行列式的計(jì)算方法與解析研究

徐建中

（亳州學(xué)院，安徽 亳州 236800）

1 前言

行列式的計(jì)算在高等代數(shù)學(xué)習(xí)中起著舉足輕重的作用，最常用的是利用行列式的性質(zhì)和展開定理，進(jìn)行計(jì)算.但是對于具體的題目需根據(jù)其具體特點(diǎn)采用不同的計(jì)算方法，本文主要采用7種方法歸納總結(jié)了行列式的算法.下面主要針對具有不同形式的行列式利用不同的方法進(jìn)行計(jì)算加以說明.

2 計(jì)算方法及解析

2.1 化三角形法

例1 計(jì)算n階行列式Dn的值，

解 這個(gè)行列式的特點(diǎn)是每一列有一個(gè)元素a,其余n-1項(xiàng)個(gè)元素為b,根據(jù)行列式其一性質(zhì)（若行列式的某一行元素乘以同一個(gè)數(shù)后加到另一行的對應(yīng)元素上去，則行列式的值不變.），把第二行加到第一行，d不變，再把其余各行也加

(-1)乘第一列后分別加到其余各列，則有：

2.2 提取公因式法

2.3 利用拉普拉斯（Laplace）定理法

例3 計(jì)算2n階行列式

解 根據(jù)拉普拉斯定理，在d2n中按第1行與第2n行展開得

右端2n-2階行列式的結(jié)構(gòu)完全與d2n一樣，于是

在與dn同型的2n-2階行列式d2n-2中，按第一行與第2n-2行展開，有

如此繼續(xù)下去，可得

2.4 利用范德蒙(Vandermonde)行列式法

例4 計(jì)臬n階行列式

解 從dn中第n-1行開始到第1行止，每行乘以（-an）加到下一行，得

按第n列展開有

提取各列因子后得

右端行列式結(jié)構(gòu)與dn完全一樣，用dn-1表示，于是

這個(gè)式子稱為遞推關(guān)系式.對dn-1同樣的方法可得

依次類推，得

從而有

這里∏是連乘符號(hào)，上式表示滿足1≤i≤k≤n所有因子(ak-ai)的連乘積.

2.5 特征根法

例5 已知I-A的特征根之模長均小于1，

證明：0＜|detA|＜2n.

證明 首先A沒有零特征根，否則存在可逆陣P，使得

所以，1為I-A的特征根矛盾.

所以，|1-λi|＜1 即 1＞|λi|-1 即 |λi|＜2,所以，|λ1λ2…λn|＜2n即0＜|detA|＜2n.

2.6 數(shù)學(xué)歸納法

例6 用數(shù)學(xué)歸納法證明：

假設(shè)n=k時(shí)，命題成立，要證n=k+1時(shí)，等式成立.

b按最后一行展開得：

注：本題可按行列式定義展開，也可按行或者列展開，還可將第i+1行(i=1,2,…,n+1)乘以(-ai)都加到第1行，再按第1行展開.同樣可證得此式.

2.7 利用行列式乘法規(guī)則

3 總結(jié)

總之，計(jì)算行列式的方法很多，本文只歸納總結(jié)了7種方法.理解和掌握以上7種方法，遇到一些具有以上形式的行列式就能計(jì)算出它們的值，此外還會(huì)有其他形式的行列式，可以通過變相轉(zhuǎn)換的方法轉(zhuǎn)化為這幾種方法來計(jì)算.