一類區(qū)間二型模糊PI控制器設(shè)計算法

施建中，李榮，楊勇

Zadeh[1]提出二型模糊集合后的很長時間內(nèi)，由于二型模糊集合的運算復(fù)雜性，其理論上的研究較少。直到Mendel等將二型模糊集合簡化為區(qū)間二型模糊集合，區(qū)間二型模糊集合理論及應(yīng)用得到了廣泛關(guān)注。Mendel[2]將二型模糊結(jié)合的次隸屬度定義為1，利用KM[3]、EKM等[4]降階算法得到區(qū)間二型模糊集合的左、右端點，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行區(qū)間二型模糊邏輯系統(tǒng)的研究[5-7]。

基于區(qū)間二型模糊集合的區(qū)間二型模糊控制器在很多方面得到了成功應(yīng)用，由于其利用不確定域來描述模糊集合，在處理不確定性方面要優(yōu)于傳統(tǒng)的模糊控制器[8-9]。目前大部分的區(qū)間二型模糊控制器都是基于KM等基于迭代運算的降階算法，KM算法的基本流程是一個不斷迭代搜索過程，不斷替換上一步的切換點直到最終的切換點滿足特定的條件。在區(qū)間二型模糊控制器的實現(xiàn)過程中，每一步控制器的計算都要經(jīng)過這種迭代過程，這不利于實時、在線控制。

由于KM降階算法的缺陷，一些效率更高的降階算法也被提出，比如EKM、IASC[10]、EIASC[11]、ODSC[12]等，但這些算法本質(zhì)上和KM類似，只是它們的效率更高，在實時控制中依然需要進(jìn)行搜索過程。文獻(xiàn)[13]總結(jié)了一些替代KM的降階算法，這些算法不需要進(jìn)行迭代過程，根據(jù)區(qū)間二型模糊集合首隸屬度的上、下限計算得到降階結(jié)果。

Wu等[14]基于KM降階算法，在平衡點附近分析了區(qū)間二型模糊PI控制器的一般表達(dá)式，說明了在選擇特定的模糊隸屬度函數(shù)的情況下，該控制器在平衡點附件的區(qū)域內(nèi)，其控制器參數(shù)與普通PI控制器參數(shù)成一定的比例關(guān)系。Nie等[15]基于KM降階算法，利用模糊劃分方法，分析了具有對稱結(jié)構(gòu)的區(qū)間二型模糊PI和PD控制器，分析了該控制器的一般表達(dá)式，說明了區(qū)間二型模糊控制器的參數(shù)為誤差或者誤差變化量的函數(shù)，并與傳統(tǒng)的模糊PI控制器進(jìn)行了比較。文獻(xiàn)[16]研究了一類區(qū)間二型模糊Mamdani控制器，分析了其一般性結(jié)構(gòu)，證明了該控制器在采用KM降階算法的情況下，等價于變增益的PI(PD)控制器。與文獻(xiàn)[16]類似，文獻(xiàn)[17]基于KM算法分析了首隸屬度函數(shù)為非線性情況下區(qū)間二型模糊PI/PD控制器的一般形式，證明了該區(qū)間二型模糊控制器等效為具有變增益的非線性比例積分(PI)或比例微分控制器。與文獻(xiàn)[14-17]采用的Zadeh的與推理不同，文獻(xiàn)[18]采用乘積推理，基于KM算法，說明了在乘積推理下的區(qū)間二型模糊控制器等效于兩個PI(或PD)控制器之和。

本文利用一種區(qū)間二型動態(tài)解模糊化算法，該算法在模糊控制器的輸出部分考慮偏差和偏差的變化量[19]?？刂破鞑捎弥苯咏惦A算法，其實時性與傳統(tǒng)模糊控制器類似而優(yōu)于基于KM等迭代式降階算法的區(qū)間二型模糊控制器。通過一個二階遲延對象、一個非線性對象的仿真實驗表明，本文算法控制器的輸出較為平穩(wěn)，系統(tǒng)的超調(diào)較小，系統(tǒng)到達(dá)穩(wěn)態(tài)的時間較短。

1 KM降階算法

由KM算法，區(qū)間二型模糊集合的降階結(jié)果為實數(shù)區(qū)間[cl，cr]。兩個端點的計算公式如式(1)、(2)。

式(1)和(2)是將論域為離散情況下的KM降階算法，當(dāng)論域為連續(xù)的時候，假設(shè)論域的區(qū)間為[a,b]，連續(xù)KM算法表示如式(3)、(4)。

無論離散還是連續(xù)的KM算法，都需要進(jìn)行迭代過程，如果將KM降階算法用于區(qū)間二型模糊控制器的設(shè)計，其每一步的控制器輸出都要進(jìn)行迭代運算，實時性將會有一定的影響。

2 區(qū)間二型模糊控制系統(tǒng)

區(qū)間二型模糊控制器以偏差以及偏差的變化量為輸入，在模糊推理結(jié)束以后，增加降階過程，得到控制器的實際增量，結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 區(qū)間二型模糊控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig. 1 Interval type-2 fuzzy control system structure

區(qū)間二型模糊控制器的不確定域通過將一型控制器隸屬度進(jìn)一步模糊化得到，偏差以及偏差的變化量的偏移分別為d1、d2，偏差和偏差的變化量分別定義2個模糊變量的三角型隸屬度，如圖2所示。

當(dāng)然，偏差或者偏差的變化量也可以定義多個模糊變量，這樣模糊規(guī)則數(shù)也會相應(yīng)增加，糊控制器的設(shè)計難度也會隨之增加。

文獻(xiàn)[20]證明了當(dāng)模糊控制器的輸入為偏差e和偏差的變化量Δe時，傳統(tǒng)一型模糊控制器等價于PID控制器，只要隸屬度函數(shù)滿足特定的條件。具體的滿足條件和證明過程可參考文獻(xiàn)[20]。

一般的區(qū)間二型模糊控制器對偏差和偏差的變化量各定義2個模糊變量，如圖2，區(qū)間二型模糊控制器共有4條模糊規(guī)則，定義如下[21]：

圖2 三角型區(qū)間二型模糊控制器的首隸屬度函數(shù)Fig. 2 Triangle interval type-2 fuzzy controller primary membership function

3 本文算法

文獻(xiàn)[14]提出的區(qū)間二型模糊PI控制器基于KM降階，其控制器的輸出為降階區(qū)間的平均值。文獻(xiàn)[19]提出的針對區(qū)間二型模糊控制器的動態(tài)解模糊化算法，其模糊控制器的后件部分是區(qū)間二型模糊集合，依然采用的是KM降階，并不適合于在線實時控制。本文利用的直接降階算法在計算降階區(qū)間左右端點的時候，利用上、下隸屬度函數(shù)進(jìn)行計算，后件部分采用實數(shù)，簡化了控制器的運算過程，具體描述如下。

降階算法中的左、右端點如式(5)、(6)所示，這里的M=4。

二型模糊控制的輸出增量Δu表示為

式(8)中cl表示降階區(qū)間的左端點，cr表示右端點，在實際控制過程中，由于cl不一定小于cr，因此，本文算法實際的控制器輸出如式(9)：

本文算法的控制系統(tǒng)框圖如圖3所示。

圖3 本文算法的控制系統(tǒng)框圖Fig. 3 Control system diagram of the proposed method

文獻(xiàn)[13]也給出了其他的一些替代KM的降階算法，比如NT算法[22]等，本文也對其作了比較。

4 仿真實例

4.1 仿真實例1

選取二階遲延對象，其傳遞函數(shù)為

PI控制器參數(shù) KP=0.044 9，KI=0.001 4，采樣周期為0.1 s。

系統(tǒng)參數(shù)：K=1，T=1，τ=10 s，d1=d2=0.5。

圖4中的T1(PI)表示一型模糊控制器(或者PI控制器)的響應(yīng)曲線，IT2NT表示使用NT降階算法的區(qū)間二型模糊控制器的響應(yīng)曲線，IT2OC表示使用文獻(xiàn)[15]降階算法的區(qū)間二型模糊控制器的響應(yīng)曲線，本文算法是區(qū)間二型模糊控制器響應(yīng)曲線，以下各例表示相同的含義。

圖4 二階遲延系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線Fig. 4 Second-order delay system step-response curve

表1顯示了針對仿真實例1的線性二階遲延系統(tǒng)在單位階躍輸入下本文算法和其他幾種算法的控制性能比較。其中ts(s)表示穩(wěn)定時間(單位為秒)，本文以達(dá)到系統(tǒng)偏差絕對值小于穩(wěn)態(tài)值的2%計算。tr(s)為上升時間(單位為s)，本文以達(dá)到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)值計算。

表1 二階遲延系統(tǒng)階躍輸入下幾種算法的控制性能比較Table 1 Second-order delay system control performance comparison on step input

ISE、ITSE、ITAE為誤差積分準(zhǔn)則，在單位階躍擾動下，系統(tǒng)的設(shè)定值與輸出之間偏差的某個函數(shù)的積分?jǐn)?shù)值，分別表示為

圖5和圖6分別表示使用PI控制器和本文的區(qū)間二型模糊PI控制器的輸出增量隨著偏差和偏差變化量變化的三維曲線圖。

由圖5和圖6可以看出，本文算法的控制器的輸出為非線性形式，其輸出量要比PI等控制器的輸出量小，這樣本文算法的超調(diào)量相對較小且達(dá)到穩(wěn)態(tài)的時間也相對較短。其他幾種比較算法的控制器輸出量類似。

圖7顯示了幾種算法控制器的輸出曲線，也進(jìn)一步說明了上述觀點。

圖5 PI控制器輸出增量隨著偏差和偏差變化量變化的三維曲線圖Fig. 5 PI controller output increment with respect to error and error variation

圖6 本文算法控制器輸出增量隨著偏差和偏差變化量變化的三維曲線圖Fig. 6 The proposed method controller output increment with respect to error and error variation

圖7 二階遲延系統(tǒng)階躍響應(yīng)控制量曲線Fig. 7 Second-order delay system control variable curveunder step response

4.2 仿真實例2

選取非線性對象：

PI控制器參數(shù)：KP=56.25，KI=669.375，采樣周期0.01 s。

參數(shù)：d1=d2=0.2。

圖8顯示了幾種控制算法對選取的非線性對象階躍響應(yīng)的控制效果，具體的曲線定義與仿真實例1中圖4中曲線相同。

表2顯示了針對仿真實例2的非線性對象在單位階躍輸入下本文算法和其他幾種算法的控制性能比較。其中 ts(s)、tr(s)、ISE、ITSE、IATE 的意義同仿真實例1表1的說明。

圖8 非線性系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線Fig. 8 Nonlinear system step-response curve

表2 非線性系統(tǒng)階躍輸入下幾種算法的控制性能比較Table 2 Nonlinear system control performance comparison on step input

圖9和圖10分別表示了使用PI控制器和本文的區(qū)間二型模糊PI控制器的輸出增量隨著偏差和偏差變化量變化的三維曲線圖。

圖9 PI控制器輸出增量隨著偏差和偏差變化量變化的三維曲線圖Fig. 9 PI controller output increment with respect to error and error variation

圖10 本文算法控制器輸出增量隨著偏差和偏差變化量變化的三維曲線圖Fig. 10 The proposed method controller output increment with respect to error and error variation

圖11顯示了幾種算法控制器的輸出曲線。

圖11 非線性系統(tǒng)階躍響應(yīng)控制量曲線Fig. 11 Nonlinear system control variable curve under step response

5 結(jié)束語

本文提出了一種改進(jìn)的動態(tài)解模糊化區(qū)間二型模糊PI控制器設(shè)計算法。該算法基于區(qū)間二型模糊集合，采用直接降階算法，避免了KM等常用迭代式降階算法，其實時性與傳統(tǒng)模糊控制器相同，提高了區(qū)間二型模糊控制器的實用性。本文算法在計算控制器輸出的時候，沒有利用降階區(qū)間的平均值作為控制器的輸出，而是采用一種動態(tài)解模糊化方法，充分利用了偏差和偏差變化量對模糊控制器輸出的影響，使得控制器的輸出更為平滑。通過線性二階遲延對象以及一個非線性對象的仿真實驗表明，本文算法能夠降低系統(tǒng)的超調(diào)量，系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)的時間也相對較短。

本文算法的控制器輸出在設(shè)定值附近輸出更為平滑，抖動量較小。如果想要提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度(減小上升時間)，可以通過減小參數(shù)d1或者d2來實現(xiàn)，但這樣會帶來超調(diào)和穩(wěn)定時間的提高。在實際控制過程中，可綜合考慮上升時間、穩(wěn)定時間、超調(diào)這幾種因素，選擇合適的d1或者d2值。

本文只考慮了首隸屬度函數(shù)為三角型，模糊隸屬函數(shù)還有高斯、鐘形等其他形式，下一步將針對其他類型的隸屬度函數(shù)，進(jìn)行區(qū)間二型模糊PI控制器的研究。