大壩服役非概率可靠性分析方法

顧沖時，張晶梅

(1. 河海大學水文水資源與水利工程科學國家重點實驗室，江蘇 南京 210098；2. 河海大學水利水電學院，江蘇 南京 210098)

我國已建成各類水庫大壩9.8萬余座，其數量居世界首位，它們在防洪、灌溉、供水、發(fā)電和航運等方面產生了非常顯著的社會和經濟效益[1-2]。隨著服役年限的增長，在役大壩的老化和病害問題日益凸顯，大壩的健康服役受到威脅。目前，我國大壩工程管理模式正逐漸從傳統(tǒng)的安全管理向風險管理過渡[3-5]。大壩服役性態(tài)受多種因素的影響，如水文水力不確定性導致的庫水位、壩基揚壓力和風浪等荷載作用的不確定性，工程地質和筑壩材料等不確定性引起的壩基抗剪強度、混凝土強度等的不確定性，所以，大壩本質上是一個復雜的不確定性系統(tǒng)[6-7]，充分考慮影響因素不確定性的可靠性分析是大壩風險管理的重要環(huán)節(jié)。通過對大壩進行服役可靠性分析，評價其服役安全性，對提高我國大壩管理水平具有十分重要的理論意義和現(xiàn)實意義。

傳統(tǒng)大壩服役可靠性分析一般采用隨機概率方法，當不確定因子為隨機因子且能獲取其概率統(tǒng)計特征時，隨機分析結果能較好地反映大壩服役可靠性。但是，在大壩眾多不確定影響因子中，有些因子的統(tǒng)計資料匱乏，無法確定其完整的概型分布，還有些因子并非具有嚴格隨機性[8]，這在一定程度上制約了隨機方法在大壩服役可靠性分析中的應用。

為能在不確定性因子的統(tǒng)計資料很少時實現(xiàn)結構的可靠性分析，Ben-Haim[9-10]針對因子的基本波動界限相對較易確定的特點，提出了采用凸集模型來刻畫該種不確定性的方法，并于20世紀90年代，首次從非概率的角度開展了結構可靠性分析方面的研究，用在保證結構安全的前提下能夠允許的最大不確定性波動程度來度量可靠性；之后，Ben-Haim[11]將凸集模型進一步擴展為Info-gap(Information gap)模型。

非概率方法僅需掌握影響因子的基本波動范圍，因此，一些學者開始嘗試將其用于解決影響因子統(tǒng)計信息匱乏情況下的大壩服役可靠性分析中。彭友文[12]采用凸集模型描述影響因子的不確定性，在此基礎上建立了重力壩風險率評價的非概率模型；張勇等[13]結合響應面有限元法建立了高拱壩的非概率可靠度計算模型；夏雨等[14]采用區(qū)間凸集模型刻畫拱壩材料參數的不確定性，利用有限元建模得到壩體單元的非概率可靠度；Su等[15]構建了基于不確定參數區(qū)間凸集模型的重力壩非概率時變可靠度計算模型。非概率可靠性分析理論在壩工領域的研究和應用尚不多見，而且已有研究中并沒有深入探討非概率可靠性度量指標(即可靠度)的普適形式，因此，應在提出較為合適的非概率可靠度基礎上，進一步研究大壩服役可靠性分析的非概率方法。

針對上述問題，本文將分散度參數引入Info-gap理論，建立定量刻畫大壩服役可靠性非概率影響因子的Info-gap模型；研究Info-gap決策理論和體積比非概率可靠性度量方法，提出大壩服役非概率可靠性分析方法；擬定大壩服役非概率目標可靠度，并將其作為對非概率可靠性分析結果進行評估的標準；應用所提非概率方法對某大壩進行結構服役可靠性分析，以驗證該方法的工程適用性。

1 大壩非概率不確定性分析模型

在影響大壩服役可靠性的眾多不確定因子中，由于現(xiàn)場試驗或監(jiān)測條件有限，有些因子的統(tǒng)計資料很少(如影響大壩穩(wěn)定的抗剪強度指標)，還有些因子受人為干擾而不具有嚴格的隨機性(如庫水位等)，這些原因導致了大壩服役可靠性影響因子的不確定性不能簡單用隨機概率分布描述，而Info-gap模型可以解決該問題。

1.1 引入分散度參數的Info-gap模型

?{x|xi∈[xli,xui]}}

(1)

式中：xi為x的分量；xli和xui分別為xi基本變化區(qū)間的下界和上界。

區(qū)間Info-gap模型和橢球Info-gap模型是最為常見的兩種Info-gap模型：

α∈R+

(2)

α∈R+

(3)

式中：x=(x1,x2,…,xn)T；θ=(θ1,θ2,…,θn)T是區(qū)間模型的n維分散度向量；θ為橢球模型的分散度參數；W為表征橢球形狀的實對稱正定矩陣。

(4)

1.2 大壩非概率不確定影響因子的Info-gap模型

考慮大壩某一服役功能模式的響應函數g(x)，x=(x1,x2,…,xn)T為影響因子向量，包括上下游水位H1和H2、揚壓力系數a、泥沙淤積高度hn、混凝土容重γc、巖土體抗剪強度指標(摩擦系數f′和黏聚力c′)、混凝土抗壓強度σc和抗拉強度σt等因子，描述大壩服役可靠性分析中非概率影響因子x的一個最簡單的Info-gap模型為區(qū)間模型，其表征形式如式(2)所示。

上述區(qū)間Info-gap模型幾何特征為一個層層嵌套的超長方體模型，由區(qū)間運算、擴展可知，大壩功能函數達到極值時，各影響因子往往同時取極值，但實際中該工況幾乎不存在，而且有些因子如抗剪強度指標c′和f′之間往往呈負相關[19-20]，因此，區(qū)間模型高估了因子的不確定程度，導致結果偏保守。因此，考慮采用如下超橢球Info-gap模型來刻畫大壩服役可靠性影響因子，具體模型表達式參見式(3)。

大壩服役可靠性非概率影響因子超橢球Info-gap模型的基本層(α=1)通常以超長方體模型為基礎有外接和內切兩種確定方法，如圖1所示。圖1(a)確定的最小外接橢球超出了長方體的區(qū)域，而前面已分析過采用區(qū)間長方體模型所得結果偏保守，外接模型將會導致工程不經濟問題的出現(xiàn)。圖1 (b)的最小內切橢球模型確定的因子基本波動范圍雖然比長方體的小，但依據有關概率理論中的“3σ”準則[21]，各影響因子將3σ范圍視為其基本變化范圍比較符合工程實際，此時不確定點落在長方體和其內切橢球之間區(qū)域的概率僅為0.575%，概率是相當小的。綜上，可建立如下內切超橢球Info-gap模型來刻畫大壩服役可靠性影響因子的非概率不確定性：

(5)

式中ei(i=1,2,…,n)為對角矩陣W的對角元素，決定橢球模型的形狀。

圖1 非概率不確定因子的三維空間幾何描述

對大壩某具體服役功能可靠性影響因子x=(H1,H2,a,γc,…,σc,σt,f′,c′)T，式(5)可進一步具體化為如下形式：

(6)

2 大壩服役非概率可靠性分析

大壩服役可靠性分析需與使用功能目標(模式)聯(lián)系,大壩各功能模式在整個服役過程中始終存在可靠和失效兩種狀態(tài),可用功能函數g(·)來定義大壩某服役功能模式所處的工作狀態(tài)Z:

Z=g(x)=g(x1,x2,…,xn)=r-s

(7)

式中:r為大壩允許的抗力效應項;s為大壩所承受的作用效應項。

當Z>0時,大壩某服役功能模式處于可靠狀態(tài);Z<0對應失效狀態(tài);Z=0為極限狀態(tài),g(x)=0稱為極限狀態(tài)方程,該方程表示了可靠和失效之間的臨界狀態(tài)。

2.1 大壩服役非概率可靠度

基于提出的非概率影響因子超橢球Info-gap模型,有機融合Info-gap決策理論和體積比非概率可靠性度量方法,構建大壩服役非概率可靠性度量指標(可靠度)表達式,并研究其求解方法。

首先研究基于Info-gap決策理論[11,22]的大壩服役非概率可靠性度量方法。決策的有效性一般可由研究對象回饋函數Υ(d,x)的取值表征,其中d為決策向量,根據研究對象的需要確定。設cr是使決策有效所限定的最低臨界反饋值,co為決策者想要得到意外機會收獲時應達到的另一臨界反饋值,分別定義決策向量d相應于cr和co的穩(wěn)健度函數Ro(cr,d)和機會度函數Op(co,d):

(8)

(9)

從以上兩式可以看出,穩(wěn)健度函數表示在決策d下滿足回饋函數值不低于cr時所允許x的最大不確定性波動程度;而機會度函數的意義則是使回饋函數值大于co所需x的最小不確定性波動程度。

下面運用Info-gap決策理論,構建大壩服役非概率可靠性度量指標的表達式。

(10)

(11)

融合上述穩(wěn)健度函數和機會度函數的定義,初步構建如下大壩服役非概率可靠度η:

(12)

s.t.g′(v)=g(x)=0

(13)

式中:v為非概率影響因子x標準化后的單位超球空間向量;g′(v)為非概率影響因子單位超球擴展空間UB(α,0,1)中的大壩極限狀態(tài)方程。

然而上述大壩服役非概率可靠度η某種程度上有一定片面性,下面以二維標準化空間為例來說明。如圖2(a)所示,極限狀態(tài)曲面Q2對應的非概率可靠度η2大于極限狀態(tài)曲面Q1的η1,表明Q2的可靠性大于Q1,其真實地反映了大壩影響因子基本超球Info-gap模型圓域距離失效域的遠近,即當基本模型圓域與失效域互相分離時,η能較好地反映并比較不同極限狀態(tài)曲面對應的大壩服役非概率可靠性程度。如果不同極限狀態(tài)曲面上的最有可能失效點重合,也即它們到原點的距離相等,那么不同極限狀態(tài)曲面對應的η相等,正如圖2(a)中所示Q1的η1與Q3的η3相等。而當模型圓域與失效域互相交叉發(fā)生干涉時,如圖2(b)所示,雖然Q1的η1與Q3的η3相同,但Q1和Q3對應的失效域與圓域交叉干涉的面積不同,這說明η已不能充分反映并比較不同極限狀態(tài)曲面對應的大壩服役非概率可靠性程度。

實質上,η的擴展幾何含義只捕捉到了極限狀態(tài)曲面上最可能失效點這一點的信息,這對于模型域與失效域相互分離時度量大壩服役功能的絕對安全程度是較合理的,相應物理含義較明確;但當基本模型域與失效域發(fā)生干涉時,大壩服役功能已不能保證處于絕對安全狀態(tài),只考慮最可能失效點這一點的信息達不到要求,此時η已無區(qū)分明確的物理含義,而應該充分利用干涉域的信息對大壩服役非概率可靠性程度重新進行合理地度量。

圖2 非概率可靠度η的平面幾何含義

為彌補上述缺陷,當-1 ≤η≤ 1時,即兩域干涉時,定義如下基于體積比的非概率可靠度R:

(14)

綜上分析,可將兩種非概率度量指標相結合,同時考慮到η<-1時可靠度在實數域內的連續(xù)性,提出如下大壩服役非概率可靠度κ:

(15)

2.2 大壩服役非概率可靠度的求解

大壩服役非概率可靠度κ是融合了基于Info-gap決策理論的非概率可靠度η和基于體積比的非概率可靠度R構建的,因此,其計算可歸結為η的求解和R的求解兩部分。

s.t.g′(v)=g(x)=0

(16)

若每個超球中只包含一個因子,式(16)中的η便退化為多個區(qū)間因子描述的區(qū)間非概率可靠度,而令k=1時η可退化為單個超球模型描述時的非概率可靠度,則非概率可靠度η求解的極值問題可轉化為標準化空間中原點到極限狀態(tài)曲面最短距離的求解問題,即:

(17)

式中:C為權重系數;G(v)為重新構造的極限狀態(tài)方程約束函數。

非概率可靠度η的求解類似于隨機可靠度求解,只是兩種求解的極限狀態(tài)方程約束函數與迭代空間有所區(qū)別。在大壩服役功能函數非線性程度較高的情況下,采用傳統(tǒng)的改進一次二階矩法等容易出現(xiàn)迭代不收斂的問題,鑒于此,采用改進的有限步長迭代法(MLSA)來求解η。MLSA法是在有限步長迭代法[23]的基礎上,通過對迭代步長進行一維優(yōu)化搜索,以確保每一次迭代都采用最優(yōu)步長,使收斂速度加快,同時減少了確定保證收斂的初始步長的試算次數,解決了功能函數非線性程度較高情況下難以確定初始步長以保證迭代收斂的難題[24]。Liu等[25]進行步長一維搜索依據的非負評價函數是根據拉格朗日函數的兩個極值條件構造得到的,但該方法并不一定能獲得目標函數的極小值。而增廣拉格朗日函數可以彌補該缺陷[26],故可依此函數的極值條件構造新的評價函數m(v):

(18)

式中:r1為罰系數;G(v)的表達式為

G(v)=g′(v)

(19)

式(19)中正負號的選取由下式確定:

(20)

在標準化空間中,MLSA法的迭代公式為:

(21)

(22)

vl+1=al+1ηl

(23)

式中:a為梯度矢量;λ為可調節(jié)步長;下標l為迭代步數。

當采用MLSA法求得η之后,若-1≤η≤ 1,則需求體積比非概率可靠度R。但大壩不確定影響因子眾多,其功能函數的變量空間維數必然較高,空間安全域的超體積計算比較困難。當大壩不確定影響因子的波動范圍用基本超橢球Info-gap模型(α=1)來描述時,因子在超橢球內任意一點取值的可能性是相同的,因此可將不確定因子視為服從超橢球內的均勻概率分布,于是便可采用Monte-Carlo法(MCS)求解R。

若η<-1,則令κ=η+1。綜合上述即可完成大壩服役非概率可靠度κ的求解。

3 大壩服役非概率目標可靠度擬定

由前面第2節(jié)分析可知,當大壩服役非概率可靠度κ>1時,大壩某服役功能處于可靠狀態(tài),但κ>1這一范圍過于寬泛,而實際工程中一般需要具體的取值作為參考標準,即要確定一個兼具工程目標功能安全性和經濟性的最小值,此處稱該值為非概率目標可靠度κT,可作為對大壩服役非概率可靠性分析結果進行評估的標準。由于缺乏壩工非概率可靠性分析的實際工程統(tǒng)計資料,所以以此為基礎擬定大壩服役的κT存在困難,而隨機概率目標可靠度βT可通過GB 50199—2013《水利水電工程結構可靠性設計統(tǒng)一標準》[27]校準得到,若能獲取κT和βT的關系,便可以βT為標準,初步擬定κT。大壩某一服役功能在滿足κ>1的情況下,因此在推求κT和βT的關系時,可以將式(15)中的κ退化為Info-gap決策理論非概率可靠度η。下面先來推求大壩非概率可靠度η和隨機概率可靠度β的關系。

考慮大壩某一服役功能函數g(x),假定影響因子均服從正態(tài)分布,其聯(lián)合分布密度函數為

C-1(x-μ)/2|

(24)

式中:μ=(μ1,μ2,…,μn)T為x的均值向量;C為x的協(xié)方差矩陣。

{x|(x-μ)TC-1(x-μ)≤(kα)2}α∈R+

(25)

式中k為非概率影響因子超橢球Info-gap模型的基本波動范圍離差相比于標準差σi的倍數。

(26)

根據前面分析過的η的幾何含義,其求解可轉化為下式的優(yōu)化問題:

(27)

F(x)=[(x-μ)TC-1(x-μ)]1/2/k

(28)

大壩某服役功能模式的隨機可靠度β可定義為

β=Φ-1(Ps)=-Φ-1(Pf)

(29)

Ps=1-Pf=1-P(Z<0)=

(30)

式中:Ps和Pf分別為大壩某服役功能模式的可靠和失效概率;Φ(·)為標準正態(tài)累積概率分布函數。

隨機可靠度β的幾何含義為不確定因子標準化正態(tài)空間中坐標原點到極限狀態(tài)曲面的最短距離。具體計算時先將正態(tài)隨機因子x轉換成標準獨立正態(tài)隨機因子y=T(x-μ),其中:T=Λ1/2Q;QTΛQ=C-1;Λ為對角矩陣;Q為正交矩陣。

由幾何含義可得,β可通過如下優(yōu)化問題求解:

β=min||y||2s.t.g′(y)=0

(31)

同樣通過標準化變換,當η>1時,式(27)中大壩非概率可靠度η的求解可轉化為

η=min{||y||2/k} s.t.g′(y)=0

(32)

從兩種可靠度轉化后的定義式(31)和式(32)可以看出,兩者結構形式相同,同時容易得到η=β/k。于是,可以認為κT與βT也存在如下的正比關系:

κT=βT/k

(33)

在式(33)中,βT已由規(guī)范校準得到。如表1所示,水工結構破壞劃分為兩類,延性破壞是有預兆及非突發(fā)性的,屬一類破壞;脆性破壞是無預兆及突發(fā)性的,屬二類破壞。

表1 不同結構安全級別的大壩隨機目標可靠度

因此,擬定κT的關鍵在于k值的合理選取。依據概率論知識,取某一顯著性水平α,其對應Pα=α的事件認為是不可能發(fā)生的小概率事件。工程中一般取α=1%～5%[28],通過查表易得到α相應的k值,再由表1中的βT及式(33)便可得各顯著性水平α下的非概率目標可靠度,計算結果如表2所示。

鑒于在分析非概率可靠度與隨機可靠度的關系時,假定所有不確定因子均服從正態(tài)分布,導致可靠性分析結果偏保守;同時考慮現(xiàn)場監(jiān)測和試驗技術的提升以及荷載預測分析方法準確性的提高等,所需信息的不確定性程度大大降低。在表2的基礎上綜合上述各種因素,初步擬定出表3非概率目標可靠度κT的建議值。

表2 不同顯著性水平下的大壩非概率目標可靠度

表3 不同結構安全級別的大壩非概率目標可靠度

4 工程實例

以某服役重力壩為例,應用提出的非概率方法對其進行結構服役可靠性分析,以驗證非概率可靠性分析方法的有效性和適用性。

4.1 工程概況

某水電站工程屬I等樞紐工程,主要擋水建筑物為重力壩,該大壩為1級水工建筑物。壩頂高程179.0 m,水庫正常蓄水位173.0 m,設計洪水位為 174.76 m(0.2%),校核洪水位為177.80 m(0.02%),下游水位基本穩(wěn)定,屬不完全調節(jié)水庫。5號典型擋水壩段橫剖面如圖3所示,上游面垂直,下游面在高程168.0 m以上垂直,以下壩面坡度為1∶0.75,壩頂寬度7.0 m,壩底高程80.0 m,壩底寬度73.0 m,防滲帷幕距上游面水平距離為6 m,壩基面近似水平。

圖3 某重力壩非溢流壩段典型剖面

對于該在役大壩,其外部幾何尺寸均視為確定值,根據對該工程相關的設計、實測及試驗等資料的收集整理,得到影響大壩結構服役可靠性的不確定因子基本變化范圍如表4。

表4 不確定因子及其變化范圍

4.2 大壩結構服役功能模式分析

重力壩是按抗滑穩(wěn)定和強度安全兩個主要功能目標都滿足要求來設計的,因此,重力壩結構服役可靠性分析時通常重點考慮其與這兩個主要功能目標的聯(lián)系。典型重力壩橫剖面受力如圖4所示,其中,H1、H2分別為上下游水深;H3為壩前淤沙高度;W1為壩體自重;W2、W3、W4分別為作用在壩體的上游水重、下游水重和淤沙重力;P1、P2、P3分別為上下游靜水壓力和水平淤沙壓力;Pu為壩基揚壓力。本節(jié)荷載作用均針對單寬壩體而言。

圖4 重力壩橫剖面受力示意圖

由于重力壩的幾何尺寸通常很大,尺寸變異可忽略不計,因此主要將上下游水深、揚壓力系數a、壩體混凝土容重γc及抗剪斷強度參數等因子作為抗滑穩(wěn)定可靠性分析的主要影響因子。而強度安全可靠性分析時,需考慮壩踵及壩趾的應力狀態(tài)和材料抗拉及抗壓強度之間的關系,故混凝土抗拉強度σt和抗壓強度σc等因子也應作為強度安全可靠性分析的影響因子。參照重力壩設計規(guī)范分別建立重力壩沿壩基面滑動、壩踵抗拉、壩趾抗壓3種主要結構功能模式的功能函數Z1、Z2和Z3:

Z1=g1(H1,H2,H3,γc,a,c′,f′)=

c′A+f′(∑W-Pu)-(P1+P3-P2)

(34)

Z2=g2(H1,H2,H3,γc,α,σt)=

σt+(∑W-Pu)/B+6∑W/B2

(35)

Z3=g3(H1,H2,H3,γc,α,σc)=

σc-(∑W-Pu)/B+6∑W/B2

(36)

式中:c′為抗剪斷凝聚力;f′為抗剪斷摩擦系數;σ為滑動面上的正應力;A為滑動面面積;∑W為壩基面以上的垂直作用的合力,以向下為正;∑M為荷載對壩基面形心的力矩總和,逆時針為正;Pu為作用于壩基面上的揚壓力;B為壩基厚度。

該重力壩5號典型壩段結構相對較復雜,其建基面巖石局部強風化,該壩段工作條件較其他壩段更加惡劣,因此選取5號典型壩段作為代表對該壩進行結構服役可靠性分析。將壩體幾何尺寸及表4中的影響因子代入式(34)～(36),得到壩基抗滑、壩踵抗拉和壩趾抗壓3種主要結構功能模式的功能函數:

4.3 大壩非概率不確定影響因子的Info-gap模型

(40)

4.4 大壩結構服役非概率可靠性分析結果

根據上述非概率影響因子的超橢球Info-gap模型和功能函數式(37)(38)(39),采用MLSA法求解得到壩基抗滑、壩踵抗拉和壩趾抗壓3種功能模式Info-gap決策理論非概率可靠度ηi(i=1,2,3)。因目前大壩服役可靠性較高,3種模式ηi均大于1,所以暫時無須計算體積比非概率可靠度Ri(均為1),最后得到該壩3種功能模式的非概率可靠度κi(i=1,2,3),列于表5中。

表5 重力壩各功能模式非概率可靠度

從表5中可知,該重力壩壩基抗滑、壩踵抗拉和壩趾抗壓3種功能模式的非概率可靠度κi(i=1,2,3)分別為1.749、2.459和2.581,根據文中非概率可靠度的物理含義可知,當κi>1時,表示該壩結構各服役功能模式目前均處于可靠狀態(tài)。

4.5 大壩服役非概率目標可靠度的合理性分析

已知該壩結構安全等級為一級,依據表3初步擬定的κT,該壩發(fā)生二類破壞的κT為1.4,由κi>κT可知,該壩3種功能模式的非概率可靠性分析結果均達到了表3的要求,而且有一定裕度,說明本文確定的κT是符合實際的。值得注意的是,文中給出的只是非概率目標可靠度的初步建議值,隨著服役時間的增加,需利用實際工程統(tǒng)計資料對該目標值進一步修正。

5 結 語

隨著我國眾多大壩工程50年設計基準期的臨近,以及病險壩數量的日益增加,大壩服役可靠性分析已成為大壩風險管理領域的熱點研究問題之一。本文針對影響大壩服役可靠性的不確定因子的非概率特性,提出了大壩服役非概率可靠性分析方法。

a. 為表征影響大壩服役可靠性的不確定因子的非概率特征,研究了非概率Info-gap理論,建立了大壩服役可靠性非概率影響因子的內切超橢球Info-gap模型,解決了傳統(tǒng)隨機概率模型不能在影響因子統(tǒng)計信息較少時適用的問題。

b. 研究了Info-gap決策理論和體積比非概率可靠性度量方法,通過內切超橢球Info-gap模型對影響因子非概率特征的刻畫,提出了大壩服役非概率可靠性分析方法,探討了所提非概率可靠度的求解技術。該方法構建的非概率可靠性度量指標物理含義明確,是對大壩服役可靠性的更加合理的非概率度量。

c. 應用提出的非概率方法分析了某大壩結構服役可靠性,各功能模式可靠性分析結果揭示了大壩當前處于可靠狀態(tài),說明了該方法的工程適用性,同時驗證了本文擬定的大壩服役非概率目標可靠度的合理性。

d. 當不確定因子確為隨機因子且統(tǒng)計信息足以確定其概型及數字特征時,采用隨機方法分析大壩服役可靠性比較嚴謹;而非概率可靠性分析方法并非是要取代隨機概率方法,只是補充實現(xiàn)了影響因子統(tǒng)計信息較少時的服役可靠性分析,其目的是進一步完善大壩服役可靠性分析的體系。