何春山
(中山大學(xué)物理學(xué)院,廣東 廣州 510275)
相對(duì)論原理的應(yīng)用越來(lái)越廣泛,掌握狹義相對(duì)論的基本理論是應(yīng)用的基礎(chǔ)[1,2]。狹義相對(duì)論的教學(xué)是大學(xué)物理課程中的一大亮點(diǎn),也是一大難點(diǎn)。大學(xué)一年級(jí)學(xué)生在經(jīng)歷了若干年的牛頓力學(xué)熏陶后,突然進(jìn)入到一個(gè)與高速相關(guān)的新的時(shí)空世界,非常興奮,然而,由于受牛頓絕對(duì)時(shí)空觀的影響太深,在理解愛(ài)因斯坦的狹義相對(duì)論時(shí)空觀時(shí),常常感到吃力,解決問(wèn)題也不能得心應(yīng)手。本文從最基本的原理入手,以兩道非常典型的與時(shí)空和速度相關(guān)的習(xí)題為范例,分別在相對(duì)靜止的K系和運(yùn)動(dòng)的K′系中來(lái)求解同一與時(shí)空相關(guān)的問(wèn)題。
在愛(ài)因斯坦在1905年提出狹義相對(duì)論的文章《論動(dòng)體的電動(dòng)力學(xué)》里,給出了兩個(gè)原理(或稱“假設(shè)”),即相對(duì)性原理和光速不變?cè)韀3]。相對(duì)性原理指的是物理定律在一切慣性參考系中都具有相同的數(shù)學(xué)表達(dá)形式,也就是說(shuō)一切慣性系中物理現(xiàn)象的描述都是等價(jià)的;光速不變?cè)碇傅氖窃诒舜讼鄬?duì)作勻速直線運(yùn)動(dòng)的任一慣性參考系中,所測(cè)得的光在真空中的傳播速度都是同一個(gè)常數(shù)c,它表明光在真空中的傳播速度與光源和觀察者的運(yùn)動(dòng)無(wú)關(guān)[4]。需要特別指出的是,狹義相對(duì)論的同時(shí)性是基于光速不變?cè)恚徽且驗(yàn)樗?,?ài)因斯坦給我們展現(xiàn)了一個(gè)精彩的、有別于牛頓絕對(duì)時(shí)空觀的狹義相對(duì)論時(shí)空觀。光速不變?cè)砜傻玫酵瑫r(shí)的相對(duì)性,確定不同慣性系之間的時(shí)間關(guān)系,進(jìn)一步可推導(dǎo)得到洛倫茲變換,而不是反過(guò)來(lái)理解,這一點(diǎn)初學(xué)者要特別引起重視[5-7]。雖然洛倫茲最先得到時(shí)間與空間相關(guān)聯(lián)的洛倫茲變換形式,但是那個(gè)形式實(shí)質(zhì)上不是狹義相對(duì)論的洛倫茲變換。只有將狹義相對(duì)性原理與光速不變?cè)斫Y(jié)合在一起進(jìn)行推導(dǎo),才能得到狹義相對(duì)論的洛倫茲變換,愛(ài)因斯坦先后以兩種不同的方法推導(dǎo)得到了這種變換關(guān)系[8,9]。
設(shè)坐標(biāo)系K′(O′x′y′z′)以速度v相對(duì)坐標(biāo)系K(Oxyz)的x軸正方向運(yùn)動(dòng),x軸與x′軸重合,t′=t=0時(shí),原點(diǎn)O與O′也重合,則洛倫茲正變換和逆變換形式分別為
進(jìn)一步推導(dǎo)可得到相對(duì)論速度的變換公式為
由式(3)可知,如果在K系不同地點(diǎn)同時(shí)發(fā)生了兩個(gè)事件,由于Δt=0,Δx≠0,從而Δt′一定不為零,因此在相對(duì)于K系運(yùn)動(dòng)的另一個(gè)慣性系K′中觀測(cè),這兩個(gè)事件不同時(shí)發(fā)生,因此同時(shí)具有相對(duì)性意義。只有在同一地點(diǎn),同一時(shí)刻發(fā)生的兩個(gè)事件,在其他慣性系中才同時(shí)發(fā)生。狹義相對(duì)論的時(shí)空觀可表述如下:
1) 對(duì)于發(fā)生在不同慣性系的兩個(gè)事件而言,它們的空間關(guān)系是相對(duì)的,時(shí)間關(guān)系也是相對(duì)的,只有將空間和時(shí)間聯(lián)系在一起才有意義;
2) 時(shí)、空不再相互獨(dú)立,需滿足洛倫茲變換關(guān)系;
3) 光速c是建立不同慣性系間時(shí)空變換的紐帶。
一只裝有無(wú)線電發(fā)射和接收裝置的飛船,正以4c/5的速度飛離地球。當(dāng)宇航員發(fā)射一無(wú)線電信號(hào)后,信號(hào)經(jīng)地球反射,60s后宇航員才收到返回信號(hào)。求:
1) 在地球反射信號(hào)的時(shí)刻,從飛船上測(cè)得的地球離飛船多遠(yuǎn)?
2) 當(dāng)飛船接收到反射信號(hào)時(shí),地球上測(cè)得的飛船離地球多遠(yuǎn)?
1) 在K′系(飛船上)中測(cè)量,宇航員是靜止的,地球以4c/5的速度遠(yuǎn)離他而去,他發(fā)出的無(wú)線電信號(hào)以光速c去追地球,信號(hào)碰到地球后被地球瞬間反射回來(lái),再被宇航員接收到。顯然無(wú)線電信號(hào)一來(lái)一回所走過(guò)的路程相等,所用的時(shí)間也相等,都為30s。因此在地球反射信號(hào)的時(shí)刻,從飛船上測(cè)得的地球離飛船的距離為c×30=9×109(m)。
得到的Δx就是飛船接收到反射信號(hào)時(shí),地球上(K系)測(cè)得的飛船離地球的距離。
解法二。在K系(地球上)觀察,飛船存在3個(gè)特征時(shí)空點(diǎn),如圖1所示。飛船在時(shí)空點(diǎn)(x1,t1)向地球發(fā)出一個(gè)無(wú)線電信號(hào)(淺色箭頭),當(dāng)信號(hào)到達(dá)地球的瞬間,飛船到達(dá)時(shí)空點(diǎn)(x2,t2);信號(hào)被地球反射后,反射信號(hào)(深色箭頭)在時(shí)空點(diǎn)(x3,t3)追上飛船并被宇航員接收。
圖1 K系中觀察,飛船經(jīng)歷的3個(gè)特征時(shí)空點(diǎn)
宇航員發(fā)送和接收信號(hào)這兩個(gè)事件在K′系中是同一地點(diǎn)先后發(fā)生的事情,即有
利用式(4)得Δt=t3-t1=γΔt′=100(s),即在K系中觀察,信號(hào)的收發(fā)時(shí)間差為100s。從圖1可看出,從無(wú)線電信號(hào)被地球反射到被宇航員接收,信號(hào)所行進(jìn)的距離正好等于飛船所在的時(shí)空點(diǎn)(x3,t3)離地球的距離。據(jù)此可列出一個(gè)方程
1) 地球反射信號(hào)的時(shí)刻,飛船處于時(shí)空點(diǎn)(x2,t2),飛船與地球之間的距離x2在K系中是同時(shí)測(cè)量的,因此Δx=x2=18c(m),Δt=0(s),利用式(3)可得Δx′=γΔx=30c=9×109(m)。
2)x3=90c=2.7×1010(m)即為飛船接收到反射信號(hào)時(shí),地球上測(cè)得的飛船離地球的距離。
地球上的觀察者發(fā)現(xiàn)一只以速率0.6c向東航行的宇宙飛船將在5s后同一個(gè)以0.8c速率向西飛行的彗星相撞。求:
1) 飛船中的人們測(cè)得彗星以多大速率向他們接近。
2) 按照他們的鐘,還有多少時(shí)間允許他們離開(kāi)原來(lái)航線避免碰撞。
解1) 設(shè)地球?yàn)镵系,飛船為K′系,由題設(shè)條件得v=0.6c,ux=-0.8c,利用式(5)可得到
解2)解法一。在K系中分析。以地球上發(fā)現(xiàn)飛船經(jīng)過(guò)某地,飛船和彗星相隔一段距離(并將于5s后相撞)為事件1,以地球上發(fā)現(xiàn)飛船和彗星即將相撞為事件2。這兩件事對(duì)K′系(飛船)來(lái)說(shuō)是在同一地點(diǎn)先后發(fā)生的,因此Δx′=0。利用式(4)得Δt′=Δt/γ=4(s)。
Δx=(0.6c+0.8c)×5=7c(m)
該結(jié)果與解法一的結(jié)果不一致,問(wèn)題出在哪里呢?
本文通過(guò)對(duì)兩道典型的與狹義相對(duì)論時(shí)空有關(guān)的范例的分析,詳盡地討論了在K和K′兩個(gè)參考系中進(jìn)行求解的方法。相互印證,增強(qiáng)理解,使學(xué)生更容易掌握解決狹義相對(duì)論時(shí)空問(wèn)題的方法。強(qiáng)調(diào)了用相對(duì)論速度求解時(shí)空問(wèn)題時(shí)同時(shí)性的重要性,有助于初學(xué)者深入理解狹義相對(duì)論的時(shí)空觀。