例談數(shù)學課堂里的“低起點”與“高收益”
——“5.3用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)表達式”課堂實錄與評析

江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)第一中學 崔海祥

本課例是蘇州工業(yè)園區(qū)教發(fā)中心組織的一節(jié)研討交流課，所使用的教材是“蘇科版《義務教育課程標準實驗教科書·數(shù)學》九年級下冊第5章第3節(jié)《用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)表達式》”。2017年10月，我校張艷老師開設了《用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)表達式》一課，課后，區(qū)教師發(fā)展中心數(shù)學教研員王曉鋒老師對這節(jié)課進行了點評，現(xiàn)對這節(jié)課的課堂教學過程簡錄如下，并根據筆者聽課與評課的體會進行評析，與大家交流。

片段一、知識回顧，鋪墊準備

師：前面我們學習了用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)、反比例函數(shù)的表達式，請大家回憶：一次函數(shù)和反比例函數(shù)的一般形式是什么？各有幾個未知系數(shù)？

【評析】教師的教學是以學生的認知發(fā)展水平和已有的經驗為基礎展開教學的，大家一致認為張老師的引入是非常合理的，通過回顧一次函數(shù)與反比例函數(shù)的知識，強調函數(shù)表達式中的未知系數(shù)問題，為今天的課題埋下了伏筆！學生踴躍回答問題的良好表現(xiàn)為該節(jié)課的順利完成開了好頭。

片段二、“低起點”帶來全員參與

問題1：已知二次函數(shù)y＝ax2的圖象經過點(-2,8）,求a的值。

師：該函數(shù)表達式有幾個未知系數(shù)？

生1：只有一個未知系數(shù)a。

(教師板書，學生在下面練習)

問題2：已知二次函數(shù)y＝ax2+c的圖象經過點(-2，8)和(-1，5)，求a、c的值。

師：該函數(shù)表達式有幾個未知系數(shù)？

生2：有兩個未知系數(shù)a和c。

(教師板書，學生在下面練習)

問題3：已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c經過點(-3，6)、(-2，-1)和(0，-3)，求這個二次函數(shù)的表達式。

師：該函數(shù)表達式有幾個未知系數(shù)？

生3：有三個未知系數(shù)a、b、c。

(教師板書，學生在下面練習)

【評析】在評課時，大家一致認為張老師的教學起點較低，非常符合學生的學習情感。教育家蘇霍姆林斯基說過：“情感如同肥沃的土壤，知識的種子就播種在這片土壤上，種子會萌發(fā)幼芽，孩子邊認識邊干得越多，激動情感體驗得越深，他就想知道更多，他的求知渴望、鉆研精神、學習勁頭也就越強烈。”是的，張老師在問題1中設置了只含有一個未知系數(shù)的問題，雖然很簡單，但這樣的設計使得班級里幾乎所有的同學都“動”了起來，問題2是在問題1的基礎上進行了一個提高，設計了兩個未知系數(shù)，學生只需要解一個二元一次方程組，感覺非常簡單，學生的學習熱情得到了調動。問題3張老師設計得更為合理，雖然表面上看是一個三元一次方程組問題，但是這里給出了一個點（0，-3），也就是縱軸上的點，完全回避了三元一次方程組的解答，張老師非常清楚這節(jié)課的教學重點是“如何在給定條件下求二次函數(shù)表達式”，而不是“解三元一次方程組”，何況“解三元一次方程組”在課標上屬于選學內容，因此在我們的平時教學中，首先明白“教什么”是非常重要的。

問題4：已知拋物線的頂點為(-1，-3)，且過點(0，-5)，求拋物線的表達式。

生4：由于頂點已知，可以假設二次函數(shù)的頂點式y(tǒng)＝a(x+1)2-3（a≠0）。

師：此時的表達式中還有幾個未知系數(shù)？

生5：還有一個系數(shù)a未知。

師：請說一下解題過程。(學生說教師板書)

問題5：已知二次函數(shù)的圖象經過坐標原點，且當x＝1時，y有最小值-1， 求這個二次函數(shù)的表達式。

(學生思考，有想法的同學陸續(xù)舉手)

師：我發(fā)現(xiàn)還有幾位同學對這道題還沒有想法，現(xiàn)在我找位還沒有想法的同學，請生6回答這個問題。

(此時大部分學生看著生6，生6非常緊張，畢竟自己不會)

師：不用緊張，我們首先來一起審題，請大家一起和生6將這道題齊聲朗讀一遍。

師：（追問）對于題目中的“當x＝1時，y有最小值-1”，你想起了我們前面學的二次函數(shù)的哪個性質？

生6：二次函數(shù)的最值。

師：（啟發(fā)）那是不是就相當于題目中已知了頂點的坐標為(1，-1)？

生6：是的，這樣就可以假設頂點式了。

師：非常好，大家給生6點掌聲。

【評析】張老師在上課時非常關注學生的學習情感，當發(fā)現(xiàn)有學生不理解時，她并不是一味地讓會做這道題的學生回答，而是采取了師生互助，鍛煉學生克服困難的意志，從而建立學生學習數(shù)學的自信心，體驗獲得成功的樂趣！從這個意義上講，張老師在課堂教學時做到了“課堂教學以學生的認知發(fā)展水平和已有的經驗為基礎，面向全體學生，注重啟發(fā)式?！?/p>

片段三、啟發(fā)式教學帶來“高收益”

問題6：如圖，二次函數(shù)的圖象經過點(-1,0)，(3，0)，(1，-4)，求此二次函數(shù)的關系式。

師：如何求這個二次函數(shù)的表達式？(學生在下面思考，教師課堂巡視)

生7：用一般式。

師：很好，有沒有不同于生7的想法？

生8：我用的是頂點式，假設該函數(shù)表達式為y ＝ a(x-1)2-4。

師：你的依據是什么？

生8：因為給的點(-1,0)，(3，0)是兩個對稱點(函數(shù)值都為0)，根據對稱性得到該拋物線的對稱軸是直線x=1，所以頂點的橫坐標是1，所以(1，-4）這個點就是頂點。

師：非常好，生8同學利用“頂點本質是拋物線與對稱軸的交點”這一性質發(fā)現(xiàn)題目中的點(1，-4)就是頂點，從而利用頂點式來求解。(老師此時留白，讓學生在下面回味這樣的解法)

師：還有不一樣的解法嗎？

生9：我用的是交點式，可以假設函數(shù)解析式為y ＝ a(x+1)(x-3)。

三、引入生活的概念應用

師：大家比較一下，這樣的三個方法中，哪個方法更好？各有什么優(yōu)缺點？(學生在下面各抒己見)

【評析】該題是思維含量非常豐富的一道題，有學生用的是一般式，例如生7，張老師在上課時首先用語言表揚了這些同學的方法是對的，并沒有花費時間讓這些同學“展示”解題的具體過程，也巧妙回避了學生可能遇到的問題——“三元一次方程租的解法”，然后張老師繼續(xù)追問：有沒有不一樣的解法？學生的思維也被帶動了起來，生8用的是頂點式，因為前面剛說過頂點式，并且該生從點（-1,0），（3,0）發(fā)現(xiàn)對稱軸是直線x=1，所以得到頂點的橫坐標是1，從而（1，-4）就是頂點，此時學生得到精神上的滿足。張老師繼續(xù)追問，又有學生發(fā)現(xiàn)給的點（-1,0），（3，0）是與x軸的交點，因此可用交點式，此時整個課堂師生之間充滿了共鳴，這樣的共鳴是通過教師一步步引導而來的，教師真正做到了把時間交給學生，讓學生成了課堂里的學習主體，教師是引導者、組織者，教師的教學真正做到了面向全體學生，注重啟發(fā)式和因材施教。

本課例給筆者最大的感受是我們教師在平時的教學過程中首先應該明白“教什么”，也就是要明確教學目標和教學重點，例如，在以往的聽課過程中，這一課時會有老師為了“解三元一次方程組”而花費很多的時間，偏離了本節(jié)課的教學目標；其次，為了達到教學目標，教師應該“怎么教”，也就是教學手段和教學方法。例如，在本課例中，張老師的課堂教學做到了“低起點”，從一個未知系數(shù)開始入手，面向全體學生，然后慢慢深入，從一般式過渡到頂點式，再談到交點式。這樣的課堂教學又確實是 “高收益”的，讓學有余力的同學享受了數(shù)學所帶給他們的精神樂趣，做到了因材施教。