微分方程在經(jīng)濟(jì)管理學(xué)中的幾個(gè)應(yīng)用

易強(qiáng)　呂希元

【摘要】本文探討了微分方程在經(jīng)濟(jì)數(shù)量分析，特別在動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)模型中的應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】微分方程；彈性；動(dòng)態(tài)均衡

微分方程是微積分學(xué)中一個(gè)重要分支，是不定積分的推廣應(yīng)用，作為一種經(jīng)濟(jì)數(shù)量分析工具非常有用，在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中對(duì)彈性分析和動(dòng)態(tài)均衡模型用處很廣.

一、由價(jià)格彈性求需求函數(shù)

例1已知某商品的需求量Q對(duì)價(jià)格P的彈性η=-（5P+2P2）Q，又知該商品價(jià)格為10時(shí)，需求量為500，求需求函數(shù)Q=f（P）.

解由題意得

dQdP·PQ=-5P+2P2Q，

積分得Q=-5P-P2+C，

代入初始條件Q|P=10=500，得C=650，

故Q=650-5P-P2.

二、市場(chǎng)動(dòng)態(tài)均衡價(jià)格

設(shè)市場(chǎng)價(jià)格P=p（t），需求函數(shù)Qd=b-ap（a，b>0），供給函數(shù)QS=-d+cp（c，d>0），又設(shè)價(jià)格P隨時(shí)間t的變化率與超額需求（Qd-Qs）成正比，求價(jià)格函數(shù)P=p（t）.

由題意，有

dPdt=A·（Qd-Qs）=-A·（a+c）p+A（b+d），p|t=0=p（0），

由一階線性方程通解公式可得

P=e-∫A（a+c）dt∫A（b+d）·e∫A（a+c）dt+C1

=b+da+c+C1·e-A（a+c）·t.

由初始條件t=0，p=p（0），得

C1=p（0）-b+da+c，

代入上式得

P=p（0）-b+da+ce-A（a+c）·t+b+da+c，

顯然，當(dāng)

limt→∞p（t）=limt→∞p（0）-b+da+ce-A（a+c）·t+b+da+c=b+da+c，

即當(dāng)t→∞時(shí)，均衡價(jià)格為b+da+c.

例2若某商品的市場(chǎng)價(jià)格p=p（t）隨時(shí)間t變動(dòng)，其需求函數(shù)為Qd=3-2p，供給函數(shù)為Qs=-2+3p，又設(shè)價(jià)格p隨時(shí)間t的變化率與超額需求（Qd-Qs）成正比，求價(jià)格函數(shù)p=p（t）.（注：t=0時(shí)，p（0）=5；比例系數(shù)A=6）.

解由題意，得：

dpdt=6（Qd-Qs）=-30p+30，p|t=0=5，

解得p（t）=（5-1）e-30t+1=4e-30t+1，

易知：均衡價(jià)格為p0=limt→0p（t）=1.

三、純利潤(rùn)與廣告費(fèi)的關(guān)系

已知某廠的純利潤(rùn)L對(duì)廣告費(fèi)x的變化率dLdx與常數(shù)A和純利潤(rùn)L之差成正比，當(dāng)x=0時(shí)，L=L0，試求純利潤(rùn)L與廣告費(fèi)x之間的函數(shù)關(guān)系.

由題意得

dLdx=k（A-L），L|x=0=L0（k為常數(shù)），

得L=A-Ce-kx，

代入初始條件L|x=0=L0，得L=A（A-L0）e-kx.

例3若某工廠的純利潤(rùn)L對(duì)廣告費(fèi)x的變化率dLdx與常數(shù)5和純利潤(rùn)L之差比為2.當(dāng)x=0時(shí)，L=50，求純利潤(rùn)L與廣告費(fèi)x之間的函數(shù)關(guān)系.

解由題意得dLdx=2（5-L），L|x=0=50，

得L（x）=5+45e-2x.

【參考文獻(xiàn)】

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