挖掘隱含條件 巧解三角問題

張藝瓊

(河北省石家莊二中實(shí)驗(yàn)學(xué)校 050000)

在解三角問題時(shí)，應(yīng)善于挖掘題目中的隱含條件，采用聯(lián)想、構(gòu)建等諸多方式，將隱蔽問題轉(zhuǎn)化為熟知而明朗的問題，從而開辟出解題通道，獲得新穎別致而富于創(chuàng)造性的巧妙解法.現(xiàn)將學(xué)習(xí)中的體會整理如下.

一、挖掘出銳角三角形中，兩角之和的范圍

例1 在銳角△ABC中，比較sinA+sinB+sinC與cosA+cosB+cosC的大小.

同理有sinB>cosC,sinC>cosA,三式相加，得

sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC.

二、轉(zhuǎn)化為三角形中，邊角的大小關(guān)系

例2 在△ABC中，設(shè)條件p:sinA>sinB,條件q:A>B,判斷p是q的什么條件.

三、構(gòu)造出直角三角形中的邊角關(guān)系

例3 已知銳角α、β滿足條件7sinα=5sinβ,7cosα+5cosβ=7,求α+2β的值.

解把7sinα、5sinβ與7cosα、5cosβ視為直角三角形中的兩個(gè)直角三角形的直角邊，如圖1.

構(gòu)造銳角△ABC，CD是高，其中AC=7,BC=5,∠A=α,∠B=β.由直角三角形中的邊角關(guān)系知

7sinα=CD=5sinβ，7sinα=AD，5sinβ=DB.

AB=AD+DB=7sinα+5sinβ=7，可知AB=AC，故∠ACB=∠B=β.由三角形內(nèi)角和知A+B+C=π,即α+β+β=π,從而α+2β=π.

四、利用|sinx|≤1,|cos|x≤1.

例4 已知α、β均為銳角，且sin(α+β)=2sinα，求證α<β.

證明由α、β是銳角，知0

五、呈現(xiàn)輔助角公式

解將原式去分母，整理成2sinx-ycosx=y+1.

根據(jù)輔助角公式可得

六、聯(lián)想正弦、余弦的平方和、平方差公式

例6 求cos271°+cos71°cos49°+cos249°的值.

解記a=cos271°+cos71°cos49°+cos249°,

構(gòu)造對偶式b=sin271°+sin71°sin49°+sin249°.

則a+b=1+cos(71°-49°)+1=2+cos22°①,

a-b=cos142°+cos(71°+49°)+cos98°

七、應(yīng)用隱含公式sec2x-tan2x=1

解f(-x)=ln(secx+tanx)，與f(x)的解析式對照，發(fā)現(xiàn)隱含公式，f(-x)+f(x)=ln(sec2x-tan2x)=ln1=0,從而f(-x)=-f(x)，所以f(x)是奇函數(shù).

八、引入相應(yīng)函數(shù)

九、采用夾逼法

分析將已知式去分母，并化為關(guān)于α+β、α-β的三角式.

證明已知式去分母，可得到sin2α+sin2β=4sinαsinβ.

右邊積化和差，可寫成

sin[(α+β)+(α-β)]+sin[(α+β)+(α-β)]=-2[cos(α+β)-cos(α-β)],

化為sin(α+β)cos(α-β)=cos(α-β)-cos(α+β),

另一方面，