二次積分的一點注記

頡永建　韓國棟

摘要：將二重積分轉(zhuǎn)化為二次積分，是計算二重積分的關(guān)鍵.本文從分析的角度出發(fā)，推導了直角坐標系下二重積分轉(zhuǎn)化為二次積分的計算公式.

關(guān)鍵詞：二重積分；二次積分；連續(xù)函數(shù)

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2018）32-0203-02

一、基本定義

二重積分計算是二元函數(shù)積分學的重要內(nèi)容之一，也是教與學的重點.回顧二重積分的定義如下.

定義1[1] D？奐R 是有界閉區(qū)域，f：D→R 是有界函數(shù).將Q任意分成n個小閉區(qū)域

Δσ ，Δσ ，…，Δσ ，

其中Δσ 既表示第i個小閉區(qū)域，也表示它的面積.在每個Δσ 上任取一點（ξ ，η ），作乘積

f（ξ ，η ）Δσ ，并作和

f（ξ ，η ）Δσ .

如果當各小閉區(qū)域的直徑中的最大值λ趨于零時，這和的極限總存在，則稱此極限為函數(shù)f在閉區(qū)域D上的二重積分，記作 f（x，y）dσ，即

f（x，y）dσ= f（ξ ，η ）Δσ ，

其中f稱為被積函數(shù)，x，y稱為積分變量，D稱為積分區(qū)域，dσ稱為面積元素， f（ξ ，η ）Δσ .稱為積分和.

在直角坐標系中，面積元素dσ可記作dxdy，從而二重積分記作 f（x，y）dxdy.

二重積分計算的關(guān)鍵，在于將其轉(zhuǎn)化為兩次定積分——二次積分來計算.為了后續(xù)的敘述與證明更加簡明，我們以下總假設(shè)被積函數(shù)f連續(xù)，而不追求定理成立最寬泛的條件.

二、主要定理及證明

在通常的高等數(shù)學教材中，二重積分轉(zhuǎn)換為二次積分的過程是通過二重積分的幾何意義——曲頂柱體的體積——來完成的.具體可參考文獻[1].以下，我們將從分析的角度出發(fā)，推導直角坐標系下二重積分轉(zhuǎn)化為二次積分的計算公式.

以下兩個定理是顯然的.

引理1 設(shè)z=f（x，y）是定義在區(qū)域D={（x，y）∈R ：a≤x≤b，c≤y≤d}上的連續(xù)函數(shù).則對任意的x ∈[a，b]，函數(shù)z=f（x ，y）在區(qū)間[c，d]上連續(xù).

引理2 設(shè)z=f（x，y）是定義在區(qū)域D={（x，y）∈R ：a≤x≤b，φ （x）≤y≤φ （x）}上的連續(xù)函數(shù).則對任意的x ∈[a，b]，函數(shù)z=f（x ，y）在區(qū)間[φ （x ），φ （x ）]上連續(xù).

我們先敘述并證明矩形區(qū)域D={（x，y）∈R ：a≤x≤b，c≤y≤d}上二重積分化二次積分的定理.

定理3 設(shè)z=f（x，y）是定義在區(qū)域D={（x，y）∈R ：a≤x≤b，c≤y≤d}上的連續(xù)函數(shù)，則二重積分

f（x，y）dxdy= f（x，y）dydx= f（x，y）dy.

證明：由z=f（x，y）在D上連續(xù)可知其在D上可積，從而二重積分的值與區(qū)域的劃分方法及（ξ ，η ）的取法無關(guān).我們用平行于坐標軸的兩族直線將區(qū)域D平均劃分成m×n個小矩形區(qū)域.顯然，每個小矩形寬Δx = ，高Δy = ，直徑就是對角線的長度，而所有直徑中的最大者λ= ，其中1≤i≤n，1≤j≤m.不難看出，λ→0當且僅當（m，n）→（∞，∞）.在第i行，第j列的小矩形中，?。é?，η ）=（x ，y ）.于是，我們有

f（x，y）dxdy= f（ξ ，η ）Δx Δy

= f（ξ ，η ）Δx Δy

= f（ξ ，η ）Δy Δx

= f（ξ ，η ） .

因為f可積，所以上式最后一行的極限總是存在的，且與m，n趨于無窮的方式無關(guān)，再根據(jù)引理1，并注意到定積分的定義，我們進一步有

f（x，y）dxdy= f（ξ ，η ）

= f（ξ ，η ）

= f（x y）dyΔx

= f（x，y）dydx.

證畢.

進一步，我們有以下更一般的結(jié)論.

定理4 設(shè)z=f（x，y）是定義在區(qū)域D={（x，y）∈R ：a≤x≤b，φ （x）≤y≤φ （x）}上的連續(xù)函數(shù)，則二重積分

f（x，y）dxdy= f（x，y）dydx= dx f（x，y）dy.

證明：由z=f（x，y）在D上連續(xù)可知其在D上可積，從而二重積分的值與區(qū)域的劃分方法及（ξ ，η ）的取法無關(guān).我們用平行于坐標軸的兩族直線x=x ，y=y 將區(qū)域D劃分成有限個閉區(qū)域.這樣，除了包含D的邊界的有限個小閉區(qū)域外，其余均為小矩形區(qū)域.小矩形區(qū)域的寬Δx =x -x ，高Δy =y -y ，在第i行，第j列的小矩形中取（ξ ，η ）=（x ，y ）.記λ =max Δx ，λ =max Δy .易見，λ→0當且僅當（λ ，λ ）→（0，0）.于是，我們有

f（x，y）dxdy= f（ξ ，η ）Δx Δy

= f（ξ ，η ）Δx Δy

= f（x ，y ）Δy Δx

= f（x ，y ）Δy Δx .

因為f可積，所以上式最后一行的極限總是存在的，且與λ ，λ 趨于零的方式無關(guān)，再根據(jù)引理1，并注意到定積分的定義，我們進一步有

f（x，y）dxdy= f（x ，y ）Δy Δx

= f（x ，y ）Δy Δx

= ∫ f（x y）dyΔx

= f（x，y）dydx.

證畢.

當積分區(qū)域D是Y-型區(qū)域乃至一般區(qū)域時，我們?nèi)匀豢捎梅指畹姆椒ㄌ幚韀1]，[2].

參考文獻：

[1]同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學（下）（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析（下）（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2010.