼接，邊數(shù)與點(diǎn)數(shù)相差3。

師：5個(gè)三角形拼接呢？

生：5個(gè)三角形拼接，邊數(shù)與點(diǎn)數(shù)相差4。

生：相差數(shù)都比三角形個(gè)數(shù)少1。

師：也就是說“三角形個(gè)數(shù)-1=邊數(shù)-點(diǎn)數(shù)（相差數(shù)）”，這樣的猜想對嗎？請同學(xué)們再動(dòng)手驗(yàn)證一下。

評析：猜想是歸納推理過程中關(guān)鍵的一步，有了猜想學(xué)生才有進(jìn)一步探究驗(yàn)證的必要性。教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)觀察結(jié)果大膽猜想，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。

（三）驗(yàn)證。

學(xué)生畫圖驗(yàn)證，匯報(bào)后補(bǔ)充在表1中，形成表2。

表2

師：通過剛才的研究，我們發(fā)現(xiàn)了“三角形個(gè)數(shù)-1=邊數(shù)-點(diǎn)數(shù)”是正確的。

師：以此類推，6個(gè)三角形拼接，邊數(shù)與點(diǎn)數(shù)相差幾？（生：相差 5）7 個(gè)三角形拼接呢？（生：相差 6）8個(gè)三角形拼接呢？（生：相差 7）那么 10個(gè)三角形拼接，有 14個(gè)點(diǎn)，有幾條邊？（生：10-1=9，14+9=23）100個(gè)三角形拼接，邊數(shù)與點(diǎn)數(shù)相差幾呢？

生：相差 99。

生：不管幾個(gè)三角形，它們的相差數(shù)總比三角形個(gè)數(shù)少1。

師：那我用字母n來表示任意個(gè)三角形，再增加1個(gè)三角形之后邊數(shù)、點(diǎn)數(shù)會(huì)發(fā)生什么變化呢？

觀察課件演示，找出邊與點(diǎn)的增加數(shù)。（如圖6）

圖6

（2）觀察發(fā)現(xiàn)增加的邊數(shù)與點(diǎn)數(shù)之間的關(guān)系，如表3。

表3

生：三角形個(gè)數(shù)增加1，邊數(shù)與點(diǎn)數(shù)的相差數(shù)也大了1。

師：三角形的拼接，我們已經(jīng)研究好了，接下來，你們還想研究哪些圖形的拼接呢？

生：正方形、五邊形、六邊形……

師：由于時(shí)間關(guān)系，這節(jié)課我們先研究正方形的拼接，那么怎么研究呢？

生：我們可以先舉例研究，然后猜想，最后驗(yàn)證。

評析：為了讓學(xué)生充分體驗(yàn)歸納推理的過程，陳老師先帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行舉例驗(yàn)證，但受課堂教學(xué)時(shí)間和數(shù)據(jù)的限制，總是不能窮舉。于是通過n個(gè)與（n+1）個(gè)的圖形直觀操作，進(jìn)一步進(jìn)行驗(yàn)證，讓學(xué)生經(jīng)歷完整的推理過程。

三、再次實(shí)踐，拓展延伸

1.研究正方形的拼接問題。

學(xué)生動(dòng)手畫，觀察，然后匯報(bào)。

生：我們發(fā)現(xiàn)“正方形個(gè)數(shù)-1=邊數(shù)-點(diǎn)數(shù)”。

2.類推：五邊形、六邊形拼接，它們的個(gè)數(shù)與邊數(shù)、點(diǎn)數(shù)之間的關(guān)系。

生：五邊形個(gè)數(shù)-1=邊數(shù)-點(diǎn)數(shù)。

生：六邊形個(gè)數(shù)-1=邊數(shù)-點(diǎn)數(shù)。

生：八邊形個(gè)數(shù)-1=邊數(shù)-點(diǎn)數(shù)。

師：誰能歸納概括一下這些規(guī)律？

生：多邊形個(gè)數(shù)-1=邊數(shù)-點(diǎn)數(shù)。

師：三角形的拼接存在這樣的關(guān)系，為什么其他多邊形的拼接也存在這樣的規(guī)律呢？

3.解釋原因，溝通聯(lián)系。

課件演示如圖7后，指出：正方形、五邊形、六邊形等多邊形的拼接都可以轉(zhuǎn)化成三角形的拼接。

圖7

評析：在探究三角形拼接問題的過程中，學(xué)生初步掌握了推理的方法。于是陳老師立即引導(dǎo)學(xué)生用歸納推理的一般方法研究四邊形中各個(gè)量之間的關(guān)系,再順勢引導(dǎo)：為什么四邊形、五邊形、六邊形也會(huì)有這樣的規(guī)律呢？通過課件演示圖形分割，學(xué)生頓時(shí)豁然開朗。此環(huán)節(jié)猜想與證明相結(jié)合，讓歸納推理更具科學(xué)性。

四、欣賞總結(jié)，課外探索

1.課件演示各種拼接圖形。

2.課外探索：課件演示，利用下列各拼接圖，拼接成立體圖形，則面數(shù)、棱數(shù)與點(diǎn)數(shù)又有什么關(guān)系呢？（如圖8）

圖8

評析：課的結(jié)尾欣賞完各類圖的拼接后，提出新的數(shù)學(xué)問題：“立體圖形中面數(shù)、棱數(shù)、點(diǎn)數(shù)之間又有什么關(guān)系呢？”這為學(xué)生后續(xù)的研究指明了方向。從平面圖形的研究到立體圖形的研究，陳老師不僅教給學(xué)生知識、方法，還培養(yǎng)學(xué)生的推理意識和能力。