區(qū)分在細(xì)節(jié)，決勝于嚴(yán)謹(jǐn)——2018年全國(guó)II卷數(shù)學(xué)理科試卷分析

□ 海南省農(nóng)墾中學(xué) 何文勝

2018年6月7日我在網(wǎng)上廣泛搜索，待到晚上8點(diǎn)終于得以見(jiàn)到2018年全國(guó)II卷數(shù)學(xué)理科試卷廬山真面目，細(xì)品味、認(rèn)真分析、發(fā)現(xiàn)今年的理科試題緊扣新課程標(biāo)準(zhǔn)，順應(yīng)新課程變革，其定位明確，結(jié)構(gòu)合理。整體上重視對(duì)主干知識(shí)和基礎(chǔ)能力的考查，與近年的新課標(biāo)2卷相比，難度略有降低。突顯了對(duì)數(shù)學(xué)素養(yǎng)和綜合能力的考查，體現(xiàn)了高考試卷的選拔性。整卷力求穩(wěn)定，利于考生進(jìn)入角色，正常發(fā)揮。同時(shí)，試卷立足于培養(yǎng)學(xué)生支撐終身發(fā)展和適應(yīng)時(shí)代要求的能力需要，重點(diǎn)考查了獨(dú)立思考、邏輯推理、數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)閱讀和表達(dá)等關(guān)鍵能力和思維品質(zhì)。

一、波瀾不驚，暗濤洶涌

試題結(jié)構(gòu)保持穩(wěn)定，難易適度，各種難度的試題比例適當(dāng)。與往年試題相比，表面上看沒(méi)太大變化，實(shí)際上2017年修訂后的數(shù)學(xué)科的課程標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)于將要弱化、刪除的內(nèi)容已經(jīng)逐步退出高考試卷（表現(xiàn)在三視圖已經(jīng)刪除），加強(qiáng)主體內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)理性思維。

表面上瀏覽題目，貌似平庸，沒(méi)有區(qū)分度，但親測(cè)發(fā)現(xiàn)：區(qū)分在細(xì)節(jié)，決勝于嚴(yán)謹(jǐn)，這符合新課程理念、符合現(xiàn)代社會(huì)選拔標(biāo)準(zhǔn)，必將引領(lǐng)新課程改革的方向。要求學(xué)生具備讀懂命題者的隱性意圖，并準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化為顯性解決問(wèn)題的手段。否則，必將掉入美麗的陷阱。

全卷加強(qiáng)了對(duì)理性思維的考查，且采取分步設(shè)問(wèn)、梯次遞進(jìn)的方式，進(jìn)一步考查考生縝密思維、嚴(yán)格推理的能力。試題層層深入，不僅為考生解答提供了廣闊的想象空間，更能區(qū)分不同能力水平的考生。充分發(fā)揮數(shù)學(xué)思維學(xué)科的特點(diǎn)，試卷有利于科學(xué)選拔人才，有利于深化課程改革，有利于促進(jìn)社會(huì)公平，對(duì)提升學(xué)生核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)課程、教學(xué)改革有積極的導(dǎo)向作用。

第 10 題：若 f（x）=cosx-sinx 在［-a，a］是減函數(shù)，則a的最大值是

良好的數(shù)學(xué)閱讀能力、認(rèn)真審題是取得成功的關(guān)鍵。18題用了200多字文字?jǐn)⑹鰡?wèn)題，要求學(xué)生善于從復(fù)雜的背景材料中迅速、準(zhǔn)確提煉出有效的數(shù)學(xué)信息，準(zhǔn)確使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題。應(yīng)該注意到題中：（1ˇ）年份 2000-2016 分別對(duì)應(yīng)序號(hào) 1-17；（2）模型一=30.4+13.5t是建立在2000-2016年的數(shù)據(jù)上，其中的t對(duì)應(yīng)1-17。模型二=99+17.5t是建立ˇ在2010-2016年的數(shù)據(jù)上的，模型二=99+17.5t中的t對(duì)應(yīng)1-7,不是對(duì)應(yīng)1-17。

二、文化滲透，加強(qiáng)素養(yǎng)

2017年修訂的數(shù)學(xué)考試大綱提出了加強(qiáng)數(shù)學(xué)傳統(tǒng)文化考查的要求。全國(guó)2卷第8題以我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)研究的哥德巴赫猜想為原型，設(shè)計(jì)概率計(jì)算問(wèn)題，全國(guó)3卷第3題利用中國(guó)古建筑的榫卯將木構(gòu)件考察立體幾何的三視圖貼近考生生活，通過(guò)題目的求解和考查，使考生感受中華傳統(tǒng)優(yōu)秀文化的民族性與世界性，深刻地認(rèn)識(shí)到中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的博大精深和源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，不僅能激發(fā)考生對(duì)中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的喜愛(ài),更能激勵(lì)他們創(chuàng)造出更加輝煌的成就?？芍^潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲，悄然地賦予了數(shù)學(xué)試卷濃厚的文化氣息,體現(xiàn)了“立德樹(shù)人”的教育理念。

三、強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)應(yīng)用，考察數(shù)學(xué)思維

2018年數(shù)學(xué)2卷把高考內(nèi)容與國(guó)家經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展、生產(chǎn)生活實(shí)際需要緊密結(jié)合，通過(guò)設(shè)置問(wèn)題情境，考查學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，引導(dǎo)學(xué)生從“解題”走向“解決問(wèn)題”，落實(shí)“立德樹(shù)人”目標(biāo)，養(yǎng)成“用數(shù)學(xué)思維思考世界，用數(shù)學(xué)眼光觀察世界”等解決問(wèn)題的學(xué)科素養(yǎng)。第18題以環(huán)境投資決策問(wèn)題為背景，通過(guò)既往的投資情況線性回歸模擬將來(lái)投資，體現(xiàn)了概率統(tǒng)計(jì)與社會(huì)生活的密切聯(lián)系，反映了國(guó)家對(duì)社會(huì)可持續(xù)發(fā)展的重視?？碱}情景豐富，貼近考生，貼近生活，具有濃厚的時(shí)代氣息，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與社會(huì)的密切聯(lián)系，對(duì)考生的閱讀理解能力、推理論證能力，理性思維進(jìn)行了全方面的考查，體現(xiàn)了高考改革中加強(qiáng)應(yīng)用性、實(shí)踐性的特點(diǎn)。

四、通性通法，凸顯創(chuàng)新

以數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本能力、基本思想方法為考查重點(diǎn)，注重對(duì)數(shù)學(xué)通性通法的考查，一貫是高考的主導(dǎo)思想。第17題考查數(shù)列的基本量法，第18題考查了統(tǒng)計(jì)、線性回歸與數(shù)據(jù)分析的思想，在目前的大數(shù)據(jù)背景下，對(duì)于數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)和分析將顯得尤為重要，無(wú)獨(dú)有偶，今年全國(guó)2卷的語(yǔ)文作文題就取材于數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)中的一個(gè)經(jīng)典案例。第4題考查函數(shù)奇偶性與極限思想，第15題考查了函數(shù)與方程的思想，第14題考查了數(shù)形結(jié)合的思想等，絕大多數(shù)試題的解答方法、思維方式并不唯一，而是多種多樣。通過(guò)一道試題就可考查多種能力、多種思想方法，對(duì)考生的創(chuàng)新能力提出了要求。有效地檢測(cè)考生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法的掌握程度。一題多解，雖然給考生提供了較大的發(fā)揮空間，同時(shí)也甄別出了考生能力的差異，以達(dá)到精確區(qū)分考生的目的，充分體現(xiàn)了高考的選拔性。

五、文理相似，逐步融合

今年是新課改提出文理不分科教學(xué)的第一年，文理融合將是必然，在高考考核上逐步相似也是廣大一線教師的共識(shí)。今年文理完全相同的題目達(dá)到近90分，為新一輪高考數(shù)學(xué)不分文理科的改革進(jìn)行了積極的探索，努力達(dá)成“文科起點(diǎn)、理科終點(diǎn)、有效區(qū)分”命題策略。

作為全國(guó)具有選拔功能的高考，命題當(dāng)有嚴(yán)密的科學(xué)性，在絕大部分學(xué)生看似簡(jiǎn)單的同時(shí)，已經(jīng)有許多粗心的學(xué)生不知不覺(jué)掉進(jìn)了陷阱：對(duì)于素?cái)?shù)概念含糊的學(xué)生，容易把第8題中的1和2繞進(jìn)去導(dǎo)致痛失5分，尤其是具有區(qū)分度的第21題，沒(méi)有考慮也容易導(dǎo)致答案不完整而區(qū)別于優(yōu)秀的學(xué)生。

（2018 年 2 卷）21．已知函數(shù) f（x）=ex-ax2。

（1）若 a=1，證明：當(dāng) x≥0 時(shí)，f（x）≥1；

（2）若 f（x）在（0，+∞）只有一個(gè)零點(diǎn)，求 a。

（1）證明：∵a=1，∴f（x）=ex-x2，記 g（x）=-1=ex-x2-1 則 g'（x）=ex-2x

設(shè)曲線y=ex過(guò)原點(diǎn)（0，0）的切線相切于點(diǎn)，則

∴ 曲線 y=ex過(guò)原點(diǎn)（0，0）的切線方程為：y=ex，由e＞2

∴ g'（x）=ex-2x＞0 在（0，+∞）上恒成立，即 g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增。

∴ g（x）≥g（0）=0，即 ex-2x-1≥0，亦即 f（x）≥1。

解：若 f（x）在（0，+∞）只有一個(gè)零點(diǎn)，即 ex-ax2=0只有一個(gè)根，

當(dāng) x∈（0，2），φ'（x）＜0，φ（x）在 x∈（0，2）上單調(diào)遞減；

當(dāng) x∈（2，+∞），φ'（x）＞0，φ（x）在 x∈（2，+∞）上單調(diào)遞增；

2018年數(shù)學(xué)試卷體現(xiàn)了考試內(nèi)容的基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性，考查時(shí)從學(xué)科整體意義和思想價(jià)值的高度立意，淡化特殊技巧，強(qiáng)調(diào)通性通法，有效引導(dǎo)避免“題海戰(zhàn)術(shù)”，以“立德樹(shù)人、服務(wù)高校人才選拔、導(dǎo)向中學(xué)教學(xué)”為命題出發(fā)點(diǎn)，尊重考綱，體現(xiàn)了對(duì)“核心素養(yǎng)”的考查，不僅滲透了優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化的育人價(jià)值，而且突出了對(duì)創(chuàng)新應(yīng)用能力的考查。