采用混合粒子群算法的四桿機構(gòu)參數(shù)優(yōu)化與軌跡誤差研究*

王亞茹，李 靜

(1.吉林工程職業(yè)學院 機電工程學院，吉林 四平 136001；2長春理工大學 機電工程學院，長春 130022)

0 引言

平面四桿機構(gòu)是多桿機構(gòu)中比較常見的一類機構(gòu)，是復(fù)雜多桿機構(gòu)研究的基礎(chǔ)[1]。四桿機構(gòu)不但能夠在機器中加工各種生活產(chǎn)品，而且具有制造容易、結(jié)構(gòu)簡單、傳遞力大及潤滑方便等優(yōu)點，廣泛應(yīng)用于機器人、汽車、航空及農(nóng)業(yè)等許多領(lǐng)域。在四桿機構(gòu)的實際應(yīng)用中，運動軌跡產(chǎn)生的誤差是許多研究者常常遇到的問題。而多桿機構(gòu)由四桿機構(gòu)和幾種基本桿件組合。因此，也是導致多桿機構(gòu)運動軌跡產(chǎn)生誤差的根源。

當前，已有學者對四桿機構(gòu)幾何參數(shù)進行優(yōu)化，并對優(yōu)化后的運動軌跡誤差進行了仿真研究，形成了一系列理論和方法。例如：文獻[2]采用了遺傳算法優(yōu)化四桿機構(gòu)幾何參數(shù)，并且對優(yōu)化參數(shù)進行誤差仿真，降低了四桿機構(gòu)橫向和縱向誤差，但是采用單一的遺傳算法優(yōu)化的結(jié)果并非全局最優(yōu)值。文獻[3]采用高斯-牛頓迭代算法優(yōu)化四桿機構(gòu)幾何參數(shù)，并且對四桿機構(gòu)運動軌跡進行了仿真驗證，降低了橫向或縱向運動軌跡誤差，但是不能同時降低橫向和縱向誤差。文獻[4]將四桿機構(gòu)角位移問題轉(zhuǎn)化為從動件鉸鏈點的坐標計算問題，為了降低求解難度，建立線性方程求解，結(jié)合VB語言進行機構(gòu)的運動仿真，但是要學習復(fù)雜的編程語言，運動軌跡誤差也較大。文獻[5]采用修正誤差函數(shù)構(gòu)造運動軌跡誤差，通過Matlab工具箱軟件直接優(yōu)化修正誤差函數(shù)，得出最優(yōu)幾何參數(shù)并進行誤差仿真，降低了四桿機構(gòu)橫向和縱向誤差，但是選擇優(yōu)化的等價因數(shù)和指定的運動軌跡點比較片面。對此，本文對四桿機構(gòu)幾何參數(shù)引入混合粒子群算法進行優(yōu)化。創(chuàng)建平面四桿機構(gòu)連桿尺寸及運動角度模型簡圖，通過向量關(guān)系式求解運動軌跡點的橫向和縱向方程式。分析四桿機構(gòu)可變參數(shù)變量，構(gòu)造運動軌跡橫向和縱向誤差函數(shù)，對四桿機構(gòu)運動條件進行約束。采用混合粒子群算法搜索四桿機構(gòu)幾何參數(shù)最優(yōu)值，將優(yōu)化前與優(yōu)化后幾何參數(shù)結(jié)果輸入到Matlab軟件中，對四桿機構(gòu)運動軌跡誤差進行仿真結(jié)果對比，為深入研究多桿機構(gòu)運動軌跡誤差提供了理論依據(jù)。

1 四桿機構(gòu)運動分析

具有四個構(gòu)件(包括機架)通過低副連接組成的機構(gòu)稱之為四桿機構(gòu)，四桿機構(gòu)平面示意圖，如圖1所示。

圖1 四桿機構(gòu)平面示意圖

根據(jù)閉合矢量關(guān)系可知，四桿機構(gòu)連桿尺寸滿足以下方程式[3]：

d2+d3=d1+d4

(1)

式中，d1、d2、d3、d4分別表示四桿機構(gòu)機架長度、主動連接桿長度、連接桿的長度及被動連接桿長度。

假設(shè)機架開始處于水平位置，則公式(1)可以轉(zhuǎn)換為：

(2)

式中，δ1、δ2、δ3、δ4分別表示機架初始位置角度、主動連接桿旋轉(zhuǎn)角度、連接桿運動角度及被動連接桿旋轉(zhuǎn)角度。

方程組(2)的等價方程組為：

(3)

式中，L1=d1/d2，L2=d1/d4，L3=(d22-d32+d42+d12)/2d2d4，L4=d1/d3，L5=(d42-d12-d22-d32) /2d2d3。

求解方程組(3)得到δ3和δ4，其表達式為：

(4)

式中，A=cosδ2-L1-L2cosδ2+L3，B=E=-2sinδ2，C=L1- (L2+1)cosδ2+L3，D=cosδ2-L1+L4cosδ2+L5，F(xiàn)=L1+L5+ (L4-1)cosδ2。

M點橫坐標和縱坐標在圖1中的數(shù)學方程式分別為：

(5)

式中，(x0，y0)表示相對坐標系O1-X′Y′在絕對坐標系O-XY中的位置點，MX、MY分別表示四桿機構(gòu)運動軌跡點在絕對坐標系中的橫坐標和縱坐標，M1=d2cosδ2+pcosδ3-qsinδ3，M2=d2sinδ2+psinδ3-qcosδ3。

2 構(gòu)造誤差函數(shù)

2.1 幾何參數(shù)設(shè)計變量

四桿機構(gòu)幾何參數(shù)尺寸變化時，其M點的運動軌跡也會隨之發(fā)生改變。因此，優(yōu)化參數(shù)變量選擇d1、d2、d3、d4、p、q、x0、y0、δ1和δ2。由以上參數(shù)構(gòu)成的設(shè)計變量為：

(6)

式中，δ2n表示主動連桿旋轉(zhuǎn)角度δ2的n等份。

2.2 構(gòu)造誤差函數(shù)

(7)

主動連桿旋轉(zhuǎn)角度的變化會導致四桿機構(gòu)運動軌跡的變化，從而生成一系列運動軌跡點Mi，運動軌跡點Mi與δ2的關(guān)系式為：

(8)

因此，實際運動軌跡與理論運動軌跡所累積的誤差函數(shù)為：

(9)

式中，N表示指定運動軌跡點的總數(shù)目。

四桿機構(gòu)在實際應(yīng)用中，通常將機架固定在某種機器中，其運動軌跡必然會受到額外條件的約束。通過約束條件構(gòu)造出四桿機構(gòu)運動軌跡最終誤差函數(shù)，主動桿旋轉(zhuǎn)過程，必須滿足的約束條件如下：

(1)主動桿必須要能夠作整周運動，由格拉曉夫準則[6]可知，四桿長度約束不等式如下所示：

(10)

(2)必須按照從小到大或者從大到小順序?qū)⒅鲃舆B桿輸入角度δ2i進行有序排列，取值范圍[0,2π]。

(3)設(shè)計變量屬于限定范圍內(nèi)，四桿尺寸為正值。

由理論與實際誤差和額外約束條件誤差兩個部分最終構(gòu)造出誤差函數(shù)為：

(11)

式中，h1(X)=0表示四桿機構(gòu)主動連桿能夠作整周運動，h1(X) =1表示四桿機構(gòu)主動連桿不能作整周運動，h2(X)=0表示主動連桿輸入角按照順序排列，h2(X)=1表示主動連桿輸入角不按照順序排列，u1和u2表示約束因子。

3 混合粒子群算法

3.1 粒子群算法

粒子群算法是模擬動物群體覓食，通過迭代尋找最優(yōu)解，從而構(gòu)造出一種新的智能優(yōu)化算法[7]。在粒子群算法求解過程中，根據(jù)群體極值G和個體極值Pi，粒子作出判斷后，決定是否更新自身的速度和位置。粒子更新速度和位置方程式[7]為：

(12)

(13)

為了調(diào)節(jié)局部搜索能力和全局搜索能力二者的比例，慣性權(quán)重系數(shù)ω采取線性遞減方程式[8]為：

(14)

式中，ω0表示初始權(quán)重，ω1表示最終權(quán)重，t表示當前迭代次數(shù)，T表示最大迭代次數(shù)。

3.2 混合粒子群算法

粒子群算法迭代次數(shù)越多，各個粒子相似度就會增大，容易產(chǎn)生局部最優(yōu)解。因此，在粒子群算法的基礎(chǔ)上增加遺傳算法，把粒子個體和群體極值進行交叉和變異，從而搜索出全局最優(yōu)值。具體操作步驟如下：

(15)

式中，r表示[0,1]區(qū)間內(nèi)的隨機數(shù)。

(2)變異。變異操作是為了保持種群的多樣性，在個體中某點進行變異生成更優(yōu)秀的個體，變異操作方程[10-11]為：

(16)

f(t)=1-r(1-t/T)a

(17)

式中，Amax，Amin分別表示個體的上界和下界，t表示當前進化代數(shù)，T表示最大進化代數(shù)，a表示可調(diào)參數(shù)。

4 誤差仿真及分析

本文采用混合粒子群算法對四桿機構(gòu)幾何參數(shù)進行優(yōu)化，初始條件設(shè)置如下：種群大小為100，迭代次數(shù)為300，慣性權(quán)重ω0=0.9、ω1=0.4，學習因子c1=c2=2，變異概率為0.6，交叉概率為0.01。采用混合粒子群算法優(yōu)化后參數(shù)如圖2、圖3所示。

圖2 連桿長度及坐標

圖3 主動連桿旋轉(zhuǎn)角度

圖4 目標點運動軌跡擬合曲線

M點實際運動軌跡誤差采用Matlab軟件進行仿真，橫向誤差優(yōu)化前后仿真對比如圖5所示，縱向誤差優(yōu)化前后仿真對比如圖6所示。目標點運動軌跡橫向和縱向誤差優(yōu)化前后數(shù)據(jù)對比如表1所示。

圖5 橫向誤差優(yōu)化前后仿真結(jié)果

圖6 縱向誤差優(yōu)化前后仿真結(jié)果

指定點優(yōu)化前優(yōu)化后單位橫向平均誤差0.5880.314mm縱向平均誤差0.6180.304mm橫向均方根誤差0.6530.363mm縱向均方根誤差0.6800.342mm

由圖5、圖6可知，橫向和縱向優(yōu)化后產(chǎn)生的誤差峰值大幅度降低。由表1數(shù)據(jù)可知，橫向和縱向平均誤差在優(yōu)化前分別為0.588mm和0.618mm，橫向和縱向平均誤差在優(yōu)化后分別為0.314mm和0.304mm，橫向和縱向平均誤差優(yōu)化后分別下降了46.6%和50.8%；橫向和縱向均方根誤差在優(yōu)化前分別為0.653mm和0.680mm，橫向和縱向均方根誤差在優(yōu)化后分別為0.363mm和0.342mm，橫向和縱向均方根誤差優(yōu)化后分別降低了44.4%和49.7%。因此，四桿幾何參數(shù)通過混合粒子群算法優(yōu)化后，橫向和縱向平均誤差下降，誤差波動程度也有所降低，四桿機構(gòu)運動精度較高。

5 結(jié)束語

本文采用混合粒子群算法研究四桿機構(gòu)實際運動軌跡的精度。在二維坐標系中建立了四桿機構(gòu)示意圖，采用矢量關(guān)系式推導運動軌跡坐標方程式。定義了四桿機構(gòu)運動條件和設(shè)計參數(shù)變量，采用混合粒子群算法優(yōu)化參數(shù)變量，將優(yōu)化結(jié)果輸入到Matlab軟件中進行仿真驗證。仿真數(shù)據(jù)表明，在相同條件下，優(yōu)化后運動軌跡平均誤差明顯降低，誤差波動幅度相對穩(wěn)定，從而提高了四桿機構(gòu)在實際應(yīng)用中的運動精度，為多桿機構(gòu)運動精度的研究提供了參考價值。