明晰基本模型掌握問題本質(zhì)

葉智超

同學(xué)們，一元二次方程是解決實(shí)際問題的一種重要基本模型.而用方程解決實(shí)際問題的本質(zhì)是尋找實(shí)際問題中的相等關(guān)系.一元二次方程的相等關(guān)系一般為：a×b=c（常量）型，若a、b之間具有聯(lián)系，則a與b可用含同一個(gè)未知量的代數(shù)式（一次式）表示，再根據(jù)相等關(guān)系就可建立一元二次方程.例：矩形的周長為14cm，面積為12cm2，求該矩形長與寬.本題相等關(guān)系為：長×寬=12，長與寬之間的聯(lián)系為：長+寬則長與寬都可用含同一未知量的一次式表示.如設(shè)寬為xcm，則長為（7-x）cm，再通過相等關(guān)系：長×寬=12，兩個(gè)一次代數(shù)式相乘，就可建立一元二次方程x（7-x）=12.

一元二次方程應(yīng)用中的基本模型一般有圖形的面積（體積）模型、增長率（下降率）模型、銷售利潤模型3種.

一、圖形的面積（體積）模型

例1 如圖，我區(qū)準(zhǔn)備用一塊長為60m，寬為54m的矩形荒地建造一個(gè)綜合性休閑廣場，其中陰影部分為通道，通道的寬度均相等，中間的兩個(gè)完全一樣的矩形區(qū)域?qū)佋O(shè)塑膠作為運(yùn)動(dòng)場地.若塑膠運(yùn)動(dòng)場地總面積為2700m2，求通道的寬度.

【解析】本題可將兩個(gè)矩形區(qū)域拼成一個(gè)大矩形，則相等關(guān)系為：大矩形的長×大矩形的寬=大矩形的面積.故可根據(jù)該相等關(guān)系設(shè)未知數(shù)，建立一元二次方程.

【解答】設(shè)通道的寬度為xm.根據(jù)題意，得（60-3x）（54-2x）=2700.解這個(gè)方程，得x1=2，x2=45（不合題意，舍去）.

答：通道的寬度為2m.

【點(diǎn)評(píng)】本題是典型的圖形面積模型，除了拼接大矩形解決問題，也可用：整個(gè)圖形的面積-通道面積=塑膠運(yùn)動(dòng)場地總面積.同學(xué)們?cè)诮鉀Q此類問題時(shí)，只需找到圖形之間面積（體積）關(guān)系即可.

二、增長率（下降率）模型

例2某電視機(jī)廠今年3月的產(chǎn)量為50萬臺(tái)，5月上升到72萬臺(tái)，求該廠平均每月產(chǎn)量增長的百分率.若設(shè)該廠平均每月產(chǎn)量增長的百分率為x，則列出的方程是_______.

【解析】電視機(jī)廠今年3月的產(chǎn)量為50萬臺(tái)，則4月的產(chǎn)量增加了50x萬臺(tái)，4月的產(chǎn)量為50+50x=50（1+x）萬臺(tái)；5月產(chǎn)量增加了50（1+x）x萬臺(tái)，5月產(chǎn)量為50（1+x）+50（1+x）x=50（1+x）2萬臺(tái).再根據(jù)相等關(guān)系——5月產(chǎn)量=72，從而解決問題.

【解答】50（1+x）2=72.

【點(diǎn)評(píng)】本題是基本的增長率問題，同學(xué)們要理解a（1+x）n的意義，而不是機(jī)械模仿，只有真正理解，才能舉一反三.

模型變形一：甲、乙兩家專賣店一月份銷售額分別為10萬元和15萬元，三月份銷售額甲店比乙店多10萬元.已知甲店二、三月份銷售額的月平均增長率是乙店二、三月份月平均增長率的2倍，求甲店、乙店這兩個(gè)月的月平均增長率各是多少？

【解析】本題相等關(guān)系為：甲店三月份銷售額-乙店三月份銷售額=10.兩店三月份銷售情況可用基本增長率問題表示，進(jìn)而得到正確解答.

【解答】設(shè)乙店這兩個(gè)月的月平均增長率為x，則甲店這兩個(gè)月的月平均增長率為2x.根據(jù)題意，得10（1+2x）2-15（1+x）2=10.解這個(gè)方程，得x1=0.6，x2=-1（不合題意，舍去）.答：乙店這兩個(gè)月的月平均增長率為60%，則甲店這兩個(gè)月的月平均增長率為120%.

【點(diǎn)評(píng)】本題是雙增長率問題.兩店二、三月份銷售額都在增長，二者的增長率存在一定關(guān)系，但需要根據(jù)相等關(guān)系——甲店三月份銷售額-乙店三月份銷售額=10來解決.

模型變形二：某農(nóng)場去年種植了10畝地的南瓜，畝產(chǎn)量為2000kg，根據(jù)市場需要，今年該農(nóng)場擴(kuò)大了種植面積，并且全部種植了高產(chǎn)的新品種南瓜.已知南瓜種植面積的增長率是畝產(chǎn)量的增長率的2倍，今年南瓜的總產(chǎn)量為60000kg，求南瓜畝產(chǎn)量的增長率.

【解析】可根據(jù)基本增長率問題用未知數(shù)表示畝產(chǎn)量、種植面積，再根據(jù)相等關(guān)系——畝產(chǎn)量×種植面積=總產(chǎn)量建立方程.

【解答】設(shè)南瓜畝產(chǎn)量的增長率為x，則種植面積的增長率為2x.根據(jù)題意，得10（1+2x）·2000（1+x）=60000.解這個(gè)方程，得 x1=0.5，x2=-2（不合題意，舍去）.答：南瓜畝產(chǎn)量的增長率為50%.

【點(diǎn)評(píng)】本題是雙增長率問題.畝產(chǎn)量與種植面積都在增長，二者的增長率存在一定關(guān)系，但解決問題的本質(zhì)還是要抓住相等關(guān)系：畝產(chǎn)量×種植面積=總產(chǎn)量.

三、銷售利潤模型

例3 某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元.為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價(jià)1元，商場平均每天可多售出2件.若商場平均每天要盈利1200元，每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元？

【解析】本題是典型銷售利潤模型，相等關(guān)系一般為：單位利潤×銷售數(shù)量=總利潤.而單位利潤=售價(jià)-成本，單位利潤和銷售數(shù)量都與漲價(jià)或降價(jià)有關(guān)，從而據(jù)此設(shè)未知數(shù)建立方程.

【解答】假設(shè)每件襯衫降價(jià)x元，依題意得：（40-x）（20+2x）=1200，解得x=10或x=20.∵要盡快減少庫存，∴每件襯衫降價(jià)20元，商場平均每天可盈利1200元.

【點(diǎn)評(píng)】本類問題已知量一般較多，同學(xué)們可用下表：____________________________

______________________________________售價(jià) 成本_銷售數(shù)量__________________________________________原來__________________________________________現(xiàn)在

厘清已知量、未知量之間的關(guān)系，進(jìn)而解決問題.

例4某批發(fā)商以40元/kg的成本價(jià)購入了某產(chǎn)品700kg，據(jù)市場預(yù)測，該產(chǎn)品的銷售價(jià)y（元/kg）與保存時(shí)間x（天）的函數(shù)關(guān)系為y=50+2x，但保存這批產(chǎn)品平均每天將損耗15kg.另外，批發(fā)商每天保存該批產(chǎn)品的費(fèi)用為50元.已知該產(chǎn)品每天的銷量不超過600kg，若批發(fā)商希望通過這批產(chǎn)品賣出獲利7000元，則批發(fā)商應(yīng)在保存該產(chǎn)品多少天時(shí)一次性賣出？

【解析】可根據(jù)相等關(guān)系——銷售價(jià)×銷量-成本價(jià)×總量-保存費(fèi)用=獲利解決本題.

【解答】設(shè)批發(fā)商應(yīng)在保存該產(chǎn)品x天時(shí)一次性賣出，可獲利7000元.根據(jù)題意，得（50+2x）（700-15x）-700×40-50x=7000.解得x1=20，x2=0.當(dāng)x=0時(shí)，700-15x=700＞600（不合題意，舍去），當(dāng)x=20時(shí)，700-15x=400＜600.答：批發(fā)商應(yīng)在保存該產(chǎn)品20天時(shí)一次性賣出，可獲利7000元.

【點(diǎn)評(píng)】本題若根據(jù)相等關(guān)系——單位利潤×銷售數(shù)量-保存費(fèi)用=總利潤，極易產(chǎn)生如下錯(cuò)誤做法：設(shè)批發(fā)商應(yīng)在保存該產(chǎn)品x天時(shí)一次性賣出，可獲利7000元.由題意，得（50+2x-40）（700-15x）-50x=7000.同學(xué)們，你能發(fā)現(xiàn)它的錯(cuò)誤嗎？該做法漏減了損耗部分的成本.

四、其他模型

例5學(xué)期伊始，初一新生彼此握手，互相介紹自己，某班級(jí)同學(xué)共握手378次，那么該班級(jí)有多少名同學(xué)？

【解析】由于甲與乙握手與乙與甲握手重復(fù)一次，故每人握手的次數(shù)×總?cè)藬?shù)所得積的一半才是握手總次數(shù).所以本題的相等關(guān)系為每人握手的次數(shù)×總?cè)藬?shù)）=握手總次數(shù).而每位同學(xué)都需和除自己外的每一位同學(xué)握手，所以每人握手次數(shù)=總?cè)藬?shù)-1.

【解答】設(shè)班級(jí)有x名同學(xué)解得x=28，答：該班級(jí)有28名同學(xué).

【點(diǎn)評(píng)】本題是一道經(jīng)典問題——握手問題，同學(xué)們相應(yīng)的可以利用該模型探索互送禮物問題、比賽場次問題、已知點(diǎn)的個(gè)數(shù)確定線段的個(gè)數(shù)問題、已知兩站點(diǎn)確定車票種類等一

小試牛刀

1.將一條長為20cm的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長做成一個(gè)正方形.

（1）若兩個(gè)正方形的面積之和等于12.5cm2，求做成的兩個(gè)正方形的邊長.

（2）兩個(gè)正方形的面積之和可能等于12cm2嗎？若能，求出兩段鐵絲的長度；若不能，請(qǐng)說明理由.

2.某農(nóng)戶種植花生，原來種植的花生畝產(chǎn)量為200千克，出油率為50%（即每100千克花生可加工成花生油50千克）.現(xiàn)在種植新品種花生后，每畝收獲的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增長率是畝產(chǎn)量的增長率的求新品種花生畝產(chǎn)量的增長率.

3.一列火車往返于兩城市之間，每次運(yùn)行?？咳舾蓚€(gè)站（包括起點(diǎn)站和終點(diǎn)站），故鐵路部門共有56種不同的車票發(fā)售，求兩城市之間共有多少個(gè)站點(diǎn)（包括起點(diǎn)站和終點(diǎn)站）.

4.某工廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品按質(zhì)量分為10個(gè)檔次，第1檔次（最低檔次）的產(chǎn)品一天能生產(chǎn)95件，每件利潤6元，每提高一個(gè)檔次，每件利潤增加2元，但一天產(chǎn)量減少5件.若生產(chǎn)的產(chǎn)品一天的總利潤為1120元，求該產(chǎn)品的質(zhì)量檔次.