等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和考點(diǎn)解析

呂曉蝶

摘 要 數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，有關(guān)數(shù)列的知識(shí)又分為等差數(shù)列和等比數(shù)列。本文重點(diǎn)介紹了有關(guān)等差數(shù)列在高考中的3個(gè)核心考點(diǎn)，并且給出了典型例題進(jìn)行解析。

關(guān)鍵詞 等差數(shù)列 前n項(xiàng)和 考點(diǎn)

1考點(diǎn)一：有關(guān)等差數(shù)列運(yùn)算的求解方法

考點(diǎn)解析：（1）等差數(shù)列的通項(xiàng)由首項(xiàng)和公差構(gòu)成，所以有關(guān)等差數(shù)列的運(yùn)算都要圍繞首項(xiàng)和公差進(jìn)行。（2）對(duì)于等差數(shù)列的問(wèn)題，一般題目都會(huì)給出兩個(gè)條件，利用這兩個(gè)條件就能求解出首項(xiàng)和公差。（3）在解題過(guò)程中，特別注意的是設(shè)元技巧，例如三個(gè)數(shù)如果成等差數(shù)列，則可設(shè)置為，若四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則可設(shè)置為。

例1：設(shè)是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，若成等比數(shù)列，則為多少？

解析：此題涉及到等差數(shù)列和等比數(shù)列的相關(guān)知識(shí)，首先用首項(xiàng)和公差將表示出來(lái)，再利用條件成等比數(shù)列，列出等式即可求解出等差數(shù)列的公差。

解：等差數(shù)列中，

又成等比數(shù)列，則有

即

因?yàn)椋瑤肷鲜剑?/p>

解得或，又因?yàn)?/p>

故。

2考點(diǎn)二：等差數(shù)列的判定與證明

考點(diǎn)解析：（1）要證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，有兩種基本方法：其一，利用等差數(shù)列的定義證明，即證明；其而利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)證明，即證明。（2）要判定一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，可以直接用通項(xiàng)法或者前n項(xiàng)和直接判定。

例2：已知數(shù)列滿足

（1）設(shè)，求證；數(shù)列為等差數(shù)列，并求出通項(xiàng)。

（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，是否存在正整數(shù)，使得對(duì)于恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，說(shuō)明理由。

解析：（1）證明數(shù)列為等差數(shù)列，需要運(yùn)用等差數(shù)列的定義來(lái)證明；再根據(jù)已知條件求解通項(xiàng)。（2）是否存在正整數(shù)，使得不等式恒成立，則需要先求解出，再根據(jù)不等式性質(zhì)討論是否存在。

解：（1）證明：因?yàn)?/p>

所以，數(shù)列是以公差為2的等差數(shù)列

又所以

所以，解得

（2）由（1）可得

所以，因此數(shù)列的前項(xiàng)和為

要使得對(duì)于恒成立，只要

即，

解得或

3考點(diǎn)三：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題

考點(diǎn)解析：求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值方法，其一，二次函數(shù)法，將看作關(guān)于n的二次函數(shù)，運(yùn)用配方法，借助函數(shù)的單調(diào)性及數(shù)形結(jié)合使問(wèn)題得解；其二，通項(xiàng)公式法，求使成立的最大值即可得的最大值；其三，不等式法，利用不等式性質(zhì)求最值問(wèn)題。

例3：在等差數(shù)列中，已知，前項(xiàng)和為且，當(dāng)取何值時(shí)，取得最大值？并求出它的最大值。

解析：首先根據(jù)已知條件和確定公差，再利用通項(xiàng)公式法確定成立的最小值，最后求解出最大的。

解：因?yàn)楹?/p>

所以，，

所以，

所以，

因此，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

所以，當(dāng)或時(shí)，取得最大值，且得最大值。

4小結(jié)

本文介紹了高考中有關(guān)等差數(shù)列的考點(diǎn)，主要有等差數(shù)列運(yùn)算的求解方法；等差數(shù)列的判定與證明；以及等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題。并且通過(guò)典型例題對(duì)相應(yīng)考點(diǎn)進(jìn)行了解析。

參考文獻(xiàn)

[1] 崔錦. 高中數(shù)列教學(xué)及解題研究[D].昆明：云南師范大學(xué)，2017.

[2] 劉巍.等差數(shù)列前n項(xiàng)和教學(xué)設(shè)計(jì)[J].昭通師范高等專(zhuān)科學(xué)校學(xué)報(bào)，2011，33（S1）：63-65.