一道質(zhì)量抽查題引發(fā)的思考

陳勝

數(shù)學(xué)來源于生活，但不等于生活問題就是數(shù)學(xué)問題，也不等于數(shù)學(xué)問題都是生活問題。

一、原題

小雪在教室的座位用數(shù)對表示為（3，4），小米坐在小雪的前面，小米的位置用數(shù)對表示為（ ），小亮坐在小米的左邊，小亮的位置用數(shù)對表示為（ ）。

二、研讀教材

深入研究教材，教材是通過靜態(tài)的形式呈現(xiàn)信息，而學(xué)生需要經(jīng)歷知識的發(fā)生、發(fā)展的動(dòng)態(tài)過程才能更好地形成數(shù)學(xué)素養(yǎng)，因此教師必須深入研讀教材，優(yōu)化課堂設(shè)計(jì)，使學(xué)生真正觸摸數(shù)學(xué)的思想與本質(zhì)。為了更好地滲透和體會數(shù)形結(jié)合的思想，感受數(shù)學(xué)建模的過程，通過對“小雪位置”的追蹤，讓學(xué)生體會數(shù)形結(jié)合與坐標(biāo)思想，感悟數(shù)對與物體位置的一一對應(yīng)關(guān)系。

接下來第二個(gè)問題，小亮坐在小米的左邊，小亮的位置用數(shù)對表示為（ ）。是（2，3）還是（4，3）？（圖3）這個(gè)問題引發(fā)了“生活經(jīng)驗(yàn)”與“數(shù)學(xué)規(guī)定”的不一致，從而產(chǎn)生矛盾。

在反復(fù)研讀教材的過程中，充分認(rèn)識到用數(shù)對確定位置并不是單純生活意義上的確定位置，而是認(rèn)識坐標(biāo)的雛形。在教學(xué)中，我們引導(dǎo)學(xué)生用坐標(biāo)的方法描述位置，讓學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)對寫法的過程，理解數(shù)對所蘊(yùn)含的意義。

三、題目引發(fā)思考

1.用“數(shù)對確定位置”的根本是數(shù)與點(diǎn)的一一對應(yīng)

學(xué)習(xí)“用數(shù)對確定位置”不能僅僅讓學(xué)生會用數(shù)對表示某個(gè)具體位置。更重要的是體會這種“表示”的價(jià)值：一個(gè)數(shù)對唯一地對應(yīng)平面上的一個(gè)點(diǎn)，感知平面直角坐標(biāo)系的表示方法以及思想。無論是一維空間、二維空間還是三維空間，數(shù)與點(diǎn)之間的一一對應(yīng)性是用數(shù)對確定位置的本質(zhì)。

2.明確坐標(biāo)系的三要素

雖然小學(xué)階段所學(xué)的“用數(shù)對確定位置”是中學(xué)坐標(biāo)系的雛形，但也必須具備坐標(biāo)系的三個(gè)關(guān)鍵要素：原點(diǎn)、方向、單位。（圖4）

在唯一確定的坐標(biāo)系中，一個(gè)有序數(shù)對與平面上的一個(gè)點(diǎn)就建立了一一對應(yīng)的關(guān)系。坐標(biāo)系可以是一維空間的數(shù)軸，也可以是二維空間的直角坐標(biāo)系或三維空間直角坐標(biāo)系，其數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)完全一樣，只不過維數(shù)不同而已。比如教室的座位圖與坐標(biāo)系是一致的，小雪的位置在平面圖中是第3列第4行，這樣就建立起空間中的一個(gè)點(diǎn)與一個(gè)有序數(shù)對一一對應(yīng)。

3.統(tǒng)一“規(guī)則”與“數(shù)學(xué)規(guī)定”

根據(jù)題目的描述，小雪的位置是固定的（3，4），之所以有不同的表示方法是因?yàn)闆]有統(tǒng)一表示方法的“規(guī)則”，所以必須有“數(shù)學(xué)規(guī)定”，否則不同的人有不同的方法，表示方法不統(tǒng)一，就不能相互交流和溝通。讓學(xué)生體會到“數(shù)學(xué)規(guī)定”雖然是人為規(guī)定，但有它的必要性和合理性。如果知識背后沒有方法，知識只能是一種沉重的負(fù)擔(dān)；如果方法背后沒有思想，方法只不過是一種工具。保證數(shù)與點(diǎn)能夠建立一一對應(yīng)關(guān)系的前提是建立唯一的坐標(biāo)系，即參照點(diǎn)（坐標(biāo)原點(diǎn)）唯一確定、方向確定（規(guī)定“從左向右、從下向上”）、單位唯一確定。

4.“數(shù)學(xué)規(guī)定”與“生活經(jīng)驗(yàn)”的矛盾

“數(shù)學(xué)規(guī)定”與日?！吧罱?jīng)驗(yàn)”不一致時(shí)出現(xiàn)的相互沖突。

在現(xiàn)實(shí)空間中用一對數(shù)確定位置，沒必要一定遵從“從左向右、從下向上”原則，而是遵循“方便性”原則。只要“在場的人”都明白這個(gè)規(guī)定，一旦“規(guī)定”確定下來，“數(shù)”與“位置”就建立了一一對應(yīng)關(guān)系。在場的人就便于交流和研討。相反，如果還是遵循“從左向右、從下向上”這一規(guī)定，就會帶來很多麻煩：因?yàn)樵诂F(xiàn)實(shí)空間中，左右、上下都是相對的，參照點(diǎn)不同，左右、上下確定的對象是不同的，在交流討論時(shí)就一定要事先強(qiáng)調(diào)好以誰為參照點(diǎn)來確定“左右”。而在平面圖上用數(shù)對確定位置都遵從相同約定“從左向右、從下向上”開始數(shù)（規(guī)定了數(shù)字排列的順序），是從觀察者的角度做了這個(gè)規(guī)定，即不再具有相對性和歧義，從而保證一個(gè)數(shù)對與一個(gè)點(diǎn)之間一一對應(yīng)關(guān)系的建立。所以說，“數(shù)學(xué)規(guī)定”雖然是人為的，但也是很有必要的。

“用數(shù)對確定位置”正是基于對數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的思考與補(bǔ)充，讓小學(xué)生初步感知坐標(biāo)幾何的思想與價(jià)值，是教材中安排這一內(nèi)容的意圖所在。在教學(xué)過程中，有兩大主線貫穿始終，一是圖例的抽象和演變，二是確定位置的方法。兩大主線的層層遞進(jìn)與發(fā)展，充分展現(xiàn)了數(shù)對的數(shù)學(xué)知識和思想的產(chǎn)生與發(fā)展過程。在座位圖上用數(shù)對確定位置，不僅關(guān)注了數(shù)對方法的運(yùn)用，還關(guān)注了在圖上用數(shù)對確定位置的背景，更重要的是引導(dǎo)學(xué)生思考圖上用數(shù)對確定位置的核心所在“原點(diǎn)”，從而引導(dǎo)學(xué)生逼近坐標(biāo)的最核心知識，真正在學(xué)生心中建立起坐標(biāo)的雛形，感受到坐標(biāo)思想的存在。

編輯 杜元元