數(shù)彈孔的數(shù)學(xué)大師

楊誠邁

2018年高考語文全國卷II的作文題給了這么一個(gè)資料：“二戰(zhàn)期間，為了加強(qiáng)對戰(zhàn)機(jī)防護(hù)，英美軍方調(diào)查了作戰(zhàn)后幸存飛機(jī)上的彈痕的分布，決定哪里彈痕多就加強(qiáng)哪里，然而統(tǒng)計(jì)學(xué)家沃德力排眾議，指出更應(yīng)該注意彈痕少的部位，因?yàn)檫@些部位收到重創(chuàng)的戰(zhàn)機(jī)，很難有機(jī)會返航，而這部分?jǐn)?shù)據(jù)被忽略了，事實(shí)證明，沃德是正確的。”

這個(gè)沃德是一位二戰(zhàn)期間隱居在戰(zhàn)場幕后的英雄，他不僅用自己的數(shù)學(xué)天才挽救了無數(shù)空軍飛行員的生命，而且用數(shù)學(xué)理論提升了美國軍隊(duì)后勤補(bǔ)給的驗(yàn)收效率，為美國贏得戰(zhàn)爭做出了非常重要的貢獻(xiàn)。

為避難遠(yuǎn)走美國

1902年，亞伯拉罕·沃德出生于奧匈帝國（今羅馬尼亞）的克盧日—納波卡市的一個(gè)猶太家庭。上學(xué)讀書時(shí)，沃德偏愛數(shù)學(xué)，很有天分，考入了斐迪南一世國王大學(xué)（1948年改稱巴貝什·博堯依大學(xué)）數(shù)學(xué)系。大學(xué)畢業(yè)后在數(shù)學(xué)專業(yè)一路深造，1931年，沃德拿到了數(shù)學(xué)博士學(xué)位，掌握了多門深奧的數(shù)學(xué)理論，培養(yǎng)了良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣。

然而，沃德完成學(xué)業(yè)的日子卻正好趕上了納粹勢力崛起的時(shí)期，毗鄰德國的奧地利，也掀起了迫害猶太人的風(fēng)暴。1938年，納粹德國吞并了奧地利，為了避難，沃德不得不離開歐洲，前往美國。

在美國，沃德這樣的人才是深受歡迎的。美國企業(yè)家新近創(chuàng)立的“考爾斯經(jīng)濟(jì)學(xué)研究委員會”很快就向沃德發(fā)出邀請，招聘他做計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域的研究員。不久，二戰(zhàn)爆發(fā)了，沃德又被美國政府召入“統(tǒng)計(jì)學(xué)研究小組”。

“統(tǒng)計(jì)學(xué)研究小組”是美國政府為打贏二戰(zhàn)而成立的數(shù)學(xué)家智囊團(tuán)，其成員包括控制論的創(chuàng)始人諾伯特·維納、哈佛大學(xué)統(tǒng)計(jì)系的創(chuàng)建者弗雷德里克·莫斯特勒以及建立現(xiàn)代貨幣數(shù)量論的米爾頓·弗里德曼等等。

“統(tǒng)計(jì)學(xué)研究小組”的辦公室設(shè)在哥倫比亞大學(xué)，每天，美國軍方都會在這里丟給沃德和“諾伯特·維納”們一堆“作戰(zhàn)任務(wù)”：計(jì)算轟炸機(jī)炸彈的彈道，幫助轟炸機(jī)投彈手鎖定目標(biāo)；根據(jù)德國、日本大型軍艦的照片建模，測算敵艦的航速和轉(zhuǎn)彎能力；設(shè)計(jì)為運(yùn)輸船隊(duì)護(hù)航的美國海軍的編隊(duì)規(guī)模和航行路線，降低運(yùn)輸船在大西洋遭遇德國潛艇的概率……這些都是戰(zhàn)爭帶給數(shù)學(xué)家們的課題，顯然，這些課題也只有精通密碼學(xué)、運(yùn)籌學(xué)、概率論、統(tǒng)計(jì)學(xué)和計(jì)算科學(xué)的頂尖數(shù)學(xué)家才能勝任。

數(shù)彈孔挽救空軍

1943年的一天，沃德正在哥倫比亞大學(xué)畫著各種方程和數(shù)學(xué)矩陣，新的任務(wù)又分派下來了。美軍飛行員在德國天空正遇到強(qiáng)勁的挑戰(zhàn)，戰(zhàn)機(jī)頻頻被擊落。為了減少損失率，美國空軍決定給戰(zhàn)機(jī)增加防彈裝甲。但裝甲笨重，又會降低戰(zhàn)機(jī)的機(jī)動性，所以，最好只在戰(zhàn)機(jī)上最需要補(bǔ)強(qiáng)的部位提供裝甲?？哲婇L官們想知道，到底哪里才是戰(zhàn)機(jī)最需要補(bǔ)強(qiáng)（增加裝甲）的部位。

沃德開始搜集數(shù)據(jù)，他觀察了大量被子彈擊中卻幸運(yùn)“跛行”返航的B29轟炸機(jī)，那些轟炸機(jī)已經(jīng)千瘡百孔，被美軍飛行員戲稱為“瑞士奶酪”。通過閱讀大量的彈孔記錄，沃德發(fā)現(xiàn)，B29龐大的機(jī)身上彈孔最多，其次是機(jī)翼，而發(fā)動機(jī)和燃油系統(tǒng)處的彈孔數(shù)量還不到機(jī)身彈孔數(shù)量的一半。情況似乎很清楚了——B29機(jī)身受到子彈攻擊的概率更高，而且是安置電子設(shè)備和投彈手的艙室，最需要補(bǔ)充裝甲——空軍長官的第一反應(yīng)也是這樣的。但是，這種觀點(diǎn)是錯誤的，沃德也知道它為什么錯了。

隨后，沃德向美國國防部提交了調(diào)查報(bào)告，認(rèn)為發(fā)動機(jī)和燃油系統(tǒng)才是B29最需要保護(hù)的“核心部位”。他在報(bào)告中解釋道，機(jī)身和機(jī)翼大量的彈孔表明，這里容易被擊中，但也意味著，即使這里承受了大量的火力，B29還是可以返航的。在B29的“核心部位”很少發(fā)現(xiàn)彈孔，并不是因?yàn)檫@里不容易中彈，而是因?yàn)檫@里只要被打中，B29就會墜落，飛不回來。即，美軍看到的B29的彈孔記錄只是來自于幸存者，僅僅依靠幸存者所做的判斷是不科學(xué)的，那些被忽視了的非幸存者才是關(guān)鍵，他們根本就沒有飛回來。這就好比醫(yī)生去醫(yī)治經(jīng)過槍擊而活下來的人，他們會發(fā)現(xiàn)傷者的手部、腿部中彈的很多，而頭部和心臟中彈的情況少之又少，正說明了人的頭部和心臟更需要保護(hù)。

美國空軍采用了沃德的建議，加強(qiáng)了對于發(fā)動機(jī)和燃油系統(tǒng)的防護(hù)，這在后來被證明是無比正確的決策，美軍戰(zhàn)機(jī)的損失率大大降低。

“序貫分析”節(jié)省軍用物資

二戰(zhàn)中，美國軍用物資的消耗量大得驚人。對于習(xí)慣奢侈的美國大兵們來說，汽油、彈藥、火炮、巧克力、香煙一個(gè)都不能少，他們每天都要在戰(zhàn)場上“燒”掉數(shù)千萬美金。美國政府雖然財(cái)大氣粗，也不得不考慮軍需節(jié)省的事情。但是，美國軍方十分重視士兵的生命安全，自然不會削減軍隊(duì)的后勤補(bǔ)給，他們希望能夠在軍用物資的驗(yàn)收環(huán)節(jié)做到一些節(jié)省。于是，1944年，軍方把這個(gè)課題拋給了沃德，讓他想想辦法。

沃德明白，軍用物資的驗(yàn)收一定要保證準(zhǔn)確性，因?yàn)檐娪梦镔Y的質(zhì)量有可能會到影響一場戰(zhàn)役的勝負(fù)。然而，驗(yàn)收時(shí)要提高準(zhǔn)確性，往往會帶來物資的浪費(fèi)。

比如，工廠生產(chǎn)了1萬枚炮彈，如果想知道合格率，你可以挨個(gè)地把這1萬枚炮彈全部打完，做一個(gè)統(tǒng)計(jì)表——這樣的做法最準(zhǔn)確，但全部炮彈都被浪費(fèi)了。所以，正常情況下，軍隊(duì)采用的是抽樣檢查。驗(yàn)收的一方，先定下一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，假設(shè)定為“合格率必須大于99%”。根據(jù)這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，設(shè)定合適的樣本數(shù)量，比如500枚樣本或者1000枚樣本，抽取兩組，分別做測試，計(jì)算平均合格率。最后，用樣本的合格率，估算所有炮彈的合格率。但這樣的檢查屬于固定抽樣，做一次驗(yàn)收就需要打完1000枚或者2000枚炮彈，花費(fèi)太高。為了減少浪費(fèi)，沃德開創(chuàng)性地提出了“序貫分析”理論。

所謂序貫分析，是一種靈活的抽樣方案。驗(yàn)收的一方，不事先規(guī)定總的抽樣的數(shù)量，而是先抽少量樣本，根據(jù)其結(jié)果，再決定“停止抽樣”或“繼續(xù)抽樣”“抽多少”。如此進(jìn)行下去，直至決定停止抽樣為止。比如，1萬枚炮彈，要求合格率必須大于99%，這意味著100枚炮彈里，最多只能有1枚不合格。那么，驗(yàn)收方先抽樣100枚出來，進(jìn)行測試。如果不合格的炮彈的數(shù)量大于1，那么這批炮彈極可能不符合要求，就不用接著測試了；如果不合格的炮彈的數(shù)量少于1，可以通過數(shù)學(xué)計(jì)算，判斷接下來還要不要繼續(xù)抽樣，需要抽多少。因此，序貫分析邊抽邊檢、不斷調(diào)整后續(xù)行動。這樣，就能充分利用抽樣檢查的結(jié)果，既能保證準(zhǔn)確性，又能大量地減少浪費(fèi)。

在序貫分析理論用于軍隊(duì)補(bǔ)給驗(yàn)收的當(dāng)月，其威力就顯現(xiàn)出來，美軍軍用卡車輪胎的供應(yīng)量一下子比上個(gè)月提升了6.37%。在后續(xù)的戰(zhàn)爭期間，序貫分析為美國軍方節(jié)省了大量軍火物資，其價(jià)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了美國政府投入“統(tǒng)計(jì)學(xué)研究小組”的全部研究經(jīng)費(fèi)。