基于圖論的消聲器拓撲關系分析及子結構劃分方法

張 楊， 鄧兆祥， 溫逸云

(重慶大學 機械傳動國家重點實驗室，重慶 400044)

加裝排氣消聲器是降低汽車噪聲最有效的手段，因此設計出與排氣噪聲相匹配的消聲器意義重大[1]。消聲器的設計大多根據(jù)發(fā)動機的噪聲特性設計出若干消聲子結構，再將這些子結構按照一定的順序拼接在一起，形成最終的設計方案。而由于受到底盤布置空間的約束，這些子結構通常會采用多個子結構共用一個腔室的拼接方式，這種拼接方式可能會造成多個子結構內部的相互干擾，甚至使部分子結構之間的拓撲關系發(fā)生重構，從而對消聲器的聲學性能產生較大影響。但現(xiàn)階段的國內外研究大多集中在消聲結構設計及參數(shù)靈敏度分析[2-5]和消聲器性能分析方法[6-9]，而針對消聲子結構拼接后的拓撲關系變化及其對消聲器聲學性能影響的研究尚未見報道。

本文首先利用實驗方法驗證了消聲器聲學有限元分析的準確性；然后利用有限元方法分析了子結構拼接方式對消聲器整體性能的影響，并從拓撲關系角度解釋了該影響的成因；然后，在總結子結構拓撲關系的基礎上，基于圖論的相關方法提出了一種可以判斷消聲器內部連接關系的拓撲圖，并根據(jù)不同類型子結構的圖形特征得出了消聲器子結構劃分的具體方法；最后，通過實例驗證了該方法的工程適用性。

1 消聲器聲學有限元分析與試驗驗證

本文設計了如圖1所示的消聲結構，其設計初衷由三個子結構組成：①管1、孔1、管1′及腔1組成的穿孔管子結構；②管2、孔2、管2′及腔1組成的穿孔管子結構；③管1′、管2′及腔2組成的插入管子結構。

由于截面對本文研究的拼接拓撲關系沒有影響，本文將截面固定為125 mm×250 mm的矩形，樣件的其他尺寸參數(shù)為：L1=305 mm，L2=150 mm，a1=b1=250 mm，a2=b2=150 mm，la=lb=5 mm，S1=S2=45 mm。

消聲器的傳聲損失定義為進出口處的聲功率級之差，它表征消聲器的固有特性，與聲源無關[10]，因此本文以傳聲損失作為評價消聲器聲學性能的指標。消聲器傳聲損失試驗利用B&K的聲學測試系統(tǒng)，包括PULSE3560B采集前端、2716C功率放大器、4260T阻抗管和4187型1/4英寸傳聲器等，構建的傳聲損失測量裝置如圖2所示，試驗方法及數(shù)據(jù)處理參照文獻[11]，試驗室溫為16.5 ℃。消聲器傳聲損失數(shù)值仿真采用LMS Virtual.Lab建立有限元模型，進口邊界條件為單位振速，出口設置為全吸聲，仿真溫度和測點位置均與試驗相同。

圖1 樣件示意圖Fig.1 Schematic diagram of sample

圖2 消聲器傳遞損失測試示意圖Fig.2 Sketch of muffler STL measurement

首先，對圖1中樣件的傳聲損失進行有限元仿真和試驗測試，其結果如圖3所示。圖中，實線為仿真結果，點線為試驗結果，對比兩條曲線可以看出有限元仿真與試驗結果基本一致。在驗證了有限元仿真方法的正確性的基礎上，再使用有限元法對相同子結構不同拼接方式的仿真結果進行對比。比對模型采用了圖1樣件中所包含的三個結構直接串聯(lián)(即兩個穿孔段不再共用同一腔體)的形式，其傳遞損失仿真結果如下圖虛線所示。對比兩次仿真結果不難發(fā)現(xiàn)不同拼接形式對消聲性能的影響較為明顯，也表明本文的研究具有較強的工程實用價值。

圖3 試驗仿真結果對比Fig.3 Comparison of test and simulation results

2 成因分析與理論解釋

為了分析拼接形式對消聲性能造成影響的原因，本文將樣件消聲器分成如圖4所示的兩部分，分別進行有限元仿真，并與整體消聲器的仿真結果對比。其相關尺寸為：L1=305 mm，L2=150 mm，a1=b1=110 mm，a2=b2=110 mm，la=lb=85 mm，S1=S2=45 mm。

圖4 分腔子結構Fig.4 Schematic diagram of sub-structure by chamber

從如圖5所示的仿真結果中可以看出：左邊第一腔結構的傳聲損失曲線和整個消聲器的傳聲損失曲線趨勢十分相似，只是在某些峰值位置存在一定差距；同時右邊第二腔結構的傳聲損失曲線則和整個消聲器的傳聲損失曲線差距較大，也未能提供整個消聲器的傳聲損失曲線具有而左邊第一腔結構傳聲損失曲線不具有的峰值。

圖5 分腔仿真結果Fig.5 Simulation results of sub-structures by chamber

為了分析整體消聲器傳聲損失中特有消聲峰值的成因，本文查看整體消聲器模型115 Hz處的聲壓云圖(如圖6所示)，可以明顯發(fā)現(xiàn)右邊第二腔發(fā)生了共振作用，而管1′和管2′則充當了共振腔喉管的作用。

為了驗證這一結論，本文將消聲器第二腔的長度L2增長到190 mm再對比原結構的傳聲損失進行對比。如圖7所示。

圖7 模型峰值對比Fig.7 Comparison of model peak values

可以發(fā)現(xiàn)，其共振峰值隨著共振腔體積的增大向低頻偏移。這與共振腔消聲原理[12]一致：旁支管的聲質量為

M=lρ0/S

(1)

共振腔的聲容為

(2)

系統(tǒng)一階固有頻率為

(3)

整理得

(4)

l的修正公式為

l=l+0.85d

(5)

式中:l為旁支管長度；S為旁支管總橫截面積；V為共振腔體積；ρ0為空氣密度；c0為空氣中聲速；d為旁支管橫截面直徑。當入射聲波頻率f=f0時將形成共振，從而產生消聲的作用。應用上述公式的計算的理論值與仿真計算值的誤差較小。理論仿真峰值對比值,見表1。

表1 理論仿真峰值對比Tab.1 Comparison of theoretical and simulation peak values

綜合上述分析說明：樣件消聲器中管1′、管2′以及腔2發(fā)揮了旁支共振腔作用，而剩余的部件則形成恒流式插入管子結構，這與兩個穿孔管子結構和一個插入管子結構組合的設計初衷大相徑庭。因此樣件消聲器在115 Hz等出處出現(xiàn)了子結構設計階段并未設計的消聲峰值，同時也無法發(fā)揮三個子結構直接串聯(lián)時穿孔管子結構產生的共振峰等特征。這也解釋了圖3中，三個子結構直接串聯(lián)結構與實驗結果相差較大的根本原因。深入對比兩種拼接方式的不同之處，可以發(fā)現(xiàn)造成子結構重構的原因是：子結構拼接時，所設計的兩個穿孔管子結構采用了共用腔體的拼接方式，使得管1′和管2′都同時連接腔1和腔2，成了并聯(lián)的形式。從而重構形成了由管1′、管2′和腔2組成的共振結構。

由此可見，子結構不同拼接方式對消聲器整體性能產生影響的主要原因是：某些拼接方式會造成子結構間的拓撲關系產生干擾，從而發(fā)生子結構的重構，造成所設計的子結構性能失效。如果能夠有效識別子結構間的拓撲關系及子結構的重構，則可以在子結構拼接時有效避免子結構性能失效問題；而正確劃分子結構并認知所劃分子結構所發(fā)揮的功能，也是消聲器結構改進和參數(shù)優(yōu)化的重要前提。

3 消聲器內部結構拓撲圖

經過拼接后的消聲器內部結構通常較為復雜，并不能直觀的分析出其內部部件的拓撲關系。而圖論是一種用圖形來描述某些事物之間某種特定關系的數(shù)學方法[13]，因此本文引入圖論的數(shù)學方法，將消聲結構內部復雜的連接關系轉化為明確的圖線，從而更為準確直觀的反映處消聲器內部的拓撲關系。圖論中所謂的“圖”是指事物及事物之間的關系都可以抽象成點與點之間連線組成的圖形。圖一般用G表示，這些點稱為圖G的節(jié)點(用V表示)；這些點間連線稱為圖G的邊(用E表示),一個圖是由點集V和邊集E所構成的二元組，記為G=(V,E)。如果圖G的任意兩個頂點之間至少有一條邊相連，則稱圖G是“連通圖”[14]。

要將圖論應用到消聲器子結構拓撲關系的分析中，必須首先明確如何完成子結構的幾何抽象，即確定拓撲連通圖中點集V與邊集E所代表的部件或連接方式。通過對眾多消聲器案例內部結構的總結歸納，本文將腔、管、管套等部件作為點集V，將管開口端，管孔、板孔作為邊集E，用來表征消聲器部件(點集V)之間的連接關系。特別指出的是穿孔管中由于穿孔的存在，將管的連接關系分為入口、穿孔和出口三種，為了更準確地表達這個三種連接方式之間的關系，需要將原本一根整體管從穿孔位置分為2段處理(如圖8所示)。而考慮到支路上并聯(lián)結構的存在，本文選取了圖論中的“無向連通圖”(即邊集E中的任意一條邊都沒有方向性)。同時本文在點集V中增加了整個消聲器的進出口節(jié)點，以便更為明確的區(qū)分出主通路和支路。

圖8 穿孔管拓撲圖Fig.8 Topological graph of perforated tube

基于該方法，本文中的樣件可以表達為如圖9所示的拓撲圖，此圖可以明確的反映出消聲器內部部件的拓撲關系。其中管1與管2分別為消聲器的進出口，管1與管2在連接腔1的同時，又分別通過管1′和管2′與腔2相連?？梢灾庇^的看出腔1和腔2組成了并聯(lián)的形式，而并非是子結構串聯(lián)形式，這也是圖3中兩種拼接方式的仿真結果差距較大的原因。

圖9 樣件拓撲圖Fig.9 Topological graph of sample

4 消聲器子結構劃分方法

在了解消聲器內部拓撲關系的基礎上，如何正確的劃分子結構單元并判斷子結構單元所發(fā)揮的作用，是把握消聲器實際性能的重要前提。從設計角度來看，其實質就是查看子結構拼接之后子結構所發(fā)揮的功能是否與設計初衷相一致。除阻性結構外，消聲器中的功能腔主要分為擴張式和共振式兩種形式，確定這兩種功能腔拓撲關系的特點及其在拓撲圖中的具體表現(xiàn)形式是消聲器子結構劃分的重要依據(jù)。

廣義的擴張式結構通常需要一個讓聲音擴散的腔體空間，且進出通道與腔體空間是串聯(lián)在的消聲器的主通路之中的。而共振式結構則需要一個相對封閉的旁支結構(并不串聯(lián)在消聲器的主通路之中)，才能使腔體中的流體在受到壓力作用時產生類似“彈簧”的反作用力以產生共振(其原理如圖10所示)，且與該腔體通過一個或多個喉管與主通路的某區(qū)域連接。

圖10 共振式結構等效模型Fig.10 Equivalent model of resonant structure

因此在利用消聲器內部結構拓撲圖確定各子結構的連接關系后：根據(jù)共振結構都要求有一個旁支的封閉區(qū)域(進出口相同或進出口連接相同區(qū)域)，找到旁支通路上只與主通路固定區(qū)域連接的腔體，則該腔體必然發(fā)揮共振結構的作用，且該腔體與主通路連接的部件即發(fā)揮共振結構的喉管作用；由于共振結構僅對共振頻率附近的噪聲具有消聲作用，對其它頻率的消聲量影響并不大，因此可以在識別共振結構后將其所在支路直接除去，而并不會對剩余結構的聲學性能產生較大影響。同時考慮到擴張腔的進出通道與腔體空間是與主通路串聯(lián)的，所以在除去所有的共振支路后，主通路上的各腔體可以按照從進口到出口的先后順序逐步串聯(lián)為新的子結構。

圖9中可以看出，管1′和管2′與腔2形成相對封閉的分支結構，只通過管1′和管2′直接與腔1連通，符合共振結構的判斷；而除去共振支路后的部分則連接為新的子結構，即圖4中的Left模型。而圖5中除了個別共振峰之外，Left模型和整個消聲器的傳聲損失曲線較為接近，也證明了該劃分方法的合理性。

綜上所述，基于圖論的消聲器內部結構拓撲關系分析以及消聲器子結構劃分的具體方法可以歸納為以下4個步驟：

步驟1 繪制節(jié)點部件,包括腔、管以及管套；

步驟2 繪制部件間的連接線,包括管端面，以及管孔和板孔；

步驟3 共振子結構劃分,如果某腔是拓撲圖中某一支路上唯一的腔體，且該支路只通過有限個連線與主通路上的同一部件連接，則該支路為共振子結構；

步驟4 其他子結構劃分,除去所有共振支路后，主通路上的各腔體則按照從進口到出口先后順序串聯(lián)為新的子結構。

利用該方法可以正確分析出子結構拼接后消聲器內部的拓撲關系，并準確的完成消聲器子結構的劃分。此方法可以幫助設計者有效的了解各子結構在消聲器中所發(fā)揮的功能作用以及子結構尺寸參數(shù)對消聲器整體性能的影響機制，從而提高消聲器的設計效率；同時準確把握消聲器拼接后的聲學性能，可以有效防止拓撲關系變化造成的子結構功能失效，避免設計失敗。

5 案例應用

為了驗證基于圖論的拓撲關系分析及子結構劃分方法的工程適用性，本文選取了如圖11和圖12所示的消聲器結構進行驗證。從兩個示例的拓撲圖可以看出圖11和12中的主通路與旁支結構均可有效識別。

根據(jù)子結構劃分規(guī)則，可以看出圖11中的腔2獨自出現(xiàn)在支路上且僅通過孔1與主通路相連，因此腔2被判定為共振式子結構，除去腔2所在的支路后，腔1與腔3分別于相連的管道組成擴張式子結構。這與實際消聲器由兩個插入管式子結構和一個穿孔管子結構組成的基本事實完全一致。由此可見，本文提出的子結構劃分方法可以正確識別子結構直接串聯(lián)的消聲器。

圖11 分析示例一Fig.11 Analysis example 1

圖12 分析示例二Fig.12 Analysis example 2

圖12中的腔2位于拓撲圖的支路上，并僅通過管2、管3與腔1連接，因此腔2為共振式子結構，管2與管3發(fā)揮了喉管的作用。剩下的管1、腔1和管4組成擴張式子結構，其中管1為進口，管4為出口。

為了驗證子結構劃分的正確性，本文利用有限元方法對所劃分的子結構與消聲器整體分別進行有限元仿真分析(其詳細尺寸參數(shù)如圖13所示)，其傳聲損失結果的對比圖如圖14所示?？梢钥闯?，消聲器整體仿真結果基本發(fā)揮了子結構的性能特征，也說明子結構劃分結果正確。由此可見，本文提出的子結構劃分方法可以正確識別子結構并聯(lián)的消聲器。

圖13 示例二尺寸參數(shù)Fig.13 Parameters of analysis example 2

圖14 子結構與消聲器整體仿真結果Fig.14 Simulation results of sub-structures and whole muffle

6 結 論

(1)子結構的拼接方式對消聲器整體性能有影響，甚至可能造成子結構性能失效。該影響的主要成因是拼接后消聲器內部拓撲關系發(fā)生變化形成了新的子結構。

(2)基于圖論的相關理論，提出了一種以腔、管、管套為節(jié)點，管端面、管孔、板孔為連接線的消聲器內部拓撲關系圖。該拓撲圖可以比模型剖面圖更加準確直觀的反應出消聲器內部結構之間的拓撲關系。

(3)基于擴張式與共振式消聲單元的消聲原理，分別歸納出其在消聲器結構拓撲圖中的特征，并提出了子結構劃分方法：如果某腔是拓撲圖中某一支路上唯一的腔體，且該支路只通過有限個連線與主通路上的同一部件連接，則該腔體及其有限個連接將組成共振子結構；除去所有共振支路后，主通路上的各腔體則按照從進口到出口先后順序串聯(lián)為新的子結構。該方法可以根據(jù)子結構的實際功能完成子結構的準確劃分，對指導消聲器設計和改進具有工程實用價值。