一元二次不等式的多元化解決方法探究

河北省邯鄲市第一中學(xué) 潘向宸

一元二次不等式是含有最高次數(shù)為2的未知數(shù)的不等式，它的一般形式為ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a≠0）。一些同學(xué)對一元二次不等式的理解存在誤區(qū)，并沒有掌握一元二次不等式背后的核心概念，導(dǎo)致其在遇到相關(guān)題目后手足無措、心慌意亂。如果在考試中發(fā)生上述情況，小則拉低自己的整體分?jǐn)?shù)，大則會紊亂自己的心緒，影響正常的考試發(fā)揮。下面我將結(jié)合自身實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，從三種思想著手探究解決一元二次不等式的方法，即數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想和方程轉(zhuǎn)化思想，從而為處于迷惑或者困惑中的同學(xué)提供新的思考角度。

一、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想是將數(shù)與形結(jié)合與對應(yīng)起來的一種數(shù)學(xué)思想，其旨在通過形象生動的幾何圖形，讓我們明白比較抽象的數(shù)學(xué)關(guān)系，往往采用直角坐標(biāo)系進(jìn)行表示，我們會比較直觀地感受到其存在的數(shù)量關(guān)系，從而順利解出數(shù)學(xué)題目。

利用數(shù)形結(jié)合思想解決一元二次不等式的具體方法：先要確定不等式兩邊的表達(dá)式分別是什么；其次，根據(jù)具體的表達(dá)式做出相應(yīng)的函數(shù)圖像；最后，具體問題具體分析，結(jié)合不等式的條件判斷滿足不等式的區(qū)域，這個區(qū)域就是不等式的解集。

例如：求解不等式：x2-5x＞6。

第一步：先將題目中的一元二次不等式轉(zhuǎn)化為等式，并確定題目中的函數(shù)表達(dá)式是哪些，即將x2-5x＞6轉(zhuǎn)化為|x2-5x|=6，計算可知x有四個解：x1=-1、x2=2、x3=3、x4=6,然后從中明確y1和y2的表達(dá)式分別是y1=|x2-5x|、y2=6。

第二步：根據(jù)x的解和上述兩個函數(shù)表達(dá)式作出相關(guān)圖像，如下圖：

第三步：我們從圖中可以發(fā)現(xiàn)此一元二次不等式的解集是x＜-1或2＜x＜3或x＞6。

數(shù)形結(jié)合方法是一種比較便利的解題思想。但是，部分同學(xué)容易忽視題目中的細(xì)節(jié)問題，他們會因?yàn)橐粫r疏忽而遺漏某個不等式存在的條件，從而犯下錯誤，這是廣大學(xué)子值得注意與思考的地方。

二、分類討論思想

分類討論思想是針對一元二次不等式的存在條件出現(xiàn)的所有可能情況分層次地展開討論。如果二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)，題目中也沒有明確指示，那么就要對此參數(shù)是否為零做出討論；如果一元二次不等式中的參數(shù)不明確，那么就要對判別式分大于零、小于零或者等于零這三種情況進(jìn)行判斷；如果含有參數(shù)的一元二次不等式可以轉(zhuǎn)化成a（x-x1）（x-x2）這種形式，那么就要對x1與x2的關(guān)系加以討論，即x1＞x2，x1=x2以及x1＜x2。利用分類討論思想解決一元二次不等式題目時，往往需要進(jìn)行一次以上的討論，一般來講，如果二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)，先要對二次項(xiàng)系數(shù)是否為零進(jìn)行討論，然后分析不等式是否可以進(jìn)行因式分解，如果可以進(jìn)行因式分解，那么就要對一元二次不等式的兩根展開討論，如果不可以進(jìn)行因式分解，那么就要對判別式的正負(fù)情況展開討論。

首先，觀察這道題目的特點(diǎn)，確定考查的知識點(diǎn)，這道題目不僅考查學(xué)生是否了解一元一次不等式和一元二次不等式的求解方法，而且還考查了學(xué)生是否會利用分類討論思想求解題目。

其次，明確此題目中的分類情況以及分類標(biāo)準(zhǔn)，題目中含有字母系數(shù)a，我們要對a進(jìn)行分類，即a=0和a≠0的情況，而a≠0又可以分為a＞0和a＜0的情況。

最后，我們按照分類情況將不等式進(jìn)行變形，然后解出最終答案。

第二種情況： ，原不等式變形為 。

有時候?yàn)榱烁玫剡\(yùn)用分類討論思想，我們可以將其與數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行互相融合、有效統(tǒng)一，從而快速解答一元二次不等式問題，以便節(jié)約我們的做題時間。

三、方程轉(zhuǎn)化思想

方程轉(zhuǎn)化思想是指將一元二次不等式轉(zhuǎn)化成相應(yīng)方程，然后以此為依據(jù)求解方程的根，在根的基礎(chǔ)上尋找一元二次不等式的求值范圍。方程、不等式與函數(shù)是成一體化的系統(tǒng)知識，我們需要對三者之間的關(guān)系進(jìn)行整合和總結(jié)，從而在考試中發(fā)揮自己的優(yōu)勢，以便為以后的學(xué)習(xí)奠定扎實(shí)基礎(chǔ)。

例如：解不等式 x2-x-1＜0 。

首先，我們可以將一元二次不等式轉(zhuǎn)化成方程，即x2-x-1＜0，x2-x-1=0，然后求出方程的兩個根，即x1=1或者x2=2。

其次，在解答出相應(yīng)的根之后，我們再結(jié)合小于零的取值區(qū)間尋找具體的答案，即看此一元二次不等式的取值范圍是哪部分小于0，有時候可以做出相應(yīng)函數(shù)圖像進(jìn)行求解，或者直接整體代入進(jìn)行解決，也或者進(jìn)行分類討論求出答案。

最后，x的取值范圍分為三種情況，即x＜1，1＜x＜2，x＞2，我們根據(jù)這三種情況代入某個具體數(shù)值，驗(yàn)證此一元二次方程是否可以滿足不等式小于零的情況，最終確定x的取值范圍。但是，我們還要注意此不等式是否可以出現(xiàn)x等于零的情況，可以直接將零代入式子中進(jìn)行驗(yàn)算，當(dāng)x=0時，x2-x-1=-1，這也就說明x是可以等于零的。

以上是我針對一元二次不等式的多元化解決方法所做的總結(jié)。一元二次不等式是高中數(shù)學(xué)知識體系中較為關(guān)鍵的理論結(jié)構(gòu)，其常常與函數(shù)、方程等內(nèi)容配合出題。如果我們沒有弄懂一元二次不等式的性質(zhì)、特點(diǎn)、屬性等知識，那么就會影響后面章節(jié)的學(xué)習(xí)，從而無法打牢自己的數(shù)學(xué)地基。當(dāng)然，由于我的知識水平有限，文中尚有概括不到位的地方，還望老師、其他學(xué)子提出指正意見，以便督促我不斷地提高自身素質(zhì)。