求導(dǎo)數(shù)的幾個(gè)基本法則及導(dǎo)數(shù)在優(yōu)化問題中的應(yīng)用

黃明威　史衛(wèi)娟

摘 要 導(dǎo)數(shù)知識(shí)促進(jìn)了生產(chǎn)技術(shù)的進(jìn)步與自然科學(xué)的不斷發(fā)展。在我們的日常生活中時(shí)常面臨著要如何抉擇才能使“位置最好”“花費(fèi)的時(shí)間最少”“使用原材料料最省” “獲取利潤(rùn)最大”等優(yōu)化問題。一般可以把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再利用導(dǎo)數(shù)相關(guān)知識(shí)來解決。

關(guān)鍵詞 導(dǎo)數(shù) 運(yùn)算法則 生活實(shí)際問題

0前言

導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)知識(shí)在高中和大學(xué)課程中是一個(gè)非常重要的內(nèi)容，它的運(yùn)用方面貫穿了整個(gè)線性代數(shù)的學(xué)習(xí)課程，同時(shí)呢，它還能幫助我們更好的學(xué)習(xí)線性代數(shù)，幫助我們認(rèn)真掌握導(dǎo)數(shù)的一些基本運(yùn)算法則，在我們的實(shí)際生活中的優(yōu)化問題經(jīng)過類比轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)題目進(jìn)行求解。

1理論意義與研究方法

大學(xué)期間我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一些關(guān)于導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)的基本運(yùn)算法則，還可以通過結(jié)合微積分來幫助我們來求解導(dǎo)數(shù)，這讓我們求導(dǎo)的方式變得多樣化，導(dǎo)數(shù)也是中學(xué)微積分學(xué)習(xí)中的一個(gè)非常重要基礎(chǔ)的概念。

本文主要的研究方法有：

（1）文獻(xiàn)研究法：按照鉆研目標(biāo)，透過查詢拜訪文獻(xiàn)來取得學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)的相干資料，從而全面地、正確地領(lǐng)會(huì)把握所要鉆研題目；

（2）歸納總結(jié)法：所謂歸納便是匯合起來，所謂總結(jié)便是得出的結(jié)論，歸納總結(jié)的意思是把某個(gè)事物匯合起來得出的結(jié)論，要在多種導(dǎo)數(shù)求解方法進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上進(jìn)行歸納總結(jié)，分析其優(yōu)缺點(diǎn)，總結(jié)出結(jié)論；

（3）舉例分析法：對(duì)給出了的方法進(jìn)行舉例說明，從而判斷出能否更加徹底的掌握該方法。

2導(dǎo)數(shù)的求值及實(shí)際問題

學(xué)好了函數(shù)的單調(diào)性可以辦理許多關(guān)于函數(shù)相聯(lián)系的優(yōu)化題目。將實(shí)際問題通過函數(shù)的單調(diào)性來解決，很有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。利用函數(shù)的單調(diào)性求最值、解方程?？梢岳煤瘮?shù)單調(diào)性幫助我們解決比較難的方程。

2.1導(dǎo)數(shù)的極值和最大最小值

導(dǎo)數(shù)的極值是在某一段定義域里面的極大極小值，而導(dǎo)數(shù)的極值最大值最小值是在整個(gè)定義域里面的最大最小值。

2.2導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)公式

一般基本函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)公式

（為常數(shù)函數(shù)）

；

3.

2.3運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際生活問題

一個(gè)喝了酒的司機(jī)開車被警察攔截，說駕駛的速度超過了100千米/小時(shí)，而司機(jī)卻反駁說，我才開了不到半個(gè)小時(shí)，怎么會(huì)超速呢？而這是為什么呢？

當(dāng)無(wú)限趨近于時(shí)，汽車行駛的快慢變化就不會(huì)很大，平均速度就近似等于時(shí)刻的瞬時(shí)速度，因而就把此時(shí)的極限作為汽車在時(shí)刻的瞬時(shí)速度，即

（1）

這就是通常所說的速度。這實(shí)際上是由平均速度類比到瞬時(shí)速度的進(jìn)程（如咱們駕駛時(shí)的限“速” 指瞬時(shí)速度）。所以只要某一個(gè)瞬間的速度超過了規(guī)定的速度，那么就可以認(rèn)定這個(gè)車主是超速行駛。

3導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題

（1）某健身廣場(chǎng)籌辦在半徑為R的圓形花園的中間建造一高桿燈，已知每個(gè)點(diǎn)亮度與光形成的傾角的正弦成正比，與光源間隔的平方成反比，求高桿燈與地面相隔多長(zhǎng)的情況下，繞在街心花園周旁的街道亮度最大？

由已知得：且：，

故：。

求對(duì)的導(dǎo)數(shù)，并令等于0得：。

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

故：當(dāng)時(shí)，y取最大值。

（2）某施工小組打算要做一個(gè)沒有蓋子的圓柱形水池，水池的容積為，池壁的厚度為常數(shù)，當(dāng)水池內(nèi)壁半徑為多少時(shí)，才能使所用的材料最?。?/p>

解：設(shè)內(nèi)壁半徑為，所以內(nèi)面積為，高就為，內(nèi)壁表面積就為，所以壁厚為，底壁厚。

因?yàn)橐共牧献钍?，所以可以把最底邊的一圈挖去，所以得?/p>

∴所以當(dāng)水池內(nèi)壁半徑為2時(shí)，材料最省。

（3）一個(gè)房地產(chǎn)開發(fā)商在賺了幾個(gè)億之后，老板決定投資2160萬(wàn)去購(gòu)置一塊地皮，想要在這塊地皮上建造 一棟至少有10層，并且每層有2000平方米的大廈，已知將大廈建立為X層的時(shí)候，每一平方米建筑費(fèi)用是590+48X元，現(xiàn)在老板想為了使樓房每平米的平均綜合費(fèi)用最少，要建多少層的大廈？

解：首先假設(shè)大廈每平方米的平均綜合費(fèi)用是元，

則

令得出，

所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。

因此當(dāng)時(shí)，取最小值，。

所以為了使得大廈每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，這個(gè)大廈應(yīng)當(dāng)建為15層。

4結(jié)論

導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用可以解決與幾何學(xué)有關(guān)的面積或體積的最值問題、與物理學(xué)有關(guān)的速度問題或者加速度問題這對(duì)于研究行程問題是十分關(guān)鍵，不僅是書本上的知識(shí)要用到導(dǎo)數(shù)，就連與經(jīng)濟(jì)有關(guān)的最值問題，購(gòu)買哪種組合票會(huì)優(yōu)惠最大，生活營(yíng)養(yǎng)搭配結(jié)構(gòu)都與導(dǎo)數(shù)息息相關(guān)。導(dǎo)數(shù)是一個(gè)有力的工具在以后解決有關(guān)導(dǎo)數(shù)解決生活實(shí)際問題時(shí)要學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用.要首先考慮到導(dǎo)數(shù)的定義區(qū)間是否有效。同時(shí)也要積累多種不同的導(dǎo)數(shù)求解方法，讓導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用更廣泛，更完善。

參考文獻(xiàn)

[1] 劉旌揚(yáng).談導(dǎo)數(shù)的幾種應(yīng)用與思路[J].中國(guó)校外教育，2017（32）：122-123.