對應(yīng)縣木塔1962年實(shí)測數(shù)據(jù)的再分析*

張毅捷 葉皓然 韓 效 ZHANG Yijie, YE Haoran, HAN Xiao

0 引 言

應(yīng)縣木塔位于山西省應(yīng)縣縣城西北的佛宮寺境內(nèi)，又名佛宮寺釋迦塔。該塔建造于遼清寧二年（1056年）①，總高約67.31 m[1]，是世界上現(xiàn)存最古老，也同時(shí)是最高大的木結(jié)構(gòu)古建筑。

前學(xué)研究表明，東亞的很多木結(jié)構(gòu)古建筑的實(shí)測數(shù)據(jù)中存在著“模數(shù)控制”現(xiàn)象【[1-7]，因此用“模數(shù)制”理論分析古建筑實(shí)測數(shù)據(jù)是深入了解東亞古代木結(jié)構(gòu)建筑設(shè)計(jì)手法的基本方法之一。

近代對應(yīng)縣木塔的調(diào)查研究始于1933年，當(dāng)時(shí)由梁劉兩位先生帶領(lǐng)莫宗江、紀(jì)玉堂進(jìn)行了實(shí)測，并于1935年完成了1∶50的實(shí)測圖（莫圖），后因戰(zhàn)爭原因，這些最初的研究成果保存得并不是很好，1942年又由陳明達(dá)在莫圖的基礎(chǔ)上完成了1∶20的實(shí)測圖（陳圖）。1954年路鑒堂指導(dǎo)井慶升等按照陳圖制作了縮尺模型。1962年文物出版社再次組織實(shí)測，并于1966年將研究成果出版專著《應(yīng)縣木塔》[8]。這本書既是應(yīng)縣木塔里程碑式的研究成果，同時(shí)其中收錄的實(shí)測圖紙（陳圖）、實(shí)測數(shù)據(jù)和歷史文獻(xiàn)的摘要是應(yīng)縣木塔最基礎(chǔ)的研究資料，因此這本專著是應(yīng)縣木塔研究重要的基礎(chǔ)文獻(xiàn)。對應(yīng)縣木塔的建筑設(shè)計(jì)手法的第二個(gè)重要研究出現(xiàn)于20世紀(jì)90年代：張十慶[3]，新世紀(jì)還有傅熹年[5]和肖旻[6]的研究，2013年張十慶又對此前的研究進(jìn)行了修正【[7]。這四位先生的研究無一例外都是從分析《應(yīng)縣木塔》中所公布的實(shí)測圖和實(shí)測數(shù)據(jù)出發(fā)，探討其中的“模數(shù)制”問題。通過四位學(xué)者的研究，應(yīng)縣木塔的建筑設(shè)計(jì)手法的基本情況已較為明了，但其中仍有一些不夠完善之處，本文將嘗試沿著前學(xué)的思路繼續(xù)深入這些問題。

1 應(yīng)木塔中的模數(shù)制

1.1 回顧過往的研究

陳明達(dá)早在20世紀(jì)60年代初就發(fā)現(xiàn)了應(yīng)縣木塔中的“大模數(shù)”現(xiàn)象——在應(yīng)縣木塔的高度實(shí)測值中頻繁出現(xiàn)一個(gè)尺度：883 cm，這個(gè)數(shù)值同時(shí)與應(yīng)縣木塔的第三層外檐柱頭總開間尺寸一致，結(jié)合《營造法原》的相關(guān)記載，陳先生認(rèn)為這個(gè)883 cm即為應(yīng)縣木塔設(shè)計(jì)中的一個(gè)較大的模數(shù)——這個(gè)模數(shù)同時(shí)與高度和平面尺寸相關(guān)（圖1）[1]。傅熹年也注意到了相似的規(guī)律，并進(jìn)一步結(jié)合日本古代樓閣式木塔的實(shí)例，認(rèn)為這個(gè)“大模數(shù)”的設(shè)計(jì)手法體現(xiàn)了樓閣式木塔設(shè)計(jì)手法由“底層柱高法”向“中間層總面闊法”轉(zhuǎn)變的一個(gè)中間過程[5]。

而更為細(xì)致的“模數(shù)法”則由張十慶首倡于1990年，在其博士論文中不僅從整數(shù)尺的角度分析應(yīng)縣木塔的實(shí)測數(shù)據(jù)，他認(rèn)為陳明達(dá)所發(fā)現(xiàn)的大模數(shù)883 cm即為30遼尺，他的另一個(gè)重大的學(xué)術(shù)貢獻(xiàn)在于發(fā)現(xiàn)了存在于這些實(shí)測數(shù)據(jù)中次一級的“模數(shù)”（基準(zhǔn)長）現(xiàn)象，并指出這一模數(shù)恰好是前述“大模數(shù)”的二十分之一，即1.5遼尺（44.2 cm），同時(shí)還指出0.75遼尺（22.1 cm）也可能是模數(shù)；之后他又對應(yīng)縣木塔的用材進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)這一模數(shù)與建筑用材之間沒有明顯直接的關(guān)系[3,7]。2002年肖旻在其博士論文中也曾對應(yīng)縣木塔的設(shè)計(jì)手法進(jìn)行研究，他認(rèn)為應(yīng)縣木塔的模數(shù)（基準(zhǔn)長）并非1.5遼尺（44.2 cm），而應(yīng)該是0.75遼尺（22.1 cm）[6]。肖旻也沒有就這一“模數(shù)”與材分制的關(guān)系進(jìn)行深入。

1.2 本文的研究

傅熹年在1992年的研究中發(fā)現(xiàn)：日本學(xué)者在法隆寺五重塔中找到的模數(shù)與該建筑的栱木用材尺度一致，而藥師寺東塔、室生寺五重塔中的模數(shù)則精細(xì)至“分”的尺度②，也就是說此時(shí)建筑的模數(shù)不是孤立存在的，它除了控制空間尺度之外，還控制著標(biāo)準(zhǔn)構(gòu)件的尺度。于是這里就產(chǎn)生了一個(gè)問題：應(yīng)縣木塔中所發(fā)現(xiàn)的模數(shù)是否也存在著更為精細(xì)的分值？答案是肯定的。

陳先生和傅先生在應(yīng)縣木塔中發(fā)現(xiàn)的大模數(shù)為883 cm，這個(gè)尺度后為張十慶先生證為準(zhǔn)30遼尺[3]。張十慶在這個(gè)基礎(chǔ)上又發(fā)現(xiàn)了更次一級的模數(shù)：883÷20=44.2 cm=1.5遼尺；而肖旻在此基礎(chǔ)上論證“44.2÷2=22.1 cm=0.75遼尺”是更為精確的模數(shù)尺度。

根據(jù)《應(yīng)縣木塔》可知，該塔的分值為1.7 cm③，22.1÷1.7=13，即肖旻所找到的模數(shù)22.1 cm剛好是13“分”，而張十慶找到的模數(shù)44.2 cm則為26“分”，約略相當(dāng)于一材兩栔④。

據(jù)《應(yīng)縣木塔》，該塔各層材栔大小不一，但是其中用材使用最多的是25.5 cm×17 cm⑤，這個(gè)尺度換算成“分”值剛好是15“分”×10“分”，而栔使用最多的是11 cm，差不多是6.5“分”。普拍方的尺度為32 cm×17 cm≈19“分”×10“分”，闌額的尺度為36 cm×17 cm≈21“分”×10“分”。另外，替木厚和駝峰厚亦為17 cm=10“分”。顯然從構(gòu)件用材來看1“分”=1.7 cm是一個(gè)更次一級的模數(shù)值。

在陳明達(dá)20世紀(jì)70年代的研究中，曾將應(yīng)縣木塔幾個(gè)主要的尺度用1“分”=1.7 cm折算，其結(jié)果也非常漂亮[8]59-60（表1）。再次證明1“分”=1.7 cm這個(gè)最次一級的模數(shù)的存在，并且這個(gè)最次一級的模數(shù)參與控制一些大的空間尺度。

圖1 應(yīng)縣木塔高度設(shè)計(jì)規(guī)律（陳明達(dá)案）Fig.1 design law of size of height in Pagoda of Yingxian Muta (scheme speculated by Mingda Chen)

表1 應(yīng)縣木塔部分大尺度列表（陳明達(dá)案，1“分”=1.7 cm）Tab.1 list of large real measurements in Pagoda of Yingxian Muta (scheme speculated by Mingda Chen, 1 “fen”=1.7 cm)

其中特別值得注意的是，每層外檐間廣（柱頭尺寸）的遞減值為25“分”?！稜I造法式·看詳·取徑圍》中有八棱的尺度設(shè)定方法：“八棱徑六十，每面二十有五，其斜六十有五”[9]，也就是說每面縮減25“分”，就可以根據(jù)這種“八棱”的計(jì)算方式，快捷地確定八棱徑和斜長方便施工。這也從另一側(cè)面說明“分”對空間尺度的控制作用。

也就是說，在這座塔中存在著從大到小三級模數(shù)：883 cm、22.1 cm、1.7 cm。這樣的模數(shù)體系也是符合實(shí)情的，在決定建筑中比較大的尺度的時(shí)候采用883 cm作為大模數(shù)，可以很方便地確定建筑大的比例關(guān)系；而22.1 cm模數(shù)的存在，可以對中等規(guī)模的空間尺度進(jìn)行調(diào)整；最后1.7 cm的模數(shù)的存在則可以方便地統(tǒng)一處理數(shù)量龐大的各種構(gòu)件尺度之間的協(xié)調(diào)，也可以輔助空間尺度的微調(diào)。

2 應(yīng)縣木塔的分高度設(shè)計(jì)

2.1 回顧過往的研究

陳明達(dá)在分析應(yīng)縣木塔的總高度設(shè)計(jì)的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)了該建筑的“大模數(shù)”=883 cm，并拿這個(gè)大模數(shù)和實(shí)測圖相對應(yīng)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)普拍方的斷面高度都應(yīng)該算在每層普拍方下的柱子的設(shè)計(jì)高度之內(nèi)[1]48；之后在建筑的分高度設(shè)計(jì)分析中，陳先生將每層塔身的高度又分為兩段：下層檐柱普拍方上皮至平坐普拍方上皮和平坐普拍方上皮至上層檐柱普拍方上皮，而每層的兩個(gè)分高度分別對應(yīng)高度值一致[1]48；在此基礎(chǔ)上陳先生發(fā)現(xiàn)了高度設(shè)計(jì)中的一些尺度節(jié)奏規(guī)律[1]48-49（圖1）。從該圖可見，應(yīng)縣木塔的高度設(shè)計(jì)中的確存在著某種尺度規(guī)律和節(jié)奏，但是這個(gè)尺度的規(guī)律性還不夠漂亮、簡潔。

張十慶1990年的研究中也探討了應(yīng)縣木塔的分高度設(shè)計(jì)問題，他是將應(yīng)縣木塔的分高度換算成其所推測的遼尺，數(shù)據(jù)比較簡潔，分高度的分界方式同陳明達(dá)[3,7]，這從另一個(gè)側(cè)面證實(shí)了陳明達(dá)案的正確性。但是這兩個(gè)分高度尺度的節(jié)奏分別是14.5遼尺（427 cm）和15.5遼尺（457 cm）（圖2），和張十慶所發(fā)現(xiàn)的基準(zhǔn)長1.5遼尺（22.1 cm）之間沒有簡潔的數(shù)學(xué)關(guān)系。

肖旻在2002年的研究中對普拍方的歸屬問題提出了質(zhì)疑，他認(rèn)為“普拍方和鋪?zhàn)魍瑢贆M向構(gòu)件，而柱子為豎向構(gòu)件，從結(jié)構(gòu)邏輯來說，其分層不太合理”，之后他將各層普拍方計(jì)入其上方的分高度中，發(fā)現(xiàn)高度構(gòu)成更合理，唯一的不足是底層檐柱柱高（不含普拍方）的推定吻合性有所降低，誤差達(dá)到6 cm[6]190-191。

綜合上述三位學(xué)者的研究可以發(fā)現(xiàn)以下兩點(diǎn)：第一，應(yīng)縣木塔的高度尺度構(gòu)成中的確存在著規(guī)律和節(jié)奏；第二，但是上述三家的規(guī)律和節(jié)奏分析都不太理想，于是就為本次研究提供了思路和繼續(xù)深入的空間。

2.2 本次的研究

筆者在對日本古代樓閣式木塔的實(shí)測數(shù)據(jù)進(jìn)行分析時(shí)，提出了“柱間高”的概念[10]。所謂柱間高，就是在中國傳統(tǒng)木結(jié)構(gòu)古建筑立面三分的概念（單棟建筑由臺基、屋身和屋架構(gòu)成）的基礎(chǔ)上認(rèn)為，樓閣式木塔是將每層的平坐部、柱額部、斗栱部和屋架部反復(fù)重疊而上形成構(gòu)架主體；由于日本古代的樓閣式木塔的斗栱部和屋架部有很多斜材，不能簡單地進(jìn)行水平分層，而平坐部往往只有柱腳方一個(gè)構(gòu)件；因此最終將日本的樓閣式木塔在高度方向上分為柱高和柱間高兩種高度構(gòu)成（圖3）。所謂柱間高就是，下層柱子頂部到緊鄰的上層柱子的底部的高度值。根據(jù)對日本12世紀(jì)末之前的11座樓閣式木塔的實(shí)測數(shù)據(jù)的分析可知，法隆寺五重塔和凈琉璃寺三重塔的柱高和柱間高應(yīng)該都是經(jīng)過設(shè)計(jì)的結(jié)果⑥。于是就產(chǎn)生了一個(gè)疑問：應(yīng)縣木塔的柱間高是否也同樣經(jīng)過了設(shè)計(jì)？遂分析如表2。

由表2可見：

底層柱高≈A=40N=520a=884 cm（30遼尺）

第一段柱間高≈第二段柱間高≈第三段柱間高≈二層柱高≈三層柱高≈四層柱高≈0.5A=20N=260a=442 cm（15遼尺）

第四段柱間高≈17N=221a=375.7 cm（12.75遼尺）

圖3 日本古代樓閣式木塔高度構(gòu)成分析·法隆寺五重塔Fig.3 analysis on composition of height in multi-storied wooden pagoda in Japanese ancient period ( fi ve-storied wooden pagoda in Horyuji Temple)

第五層柱高≈18N=234a=397.8 cm（13.5遼尺）

第五層屋架高≈45N=585a=994.5 cm（33.75遼尺）

這一方面表明前述對本建筑“三級模數(shù)制”的分析思路的正確性，同時(shí)也表明上述針對普拍方的歸屬劃分是合理的。也就是說不能簡單地把普拍方都劃歸其下方的柱額部，而應(yīng)該區(qū)別平坐部的普拍方和屋身部（柱額部）的普拍方，即除了底層屋身部之外所有的普拍方都應(yīng)該計(jì)在平坐部，而二到五層的屋身部（柱額部）則都不包含普拍方。

表2 應(yīng)縣木塔分高度實(shí)測數(shù)據(jù)分析（“柱高—柱間高”法）Tab.2 analysis on real measurement data of size of height in Pagoda of Yingxian Muta (method of height of column and height between columns in adjacent layer)

3 應(yīng)縣木塔的總高度設(shè)計(jì)

3.1 回顧過往的研究

陳明達(dá)在20世紀(jì)60年代初的研究中指出，應(yīng)縣木塔塔身高加塔剎高為第三層外檐總面闊（柱頭尺寸）的7倍；塔基高為第三層外檐總面闊（柱頭尺寸）的倍，因此塔總高為前述標(biāo)準(zhǔn)尺度的7倍。并且該塔塔總高大致為第三層外檐柱頭外接圓直徑的3.157倍，而3.157≈π，也就是說塔總高約為第三層外檐外接圓的周長[1]46-49。張十慶在20世紀(jì)90年代初的研究中將上述塔身高、塔基高、塔剎高和塔總高都分別折算成遼尺，數(shù)據(jù)都比較漂亮，顯示出整數(shù)尺法在該建筑總高度設(shè)計(jì)中得到應(yīng)用的可能性[3]89。傅熹年在2001年的研究中發(fā)現(xiàn)，應(yīng)縣木塔的總高度不僅是第三層外檐總面闊的整數(shù)倍，同時(shí)是底層柱高或底層副階柱高的整數(shù)倍，結(jié)合其對日本古代樓閣式木塔的研究，這兩種模數(shù)控制現(xiàn)象（“中間層總面闊法”和“底層柱高法”）也先后出現(xiàn)于日本的古代的樓閣式木塔中，遂指出“大約中國盛唐以前之塔以一層柱高為模數(shù)，中國中唐以后，塔高兼以中間之面闊為模數(shù)。應(yīng)縣佛宮寺釋迦塔之設(shè)計(jì)可能屬中唐以后的設(shè)計(jì)特點(diǎn)?！盵5]173-174肖旻在2002年的研究中指出，應(yīng)縣木塔“塔身+塔基”“塔身+塔剎”可能分別作為整體以“標(biāo)準(zhǔn)高度”（底層檐柱高=第三層外檐總面闊）為模數(shù)進(jìn)行設(shè)計(jì)，同時(shí)塔身高約為塔剎高的4倍[6]。

上述四家的研究形成了一些重要的結(jié)論，對筆者在他們的研究思路的基礎(chǔ)上繼續(xù)深入產(chǎn)生了重要的啟發(fā)作用。

3.2 本次的研究

根據(jù)陳明達(dá)20世紀(jì)60年代的研究，從一層外槽地平到塔剎磚座上皮剛好是6個(gè)標(biāo)準(zhǔn)高度（883 cm），同時(shí)塔基為這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)高度的一半[1]46，因此塔身高剛好是塔基高的12倍。無獨(dú)有偶，筆者在對日本12世紀(jì)末之前的樓閣式木塔的分析中發(fā)現(xiàn)這一比例關(guān)系同時(shí)存在于室生寺五重塔和凈琉璃寺三重塔中[10]：

室生寺五重塔

塔身高⑦=38.26日本曲尺（1159 cm），塔基高=3.2日本曲尺（97 cm）

塔身高：塔基高=38.26∶3.2≈12∶1

凈琉璃寺三重塔

塔身高⑧=33.6日本曲尺（1018 cm），塔基高=2.761日本曲尺（84 cm）

塔身高∶塔基高=33.6∶2.761≈12∶1

4 余 論——模數(shù)制的再分析

在張十慶1990年的研究中，對該塔各層的平面尺度也同樣采用整數(shù)尺的方法進(jìn)行了分析，同時(shí)他還發(fā)現(xiàn)各層平面間廣同時(shí)也是他所找到的基準(zhǔn)長N'=44.2 cm的整數(shù)倍，但是在我們進(jìn)行核算時(shí)，發(fā)現(xiàn)這兩組數(shù)據(jù)都存在著一定的誤差（表3）。

表3 應(yīng)縣木塔平面尺度分析（張十慶案）Tab.3 analysis on size of plan in Pagoda of Yingxian Muta (scheme speculated by Shiqing Zhang)

從前文的分析可知，平面尺度設(shè)計(jì)時(shí)很有可能是以第三層總面闊的柱頭尺寸為基準(zhǔn)，而每上、下一層總面闊遞減或遞增25“分”，也就是說：

某層總面闊的柱頭尺寸

=884±25×1.7n（n=0，1或2）

=1.7×13×5×8±1.7×5×5n

=1.7×5（13×8±5n）

也就是說，每層總面闊基本為（1.7×5=8.5）cm的整數(shù)倍，同時(shí)每層總面闊的遞增或者遞減也為8.5 cm的整數(shù)倍。于是可以看出，應(yīng)縣木塔的平面總面闊尺寸是以NP=1.7×5=8.5 cm為模數(shù)的。

而8.5÷29.46=0.29遼尺，8.5÷44.2=0.19基準(zhǔn)長=0.19N'，也就是說這個(gè)平面尺度的模數(shù)并非整數(shù)倍的“遼尺”或“基準(zhǔn)長”（N'），即張十慶發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是一個(gè)近似的結(jié)論。

再來看該塔的高度尺度，很明顯在該塔的高度尺寸中A=884 cm是一個(gè)基本的模數(shù)，其構(gòu)成如下：884 cm=8×5×13×1.7 cm，同時(shí)第四段柱間高為378 cm≈17×13×1.7 cm=375.7 cm，第五層柱高=395 cm≈18×13×1.7 cm=397.8 cm。也就是說高度方向上的尺寸是以NE=13×1.7 cm=22.1 cm為模數(shù)的。因此在這座塔中平面尺度和垂直尺度的二級模數(shù)是相分離的，但是這兩個(gè)二級模數(shù)之間的數(shù)學(xué)關(guān)系卻值得注意：

NP∶NE=平面尺度的二級模數(shù)∶高度尺度的二級模數(shù)=（5×1.7）∶（13×1.7）=5∶13

結(jié)合前引《營造法式》中八棱的記述可知，八棱的邊長∶八棱的對邊距∶八棱的外接圓直徑=5∶12∶13。因此在這座塔中雖然平面尺度的二級模數(shù)（Np=8.5 cm）和垂直尺度的二級模數(shù)（NE=22.1 cm）相分離，但是它們之間存在著理想的比例關(guān)系，而這個(gè)比例關(guān)系和當(dāng)時(shí)八棱的簡便計(jì)算公式存在著密切關(guān)系。

另外，高度方向的大模數(shù)884 cm剛好是8×5×13×1.7 cm，也就是說，大模數(shù)A恰好是D=（5×13×1.7） cm的8倍（八邊形的邊數(shù)），而D∶各層總面闊遞減值=(5×13×1.7)∶(25×1.7)=13∶5，這也和《營造法式》中所載八棱幾何尺度的簡便算法的尺度比例關(guān)系相一致。同時(shí)標(biāo)準(zhǔn)高度=884 cm，恰好是平面尺度二級模數(shù)NP=5×1.7=8.5 cm和垂直尺度二級模數(shù)NE=13×1.7=22.1 cm最小公倍數(shù)D的8倍。

最后NE=22.1 cm≈0.75遼尺，也就是說NP= NE一定不會是整數(shù)尺或整數(shù)尺的理想倍數(shù)，而A=40NE=884 cm=30遼尺。這就說明這套模數(shù)系統(tǒng)和整數(shù)尺之間存在一定的數(shù)學(xué)比例關(guān)系，此即整座塔的部分尺度呈現(xiàn)整數(shù)尺現(xiàn)象的原因。

5 結(jié) 語

綜合以上可知，應(yīng)縣木塔在創(chuàng)建前必定經(jīng)過了建筑設(shè)計(jì)，這個(gè)設(shè)計(jì)由一套模數(shù)系統(tǒng)控制。這個(gè)模數(shù)系統(tǒng)包含三級：大模數(shù)A=884 cm（30遼尺）控制著塔總高和標(biāo)準(zhǔn)層總面闊的尺度大??；二級模數(shù)N分為平面尺度二級模數(shù)NP=8.5 cm和垂直尺度二級模數(shù)NE=22.1 cm（0.75遼尺），A為上述兩個(gè)二級尺度的最小公倍數(shù)的八倍，同時(shí)NP∶NE=5∶13，這一比例關(guān)系準(zhǔn)《營造法式》中所載八棱的邊長與斜徑的比例關(guān)系；三級模數(shù)a=1.7 cm，相當(dāng)于“分”值的大小。NP=5a、NE=13a、A=520a。這個(gè)尺度一方面控制著構(gòu)件的尺度大小，另一方面也是對空間尺度進(jìn)行微調(diào)的模數(shù)值。

另外通過對應(yīng)縣木塔分高度的分析可以看出，將整個(gè)木塔區(qū)分為柱高和柱間高的提法是可取的，而普拍方這個(gè)構(gòu)件的斷面高統(tǒng)一被歸于柱間高的分高度中，這也驗(yàn)證了肖旻對陳明達(dá)高度分層方式質(zhì)疑（2002年）的正確性。

最后應(yīng)縣木塔塔身高∶塔基高=12∶1，這一比例關(guān)系同樣見于室生寺五重塔（創(chuàng)建于781—793年之間）和凈瑠璃寺三重塔（創(chuàng)建于1178年之前不久），因此這一比例關(guān)系也許是古代進(jìn)行樓閣式木塔設(shè)計(jì)時(shí)的手法之一。

注釋：

① 陳明達(dá). 應(yīng)縣木塔[M]. 北京： 文物出版社,1966： 26-28. 應(yīng)縣木塔建成于遼清寧二年（1056年）。

② 傅熹年. 日本飛鳥、奈良時(shí)期建筑中所反映出的中國南北朝、隋、唐建筑特點(diǎn)[C]//傅熹年. 傅熹年建筑史論文集, 北京： 文物出版社, 1998. 見149-156，158-160和162-165頁。藥師寺東塔的“分”值為栱厚的十分之一，室生寺五重塔的“分”值為足材廣的二十一分之一計(jì)。

③ 陳明達(dá). 應(yīng)縣木塔[M]. 北京： 文物出版社,2001： 59. 據(jù)陳明達(dá)統(tǒng)計(jì)，應(yīng)縣木塔每層材栔大小不一，其中使用最多的是25.5 cm×17 cm，則1“分”=25.5÷15=17÷10=1.7 cm。

④ 一般情況下一材兩栔=15+2×6=27“分”，而根據(jù)后述對應(yīng)縣木塔材栔尺度的分析可知，1栔=6.5“分”，則26“分”恰好是四栔。

⑤ 陳明達(dá). 應(yīng)縣木塔[M]. 北京： 文物出版社,1966： 10. 使用這種標(biāo)準(zhǔn)方材的有：泥道栱、瓜子?xùn)?、令栱、慢栱、翼形栱和耍頭。

⑥ 張毅捷. 日本古代樓閣式木塔研究[D].上海： 同濟(jì)大學(xué), 2011： 80-86. 法隆寺五重塔的各層柱間高均為7高麗尺；凈瑠璃寺三重塔的柱間高自下向上依次為9.5N和10.5N（N為該塔的基準(zhǔn)長）。

⑦ 室生寺五重塔的塔身高和塔基高數(shù)據(jù)來自奈良県教育委員會奈良県文化財(cái)保存事務(wù)所, 國寶室生寺五重塔修理工事報(bào)告書[M].奈良： 奈良県教育委員會, 1979. 中所載實(shí)測數(shù)據(jù)。

⑧ 凈瑠璃寺三重塔的塔身高和塔基高數(shù)據(jù)來自京都府教育庁文化財(cái)保護(hù)課. 國寶浄瑠璃寺本堂·三重塔修理工事報(bào)告書[M].京都： 京都教育委員會, 1967. 中所載實(shí)測數(shù)據(jù)。