基于Kalman濾波的GM(1,1)-AR模型在高層建筑物沉降變形分析中的應用

陳 晨，魏冠軍，寇瑞雄，高志鈺

(1.蘭州交通大學 測繪與地理信息學院，甘肅 蘭州 730070；2.甘肅省地理國情監(jiān)測工程實驗室，甘肅 蘭州 730070)

變形監(jiān)測分析的意義主要是掌握各種建筑物和地質(zhì)構(gòu)造的穩(wěn)定性，為安全診斷提供必要的信息，以便及時發(fā)現(xiàn)問題并采取措施。近年來，隨著建設水平和施工技術的提高，越來越多的建筑物向著高層、超高層發(fā)展。建筑物增高必然引起荷載增加，在上部結(jié)構(gòu)和地基基礎的共同作用下，建筑物將會發(fā)生不均勻的沉降，影響使用的安全性。因此，定期對大型建筑物進行變形監(jiān)測，掌握其變形規(guī)律，并對其未來的發(fā)展趨勢進行準確地預測具有重要的意義。

變形監(jiān)測的數(shù)據(jù)分析與建模方法主要有：回歸分析法、時間序列分析、灰色系統(tǒng)分析、卡爾曼濾波模型和人工神經(jīng)網(wǎng)絡模型等[1]。各種方法都有自身的優(yōu)缺點，隨著變形檢測技術的發(fā)展，單一的模型分析已不能滿足工程設計的要求。在當今的變形監(jiān)測中，多數(shù)采用組合模型對變形數(shù)據(jù)進行分析和預測。黃寧等人將灰時序組合模型運用到建筑物沉降變形分析中，唐爭氣等人將灰時序組合模型運用到基坑監(jiān)測中，都發(fā)現(xiàn)灰時序GM-AR組合模型無論是擬合還是預測精度相對于單一模型有明顯的提高[10-11]。但是，灰時序GM-AR組合模型雖然在一定程度上對GM(1,1)模型進行改正與優(yōu)化，但非線性GM(1,1)-AR組合模型并不能對非平穩(wěn)、含噪時間序列信號進行優(yōu)化處理。針對上述問題，本文提出一種基于卡爾曼濾波的GM(1,1)-AR模型的新算法，其數(shù)據(jù)分析和建模預測的思路是：首先是運用卡爾曼濾波算法對原始觀測數(shù)據(jù)進行濾波消噪處理，獲取有效地實際變形量，然后利用GM(1,1)模型對濾波值進行建模預測，提取其中的趨勢項，再利用AR時間序列模型對殘差序列進行建模預測。運用此算法到高層建筑物沉降的工程實例中，將得到的預測結(jié)果與單一的GM(1,1)模型和GM(1,1)-AR模型的預測結(jié)果相比，其模型綜合精度和模型可靠性均有所提高。

1 基于Kalman濾波的GM(1,1)-AR模型

1.1 GM(1,1)模型

我國學者鄧聚龍教授于上世紀80年代提出GM(1,1)模型，其意在研究少數(shù)據(jù)、小樣本、貧信息等不確定性問題[2-7]。該模型的基本原理：

設有一組非負初始數(shù)據(jù)序列x(0)(k)={x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)}，其中，n為序列長度，k=1,2,…,n。對該原始序列進行第一次累加生成序列(1-AGO)：

x(1)(k)={x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n)}.

(1)

對式(1)進行時間求導建立一階線性微分方程，此方程也稱為GM(1,1)模型的影子方程或白化方程

(2)

式中：a，b為待定系數(shù)，a稱為發(fā)展灰數(shù)，它反映了數(shù)據(jù)序列估計值(包括預側(cè)值)的發(fā)展態(tài)勢，b稱為灰作用量，它的大小反映數(shù)據(jù)的變化關系，在系統(tǒng)中相當于作用量。由文獻[2]對方程(2)求解，可得到影子方程的時間響應式：

(3)

最后經(jīng)過累減以后還原數(shù)據(jù)，生成GM(1,1)預測模型：

(4)

1.2 AR自回歸模型

設時間序列{yk}是平穩(wěn)、正態(tài)、零均值的序列。其自回歸模型為[8-11]

yk=φ1yk-1+φ2yk-2+…+φpyk-p+ak.

(5)

式中：φ1，φ2，…，φp是自回歸模型參數(shù)，ak為白噪聲序列，p為模型階數(shù)，p的取值為正整數(shù)。

令k=p+1，p+2，…，N，則：

(6)

對p取值，令p=1，則可得AR(1)的模型為

(7)

以此類推，可得到AR(2)，AR(3)，…，AR(p)。

其次，企業(yè)經(jīng)營目標的實現(xiàn)并非是憑借一己之力即可完成的事情，是企業(yè)各部門、員工之間團結(jié)努力，共同實現(xiàn)績效目標的過程。激勵管理是促進績效提升的重要手段，因此需要通過績效考核來提高企業(yè)員工的凝聚力，讓他們可以將個人發(fā)展與企業(yè)發(fā)展結(jié)合到一起，盡快找到自己在團隊中的所處地位，從而激發(fā)出更多的工作積極性，擴大上升空間。

對于AR模型的參數(shù)估計，一般采用最小二乘的方法，對于模型階數(shù)p的確定采用最小信息準則(AIC)，即

AIC(p)=N·Inσ2+2p.

(8)

式中：p為序列數(shù)據(jù)總個數(shù)，使上式的值達到最小時所對應的p為最佳階數(shù)，p的數(shù)值一般是不大于5的，σ2為各階數(shù)對應的殘差方差。

1.3 卡爾曼濾波原理

卡爾曼濾波一種利用線性系統(tǒng)狀態(tài)方程，通過系統(tǒng)輸入輸出觀測數(shù)據(jù)，對系統(tǒng)狀態(tài)進行最優(yōu)估計的算法[12-15]。它的數(shù)學模型分為狀態(tài)方程和觀測方程兩部分，其離散化形式表示為

Xk=Φk/k-1Xk-1+Fk-1Wk-1，

(9)

Lk=HkXk+Vk.

(10)

式中：Xk為tk時刻系統(tǒng)的狀態(tài)向量(n維)；Lk為tk時刻對系統(tǒng)的觀測向量(m維)；Φk/k-1為時間tk-1～tk的系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(n×n)；Wk-1為tk-1時刻的動態(tài)噪聲(r維)；Fk-1為動態(tài)噪聲矩陣(n×r)；Hk為tk時刻的觀測矩陣(m×n)；Vk為tk時刻的觀測噪聲(m維)。

根據(jù)最小二乘原理，可以推得離散隨機系統(tǒng)的Kalman濾波的遞推公式，預測值為

(11)

預測值的方差矩陣為

(12)

狀態(tài)估計值為

(13)

狀態(tài)估計值的方差矩陣為

Pk=(I-KkHk)Pk/k-1.

(14)

(15)

初始狀態(tài)條件為

1.4 基于Kalman濾波的GM(1，1)-AR預測算法

前面分別敘述了GM(1，1)模型、AR模型和卡爾曼濾波算法的基本原理。基于卡爾曼濾波的GM(1，1)-AR算法結(jié)合卡爾曼濾波算法能有效地減弱隨機噪聲的干擾、GM(1，1)模型對趨勢項的擬合強度大和AR模型善于分析平穩(wěn)、零均值的隨機信號等特點?；具^程是首先利用卡爾曼濾波對原始數(shù)據(jù)進行濾波處理，消除隨機誤差干擾噪聲的影響。再利用GM(1，1)模型對濾波后數(shù)據(jù)進行建模預測提出趨勢項，得到殘差序列，最后利用AR模型對殘差序列進行建模預測。該算法的流程如圖1所示。

圖1 基于卡爾曼濾波的GM(1，1)-AR算法流程

2 工程實例分析

2.1 工程簡介

某高層建筑物在一段時間內(nèi)進行了一系列觀測。由于本論文篇幅有限，選取2號沉降點前12期沉降監(jiān)測值為原始數(shù)據(jù)進行測試。以前6期數(shù)據(jù)作為原始序列，首先運用卡爾曼濾波對其建模數(shù)據(jù)進行消噪處理，然后用GM(1，1)-AR模型對濾波值建模，再對后6期數(shù)據(jù)進行預測，可以得到原始監(jiān)測值與預測值的殘差，以殘差的大小來檢驗預測模型的可靠性。

表1 2號沉降點前12期沉降監(jiān)測值

2.2 模型預測與精度評定

根據(jù)變形監(jiān)測的規(guī)范要求，高層建筑物沉降監(jiān)測按照四等沉降變形測量的技術指標進行變形監(jiān)測，故取觀測噪聲方差Rk=1，動態(tài)噪聲方差Qk=4。把監(jiān)測點的初始位置和變化速率當作狀態(tài)參數(shù)，根據(jù)前2期監(jiān)測值的平差值可求得初期狀態(tài)向量X0及其相應的方差陣P0，其結(jié)果：

運用MATLAB設計卡爾曼濾波程序，對前六期數(shù)據(jù)進行濾波處理，得到的結(jié)果如表2所示。

表2 原始數(shù)據(jù)濾波值

通過表2可以看出，實測值與濾波值殘差的絕對值從第2期開始收斂，變化趨勢越來越小，漸漸趨近于0，表明原始數(shù)據(jù)變化波動變小，其隨機誤差噪聲得到了有效地減弱。在此基礎上，利用GM(1，1)模型對濾波值進行建模預測提出趨勢項，得到殘差序列，最后利用AR模型對殘差序列進行建模，同時預測后6期觀測數(shù)據(jù)。預測結(jié)果如表3所示。

三種模型預測結(jié)果圖如圖2所示。

圖2 各模型預測結(jié)果對比

表3 三種模型預測結(jié)果比較 mm

從圖2可以看出基于卡爾曼濾波的GM(1，1)-AR模型的預測結(jié)果相比其它兩種模型，該曲線更加光滑、變化波動更小，且隨著時間的增加，該模型預測值與實測值的結(jié)果越來越接近。

根據(jù)表3的模型預測結(jié)果和表4的模型預測精度相比較來看，基于卡爾曼濾波的GM(1，1)-AR模型的平均絕對誤差為-0.049 9 mm，殘差方差為0.001 9 mm，這個結(jié)果相比于傳統(tǒng)的GM(1，1)模型和GM(1，1)-AR模型的預測結(jié)果，預測精度有明顯的提高。這說明卡爾曼濾波的效果良好，可以有效地減弱隨機誤差噪聲對于預測結(jié)果的影響。

表4 三種模型預測精度比較

3 結(jié) 論

本文介紹卡爾曼濾波、灰色GM(1,1)模型和AR模型的基本原理。在這三種模型的基礎上建立一種基于卡爾曼濾波的GM(1,1)- AR的新模型，并將其應用到高層建筑物沉降的工程實例中。實驗結(jié)果表明，基于卡爾曼濾波的GM(1,1)- AR模型相比與其它三種模型的預測效果更好?？柭鼮V波在一定程度上消除隨機誤差噪聲的干擾，且保留原始數(shù)據(jù)的特征，同時又結(jié)合灰色GM模型對于趨勢項提取的規(guī)律性和AR模型隨機預測性等優(yōu)點，實現(xiàn)三種模型的優(yōu)勢互補，在一定程度上彌補單一模型的缺陷。由此可見，這種新模型在測量環(huán)境較為復雜的高層建筑物沉降變形分析中有較強的適用性。