結(jié)合SCAN方法與離散小波變換的無損彩色圖像加密算法

文小爽 張芳君

(河南大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院 河南 開封 475004)

0 引 言

隨著互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的飛速發(fā)展和日漸成熟，網(wǎng)絡(luò)在線通信變的越來越受歡迎，同時(shí)也帶了一系列問題，如個(gè)人信息被非法利用，對(duì)個(gè)人、社會(huì)、國家等造成了一系列困擾和不可彌補(bǔ)的影響。由此產(chǎn)生的安全問題也得到更多的關(guān)注。因此怎么去安全地保護(hù)信息數(shù)據(jù)和數(shù)字產(chǎn)品擁有者的權(quán)益，成為了一個(gè)異常棘手的問題。

伴隨著數(shù)字化時(shí)代的到來，現(xiàn)如今許多信息內(nèi)容都以數(shù)字化的形式被存儲(chǔ)和傳輸，數(shù)字化信息包括文本、圖像、音頻、視頻等多種類型。其中，數(shù)字圖像因其敏感性、形象直觀、易辨性、信息量大等特點(diǎn)，成為網(wǎng)絡(luò)傳輸?shù)闹匾d體之一。因此，對(duì)其安全性進(jìn)行必要的保護(hù)成為現(xiàn)今人們關(guān)注的重點(diǎn)，國內(nèi)外研究學(xué)者正在提出一系列的加密算法來隱藏圖像攜帶的重要數(shù)據(jù)信息。混沌由于其初值敏感性和非周期性使其符合研究學(xué)者對(duì)圖像加密的要求。中國“十二五”、“十三五”國家密碼發(fā)展基金均將混沌密碼作為新型密碼理論列入其中。美國國家科學(xué)基金會(huì)和軍方研究部門近年來也加大了對(duì)混沌密碼系統(tǒng)研制的經(jīng)費(fèi)投入，歐洲各國政府及科技界也對(duì)混沌密碼研究投入了大量經(jīng)費(fèi)。這些充分顯示世界各國政府和國際科技界對(duì)混沌密碼研究的高度重視。

為了使上述問題得到良好的解決，研究者提出了眾多加密方案。由于數(shù)字圖像本身的獨(dú)有特點(diǎn)，使得以往的方案如DES、AES、RSA已經(jīng)達(dá)不到密碼學(xué)的要求。鑒于混沌理論自身包含系統(tǒng)參數(shù)和初值極端敏銳性、偽隨機(jī)性等優(yōu)良特質(zhì)，使其達(dá)到了數(shù)字圖像加密得要求，并受到眾多專家的關(guān)注。在過去幾十年中，關(guān)于混沌系統(tǒng)的加密算法被大量的探究[1-5]?；煦缫话阌糜诋a(chǎn)生密鑰流，作為圖像加密時(shí)的密鑰?？梢詫⒒煦缦到y(tǒng)大致分為兩種類：(1) 一維混沌系統(tǒng)[2-4]，如一維Logistic混沌系統(tǒng)、Sine混沌系統(tǒng)等；(2) 多維混沌系統(tǒng)[4-7]，像Lorenz和Rossler混沌系統(tǒng)，然而高維混沌系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜、參數(shù)多，使得計(jì)算難度增加。通過比較這兩類系統(tǒng)，不難發(fā)現(xiàn)，一維混沌系統(tǒng)較容易實(shí)現(xiàn)，得到大范圍地應(yīng)用。然而，在最近幾年，國內(nèi)外學(xué)者提出了一系列新的混沌系統(tǒng)，這些新的混沌系統(tǒng)是根據(jù)已有的簡(jiǎn)單混沌系統(tǒng)結(jié)合而成，已經(jīng)被證明其混沌分布范圍更廣泛，混沌特性更明顯。

圖像加密大致分為兩種：空域加密與頻域加密。空域加密即空間域加密，主要是改變圖像的位置和像素值，前者稱為置亂，后者稱為擴(kuò)散。置亂顧名思義就是擾亂圖像矩陣內(nèi)像素的位置坐標(biāo)，打破矩陣元素之間的相關(guān)性?；煜褪峭ㄟ^混沌系統(tǒng)生成的混沌序列對(duì)像素值加以改變，使圖像不再具有明文的特征，隱藏重要的明文信息。在分析現(xiàn)如今眾多圖像加密算法后，不難發(fā)現(xiàn)，這兩者加密方法都有所涉及[8-12]。為了打破圖像像素之間的關(guān)聯(lián)，加密算法通常在空域上直接對(duì)像素值進(jìn)行操作，但據(jù)此產(chǎn)生的加密圖像不可壓縮，同時(shí)對(duì)誤差極為敏感?；诖耍瑖鴥?nèi)外學(xué)者正在將研究方向轉(zhuǎn)移到頻域。頻域加密的主要思想是，通過利用離散余弦變換DWT(Discrete Cosine Transform)、傅里葉變換FT(Fourier Transform)、離散小波變換DWT(Discrete Wavelet Transform)等方法將圖像轉(zhuǎn)變到時(shí)頻，產(chǎn)生混沌隨機(jī)序列，通過對(duì)得到的頻域子帶，實(shí)施加密處理[12-15]。這種利用兩類加密方法同時(shí)設(shè)計(jì)加密算法，不僅可以提升算法的效率與安全性，而且降低加密的數(shù)據(jù)量，獲得無損解密圖像，這對(duì)實(shí)時(shí)性要求較高的醫(yī)療、遙感、軍事等領(lǐng)域具有較高的使用價(jià)值。

由上述分析，本文將SCAN方法與二維離散小波相結(jié)合，設(shè)計(jì)了一種新穎的無損加密方案。先將圖像劃分為若干個(gè)子塊，利用混沌系統(tǒng)產(chǎn)生混沌序列對(duì)子塊置亂和擴(kuò)散；再通過DWT將圖像轉(zhuǎn)化到頻域，并對(duì)各個(gè)子帶進(jìn)行置亂；最后利用IDWT將圖像數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化到空域，得到密文圖像。

1 相關(guān)知識(shí)

1.1 二維離散小波變換

二維離散小波變換是一種將信號(hào)進(jìn)行分解和壓縮的頻域處理技術(shù)，是現(xiàn)代數(shù)字信號(hào)處理領(lǐng)域不可缺少的。二維離散小波變換因其具有多分辨率、局部時(shí)頻特性、頻率壓縮特性，使得其在圖像編碼、圖像處理、圖像壓縮等領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用。二維離散小波變換的核心工作原理是[12]：首先對(duì)輸入的信號(hào)源LL0按行做小波分解，然后按列對(duì)獲取到的中間數(shù)據(jù)再做小波分解。對(duì)輸入的信號(hào)源LL0，一級(jí)離散小波變換后，信號(hào)源劃分成四個(gè)子帶：低頻子帶(LL1)和高頻子帶(HL1、LH1、HH1)。如：對(duì)低頻子帶LL1繼續(xù)執(zhí)行離散小波變換，可得到四個(gè)子帶LL2、HL2、LH2、HH2，對(duì)低頻子帶連續(xù)執(zhí)行n次類似的操作，就可獲得n級(jí)變換的結(jié)果，將分解的子帶進(jìn)行IDWT可以實(shí)現(xiàn)對(duì)圖像得重構(gòu)，得到原始圖像[7]。LL是水平方向的低通濾波器，HH是垂直方向的高通濾波器，HL和LH子帶是通過在一個(gè)方向上的低通濾波，并在另一個(gè)方向上高通濾波得到的。子帶系數(shù)在LL中數(shù)值是最大，被稱為近似圖像，保留著原始圖像信息，而且能夠分辨出明文的輪廓與細(xì)節(jié)特征，圖像的加密大多在近似子帶中進(jìn)行。

離散小波變換含多類小波轉(zhuǎn)換方法，包含Haar、Daubechies、Meyer小波轉(zhuǎn)換等。其中，Haar小波轉(zhuǎn)換是最簡(jiǎn)單的一種轉(zhuǎn)換，對(duì)圖像不會(huì)造成信息丟失，是一種無損的變換。

1.2 SCAN方法

SCAN代表的是基于形式語言的二維空間掃描方法，主要用于圖像壓縮、加密、數(shù)據(jù)隱藏等，以便表示和生成眾多的掃描路徑[16]。SCAN系列的形式語言包括幾個(gè)版本，如Simple SCAN、Extended SCAN、Generated SCAN等，每種都可以表示和生成一組特定的掃描路徑。每種語言都具有一組基本的掃描模式，一組變換和一組可以組成簡(jiǎn)單掃描模式的規(guī)則，為了得到較為復(fù)雜的掃描路徑，通常用幾種掃描路徑進(jìn)行組合，得到復(fù)雜的擾亂模式。SCAN方法的基本思想就是：通過將像素打亂來重排圖像像素，重排是由已定義的SCAN語言的掃描路徑實(shí)現(xiàn)的。

SCAN語言形式上用語法表示為G=(Γ,Σ,A,Π)，式中：Γ={A,S,P,U,T,V}是非結(jié)尾符號(hào)；Σ={c,d,o,s,r,a,em,y,w,b,z,x,B,Z,X,(,),space,0,1,2,3,4,5,6,7}是結(jié)尾符號(hào)；A是起始符號(hào)，它在式(1)中被定義；Π是乘積規(guī)則。圖1表示SCAN算法的基本模式[16]。

A→S|P
S→UT
P→VT(AAAA)
U→c|d|o|s|r|a|e|m|y|w|b|z|x
V→B|Z|X
T→0|1|2|3|4|5|6|7

(1)

圖1 SCAN基本模式

對(duì)于掃描，定義為：0是圖2的同等變換，2代表順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度。對(duì)于如下掃描模式(c，0，s，a，e，m，y，w，b，x)，4和6分別表示圖像順時(shí)轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)180度和270度。對(duì)r和z，4表示垂直反射，6表示順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度后再垂直反射，對(duì)d，4表示水平反射后順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，6表示垂直反射后順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180度。最后，對(duì)于圖1中的所有掃描路徑，1、3、5、7分別是0、2、4掃描路徑的反過程。舉個(gè)實(shí)例：s2是將s掃描路徑順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度得到的掃描路徑，如圖2所示；d表示對(duì)角線，7表示6的相反路徑，d6表示垂直反射后順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180度得到的掃描路徑，d7是d6掃描路徑的反過程，具體轉(zhuǎn)換過程如圖3所示。

圖2 s順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度得到s2

1.3 混沌系統(tǒng)

基于混沌系統(tǒng)本身所特有得一些優(yōu)良特質(zhì)，使得在密碼系統(tǒng)中得到普及，但是隨之也產(chǎn)生了一些問題，一些混沌系統(tǒng)無法對(duì)抗明文攻擊，而且單一的和已知混沌系統(tǒng)被頻繁使用，故意破壞者可以掌握一定的規(guī)律，破解明文截取密文圖像。為了解決這類問題，專家需要設(shè)計(jì)一些新的混沌系統(tǒng)。

Logistic和Sine混沌系統(tǒng)是已經(jīng)被廣泛使用的一維混沌系統(tǒng)，它們混沌行表現(xiàn)的較為復(fù)雜，是一種實(shí)現(xiàn)起來比較簡(jiǎn)單的動(dòng)力學(xué)方程，定義如式下[17-18]：

xi+1=uxi(1-xi)

(2)

(3)

式中：u,a∈(0,4]為系統(tǒng)參數(shù)，當(dāng)xi∈(0,1)，μ∈[3.569 945 6,4]，式(2)、式(3)停留在混沌狀態(tài)。

本文介紹兩種具有簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)的新型混沌系統(tǒng)，這兩個(gè)混沌系統(tǒng)已經(jīng)被證明其混沌范圍分布更廣[17-18]，即使控制參數(shù)超出了一定范圍，仍然具有混沌行為。因此其具有優(yōu)良的混沌和擴(kuò)散特性，可以抵抗不同類型的攻擊，特別是挑選其中一個(gè)明文的像素進(jìn)行攻擊。兩個(gè)混沌系統(tǒng)分別為一維Logistic-Sine與二維Logistic-Adjusted-Sine混沌系統(tǒng)，由一維Logistic和Sine混沌系統(tǒng)組合而成，簡(jiǎn)稱一維Logistic-Sine混沌系統(tǒng)為LSS，二維Logistic-Adjusted-Sine為2D-LASM[17-18]。兩個(gè)系統(tǒng)的定義如下：

(4)

(5)

在式(4)、式(5)中，當(dāng)r∈(0,4]，μ∈[0,1]，以上兩個(gè)系統(tǒng)表現(xiàn)為混沌特性。

2 圖像加密算法

為了簡(jiǎn)便，設(shè)彩色明文圖像I0的大小為M×N。具體的算法步驟描述如下：

步驟1將明文彩色圖像I0進(jìn)行分離，分別獲取三個(gè)大小是M×N的矩陣R、G、B。

步驟2隨機(jī)選取2D-LASM的控制參數(shù)u，及初始值x0和y0，對(duì)式(5)迭代N0次，用得到的第N0+1次的值作為第二次迭代的初始值。對(duì)式(5)迭代MN得到長度為MN的2個(gè)混沌序列L1，L2，…，Li，這里L(fēng)i(j)=xj(i),Li(j)=yj(i)(j=1,2,…,MN)。根據(jù)式(6)、式(7)改進(jìn)與優(yōu)化混沌序列，獲取長度為MN的向量ex1、ex2以及長度為16的序列Lx1、Lx2、Lx3、Lx4。對(duì)以上四個(gè)向量進(jìn)行排序，得到四個(gè)有序向量Va1、Va2、Va3、Va4。對(duì)于向量Lx1、Lx2、Lx3、Lx4中的每個(gè)數(shù)據(jù)，找到其在對(duì)應(yīng)的有序向量中的位置并記錄該位置編號(hào)，從而得到四個(gè)位置序列，四個(gè)位置序列減one得到用于SCAN置亂的四個(gè)隨機(jī)序列。

(6)

(7)

式中：mm=12，round(·)為四舍五入的取整函數(shù)。

步驟3將大小為M×N的圖像分成32個(gè)大小為8×8的子塊，每個(gè)8×8的子塊又被劃分為16個(gè)尺寸為4×4的圖像塊，每個(gè)4×4的圖像塊分別用步驟2中產(chǎn)生的隨機(jī)序列進(jìn)行SCAN置亂操作，得到置亂序列LR。

步驟4設(shè)置LSS的初始值和密鑰x、r,對(duì)變量x、r進(jìn)行邏輯處理得到混沌系統(tǒng)的初始值，迭代LSS混沌系統(tǒng)M×N+N0次，N0是一個(gè)常數(shù)，得到混沌序列s。對(duì)s進(jìn)行處理得到分布在[0,255]之間的整數(shù)序列，將上述得到的置亂序列轉(zhuǎn)化為二維矩陣Rtemp，進(jìn)行擴(kuò)散操作，利用式(8)、式(9)先對(duì)矩陣行的像素值進(jìn)行改變，得到混淆矩陣RC。此次擴(kuò)散操作分為兩部分進(jìn)行，第二輪擴(kuò)散操作是對(duì)整個(gè)RC矩陣進(jìn)行的，擴(kuò)散過程是從列方向出發(fā)進(jìn)行的，最終擴(kuò)散完成后得到矩陣RF。將式(10)得到的擴(kuò)散矩陣RF轉(zhuǎn)化為一維向量，用前面已經(jīng)介紹過SCAN算法中定義的兩種掃描路徑，對(duì)圖像序列用外螺旋掃描方法s0和對(duì)角線掃描方法d7對(duì)圖像進(jìn)行進(jìn)一步的置亂操作，得到經(jīng)過兩輪擾亂操作的二維矩陣PR、PG、PB。

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

步驟6利用二維離散小波逆變換，按照如式(14)，將各子帶重新轉(zhuǎn)換到空間域，得到最終的加密矩陣C1、C2和C3，為加密圖像的三基色圖像，從而得到密文圖像。

(14)

圖像解密算法為圖像加密過程的逆過程，對(duì)于解密算法只需將加密算法的過程反過來即可解密出原始明文圖像。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

圖4 Lena圖像的加解密圖

圖5 Peppers圖像的加解密效果

3.1 敏感性分析

NPCR和UACI是衡量加密算法優(yōu)良的一個(gè)極其重要的指標(biāo)，一個(gè)較好的加密算法應(yīng)該對(duì)密鑰以及對(duì)密鑰做的微小改變極其敏感，NPCR的理想值為100%，UACI的理論值為33.3%，其計(jì)算公式如下[19]：

(15)

(16)

式中：c1,c2是加密過程中的兩個(gè)密鑰。

(a) u改變后的解密圖像 改動(dòng)后的解密圖像圖6 密鑰敏感性分析

算法NPCRR,G,BUACIR,G,B本文算法99.590 133.447 8文獻(xiàn)[19]99.217 333.405 5文獻(xiàn)[20]99.551 133.346 1

3.2 直方圖分析

圖7與圖8分別展示了明文圖像與密文圖像在各分量上的直方圖。可以看出，密文圖像的分量分布直方圖和明文分量分布直方圖有明顯差異，密文圖像的直方圖分布較為扁平、均衡，攻擊者從密文直方圖中不能分析出明文圖像的任何特征，很難達(dá)到破解明文圖像的目的。

圖7 明文R、G、B分量的直方圖

圖8 密文R、G、B分量的直方圖

3.3 相鄰像素相關(guān)性分析

圖像與其他載體一個(gè)明顯的區(qū)別是：圖像像素之間擁有較強(qiáng)的相關(guān)性，而且每個(gè)像素是相互依賴的。如果設(shè)計(jì)者想提出一個(gè)安全性較高的加密算法，必須盡可能削弱和消除這一現(xiàn)象，以此想法設(shè)計(jì)的加密算法能夠滿足密碼系統(tǒng)的要求。相關(guān)性系數(shù)的計(jì)算公式如下[21]：

(17)

(18)

(19)

(20)

式中:x、y分別表示圖像中兩相鄰像素的灰度值，cov(x,y)為協(xié)方差，D(x)和E(x)分別表示方差和均值。

為了計(jì)算明文圖像和密文圖像的相關(guān)性系數(shù)，我們分別在不同的方向上隨機(jī)選取3 000個(gè)相鄰像素。圖9和圖10分別展示了明文圖像與密文圖像在R、G、B分量上相鄰像素點(diǎn)之間的相關(guān)性。圖中可以明顯觀察到，直線上密集分布著明文圖像像素值，對(duì)密文圖像的相鄰像素，其呈現(xiàn)雜亂分布，無規(guī)律性可尋。從表2中觀察到，明文圖像相鄰像素的相關(guān)系數(shù)值僅次于1，相關(guān)性極高，相反，密文圖像的相關(guān)系數(shù)值呈現(xiàn)負(fù)數(shù)分布，聯(lián)系較低。表3列舉了使用本加密算法和文獻(xiàn)[3，22]的算法得到的密文圖像相鄰像素相關(guān)系之間的比較。由表3得出，使用本加密算法得到的密文圖像的相關(guān)系數(shù)整體較文獻(xiàn)[3，22]的算法所得到的密文圖像的相關(guān)系數(shù)小，因此在弱化相鄰像素間的相關(guān)性過程中此加密算法具有優(yōu)良的加密效果。

圖9 原圖相關(guān)性

圖10 密文相關(guān)性

方向原始圖像密文圖像R平面G平面B平面R平面G平面B平面水平0.937 10.924 70.874 1-0.023 10.003 20.003 6垂直0.962 80.951 20.920 9-0.002 7-0.009 80.005 9對(duì)角0.938 20.934 10.888 8-0.015 20.000 1-0.004 7

表3 不同加密算法像素相關(guān)性之間的比較

3.4 信息熵分析

為了解決對(duì)信息的量化度量問題，香農(nóng)提出了信息熵這個(gè)概念，信息熵主要用來描述信源的不確定度，其表示的是圖像中灰度值的分散狀態(tài)。信息熵越大，表明圖像中像素值之間的差值越小，反之，信息熵越小。信息熵的理想值是8，若計(jì)算結(jié)果向理想值逼近，說明加密效果能達(dá)到理想得效果。信息熵的計(jì)算公式如下：

(21)

式中:x表示圖像像素值，P(xi)為xi出現(xiàn)的概率。

文中實(shí)驗(yàn)采用標(biāo)準(zhǔn)的Lena彩色圖像為測(cè)試圖，表4不僅列出了本加密算法密文圖像各分量的信息熵，而且還與其他加密算法做了對(duì)比。從表中數(shù)據(jù)觀察到，此加密算法的信息熵最接近理論值8。此分析表明密文圖像的像素值呈現(xiàn)等概率出現(xiàn)的現(xiàn)象。

表4 不同加密算法之間信息熵的對(duì)比

4 結(jié) 語

本文將SCAN方法和二維離散小波變換相結(jié)合，并利用兩種新的混沌系統(tǒng)LSS和2D-LASM系統(tǒng)用于擴(kuò)散和置亂操作，產(chǎn)生的隨機(jī)序列作為SCAN方法的掃描路徑，將掃描路徑隨機(jī)化，增加了算法的安全性和抗攻擊性；利用二維離散小波變換將圖像從空域變換到頻域，得到四個(gè)子帶，利用混沌序列對(duì)子帶進(jìn)行置亂后，進(jìn)行逆二維離散小波變換得到最終的密文圖像。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文提出加密算法計(jì)算速度快，密鑰空間大，像素相關(guān)性低，能夠有效抵抗攻擊，安全性比較高，適用于各種數(shù)字圖像加密。