系數(shù)矩陣中部分有界不確定性的混合平差算法

王志忠，宋迎春，何玲莉

1. 中南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，湖南 長沙 410083； 2. 中南大學(xué)地球信息科學(xué)與物理學(xué)院，湖南 長沙 410083

在測繪數(shù)據(jù)獲取過程中，不可避免的誤差來源使觀測數(shù)據(jù)與真值間存在差異，人們認(rèn)為數(shù)據(jù)具有不確定性，其實質(zhì)是指數(shù)據(jù)的誤差[1]。不確定性是不精確性、模糊性、不明確性等概念的一個總稱，它與誤差的意義相近。但前者指一種廣義的誤差，它包含可度量的數(shù)值誤差和難以度量的概念誤差。很多時候測量數(shù)據(jù)的不確定性不再是一個具體數(shù)值，它們可能各自在一定的實數(shù)區(qū)間內(nèi)變動，或者僅是一個模糊數(shù)，此時沿用隨機誤差的分布限定會使測量平差數(shù)據(jù)處理效果受到影響[2]。為抑制觀測不確定性因素的影響，很多學(xué)者做了相關(guān)的研究。如運用整體平差算法[3-5]來進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，它總體上考慮了觀測向量L和系數(shù)矩陣A的誤差，但容易出現(xiàn)對A的過度校正，從而影響狀態(tài)參數(shù)估計的可靠性。后有文獻(xiàn)[6]提出給這種校正加上先驗上界。后續(xù)研究包括應(yīng)用不確定度理論研究不確定性評定方法[7-11]，尋找抑制不確定性影響的算法[8，12-13]，針對不確定性建立新的平差準(zhǔn)則[14]等。

不確定度是不確定性的一種度量指標(biāo)體系，它與測量界的精度度量方式幾乎一致，所有不確定度均可以用方差、均方差、誤差區(qū)間、誤差橢圓、誤差橢球表示[15]。在測繪數(shù)據(jù)處理領(lǐng)域，應(yīng)用先驗信息和不確定度理論進(jìn)行抑制觀測不確定性影響的相關(guān)研究已成為熱點。文獻(xiàn)[2]、[6]和[14]直接將不確定度作為一個參數(shù)融入函數(shù)模型中，建立不確定性平差模型，依據(jù)不確定性min-max平差準(zhǔn)則，利用奇異值分解，而后迭代求解該問題。文獻(xiàn)[16]針對不確定性min-max平差準(zhǔn)則等價轉(zhuǎn)換后的形式，提出了一種可行的加權(quán)方法，增加了參數(shù)估計的可靠性。文獻(xiàn)[17]將文獻(xiàn)[6]提出的不確定性度量方法融入不確定性平差模型中，并給出了新的參數(shù)求解算法。

本文在文獻(xiàn)[17]方法的基礎(chǔ)上，將隨機誤差和有界不確定性誤差平方和最小的新平差準(zhǔn)則運用到不確定性混合平差模型求解中，提出了一種新的迭代求解算法，并證明了該算法的收斂性，簡化了文獻(xiàn)[2，14]中的算法，同時其應(yīng)用范圍更廣。

1 系數(shù)矩陣中部分有界不確定性的混合平差模型

建立如下不確定性混合平差模型

(1)

關(guān)于平差模型的誤差設(shè)立，文獻(xiàn)[18]研究的污染誤差模型僅考慮模型誤差和隨機誤差，未對模型誤差作約束。文獻(xiàn)[19]研究的總體平差模型考慮了隨機誤差和系數(shù)矩陣誤差，未對系數(shù)矩陣誤差作約束。文獻(xiàn)[2]在文獻(xiàn)[14]的基礎(chǔ)上引入了觀測變量和系數(shù)矩陣的有界不確定性誤差，但未考慮隨機誤差。文獻(xiàn)[17]在文獻(xiàn)[2]的基礎(chǔ)上考慮了隨機誤差，也做了不確定性誤差有界約束。在測量實踐中，會遇到方程式系數(shù)矩陣部分有誤差的情況，諸如曲面擬合、GPS偽距單點定位、坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型等[20]。因此，本文將系數(shù)矩陣A分割為A1和A2，提出不確定性平差模型(1)。

模型(1)中的不確定性誤差的有界性約束可看成是A2和L的先驗信息[2]。文獻(xiàn)[2]對所建立的平差模型采用的min-max準(zhǔn)則進(jìn)行參數(shù)解算，但該準(zhǔn)則無法利用觀測信息和先驗有界信息估計不確定誤差ΔL和ΔA2。另外，未知參數(shù)X的估計結(jié)果中不含不確定度β，這導(dǎo)致不確定性誤差ΔL對平差解算結(jié)果沒有影響。鑒于此，本文基于模型式(1)，在式(1)的不確定性誤差有界約束下，提出了隨機誤差和不確定性誤差平方和最小準(zhǔn)則

(2)

關(guān)于帶約束的最小二乘問題，文獻(xiàn)[21]提出了一種線性不等式約束平差模型算法，文獻(xiàn)[22—24]針對總體最小二乘模型中附加等式約束給出了Euler-Lagrange逼近解算方法。對上述參數(shù)帶有約束的最小二乘問題，本文參照前述文獻(xiàn)的方法，引入Lagrange乘子，結(jié)合Kuhn-Tucker條件求得參數(shù)最小二乘估計的一般形式。

根據(jù)Euler-Lagrange求極值方法，構(gòu)造如下目標(biāo)函數(shù)

(3)

式中，λ1為n×1維Lagrange乘子；λ2、λ3為1×1維Lagrange乘子，均非負(fù)。運用Kuhn-Tucker條件得到

(4)

其中，?表示Kronecker積。由式(4)可得

(5)

(6)

(7)

將式(6)代入式(7)得

(8)

(9)

將式(6)代入式(4)得

(10)

將式(6)代入式(4)得

(11)

(1)λ2>0，λ3>0。據(jù)式(4)可知

(12)

將式(10)和式(11)代入式(12)解方程組得到

(13)

(14)

將式(13)和式(14)代入式(10)和式(11)即得不確定性ΔL和ΔA2。

(15)

故而不確定性可分別表示為

(16)

(17)

從而不確定性可以表示為

(18)

(4)λ2=λ3=0(λ2<0視為λ2=0，λ3<0視為λ3=0)。此時，不確定性分別為

(19)

利用式(9)求解X1和X2非常復(fù)雜，考慮用迭代法求解。下面討論迭代過程的收斂性問題。

由式(9)得

(20)

(21)

(22)

其中，

(23)

利用式(4)和式(5)，式(21)可簡化為

(24)

(25)

(26)

(27)

該算法收斂。

在上述不確定性混合平差模型中，若令α→+，β=0。則根據(jù)式(4)可知λ2=0，如此對應(yīng)于Lagrange乘子分類討論的情況(2)，則由式(15)可得λ3=+，從而將之代入式(8)得到

(28)

此與文獻(xiàn)[23]中公式一致，即混合總體最小二乘模型。因此，本文的不確定性混合平差模型可認(rèn)為是更廣的混合平差模型。

2 不確定性混合平差模型解算方法

根據(jù)上述推導(dǎo)可歸納迭代計算步驟如下：

X0=(ATA)-1ATL，其中A=[A1A2]，

其中，E1、E2分別為對應(yīng)維度的單位陣。

3 不確定性混合平差模型解算與分析

在應(yīng)用包括GPS在內(nèi)的空間定位技術(shù)進(jìn)行測量時,往往還需要進(jìn)行不同基準(zhǔn)間的轉(zhuǎn)換。進(jìn)行基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換的模型很多,較為常用的有布爾沙-沃爾夫(Bursa-Wolf)模型和莫洛金斯基(Molodensky)模型[25]。本文將文獻(xiàn)[25]中的Bursa-Wolf模型改寫為不確定性混合平差模型?；诳臻g坐標(biāo)采樣數(shù)據(jù)，分析比較了該模型min-max準(zhǔn)則下的算法(ULS1)和本文提出的算法(ULS2)的解算優(yōu)劣。數(shù)據(jù)見表1。該數(shù)據(jù)共19個觀測點，57條數(shù)據(jù)。其中前16個觀測點用于建立轉(zhuǎn)換模型，并進(jìn)行參數(shù)估計，后3個觀測點用于預(yù)測和比較。

表1 原始空間坐標(biāo)數(shù)據(jù)

對文獻(xiàn)[25]中的Bursa-Wolf模型進(jìn)行適當(dāng)變形得到

(29)

則有

L=A1X1+A2X2

(30)

表2 ULS模型估計性能與不確定度的關(guān)系

表3 2種算法預(yù)測精度比較(δ=0.000 1)

表4 算法解在不同目標(biāo)函數(shù)下的取值(δ=0.000 1)

在實際情況中，由于模型誤差、人為誤差、儀器誤差以及樣本影響等，同一控制點在兩套坐標(biāo)系下的坐標(biāo)量測值均包含了誤差，這使得觀測向量L和系數(shù)矩陣A2都需要修正。本文運用混合不確定性模型來解決該數(shù)據(jù)誤差問題，最終使得新舊坐標(biāo)系下的坐標(biāo)測量值都能夠平等、勻稱地進(jìn)行改正。

4 結(jié) 論

目前的測量平差理論大多是基于“觀測值的不確定性就是隨機性”的假設(shè)進(jìn)行的研究。但在實際測量工程中，有許多不確定因素是不同于傳統(tǒng)的隨機性誤差的，它們沒有分布規(guī)律，因而無法進(jìn)行統(tǒng)計描述。所以有文獻(xiàn)將觀測中的不確定性因素進(jìn)行數(shù)值化、參數(shù)化后融入平差模型中。本文沿用以上思路，提出了基于混合不確定性模型的參數(shù)求解算法。主要有以下結(jié)論：

(1) 結(jié)合部分系數(shù)矩陣A2和觀測向量L存在一定的誤差的事實，本文將平差模型擴展到混合不確定性平差模型，該模型在某些應(yīng)用領(lǐng)域更加切合實際。

(2) 本文將不確定信息轉(zhuǎn)化為先驗信息，以參數(shù)的形式融入模型，建立有界不確定性約束下隨機誤差和不確定性誤差平方和最小的平差準(zhǔn)則，最后對該優(yōu)化問題進(jìn)行迭代求解。從參數(shù)估計的殘差角度考慮，min-max準(zhǔn)則下的算法所得殘差取值幾乎總是大于本文算法，說明本文所提算法精度更高。

(3) 本文算法利用了有界不確定性誤差的先驗信息-不確定度β，而文獻(xiàn)[2]的參數(shù)估計結(jié)果中沒有β，這樣的結(jié)果未體現(xiàn)不確定度β作為參數(shù)融入模型的意義。

(4) 在本文算例中，當(dāng)不確定性設(shè)定在一定范圍內(nèi)時，本文所提算法所得結(jié)果變化不太大。說明在坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中，轉(zhuǎn)換參數(shù)對系數(shù)矩陣的有界不確定性誤差不十分敏感，也有可能是測量不確定性過大淹沒了矩陣的有界不確定性。