微積分思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

摘 要：隨著新課程標(biāo)準(zhǔn)的逐步實(shí)踐，在高考中運(yùn)用到高等數(shù)學(xué)的知識(shí)及其思想方法比例越來(lái)越重。在中學(xué)數(shù)學(xué)中，尤其是高等數(shù)學(xué)的微積分思想發(fā)揮了重要的作用。

關(guān)鍵詞：微積分；中學(xué)數(shù)學(xué)；導(dǎo)數(shù)

一、 微積分思想的應(yīng)用

高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)是初等數(shù)學(xué)，它們之間的聯(lián)系密切相關(guān)。微積分作為一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具，其地位是毫無(wú)疑問(wèn)的，把微積分的思想滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題中，能使復(fù)雜的問(wèn)題大大簡(jiǎn)化。由于導(dǎo)數(shù)優(yōu)良的性質(zhì)、廣泛的用途使它在微積分中扮演了重要的角色，尤其是在求函數(shù)極值和單調(diào)區(qū)間、切線方程、不等式的證明等方面，不僅可以簡(jiǎn)化解法，而且能對(duì)問(wèn)題進(jìn)行更為深入、全面的研究。

（一） 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

【例1】 （2006年江西卷）已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c在x=-23與x=1時(shí)都取得極值。

（1）求a、b的值與函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若對(duì)x∈[-1，2]，不等式f（x）

解：（1）由f（x）=x3+ax2+bx+c得f′（x）=3x2+2ax+b，

f′（1）=3+2a+b=0，

f′-23=43-43a+b=0得：a=-12，b=-2，則f′（x）=3x2-x-2=（3x+2）（x-1），

所以函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間是-∞，-23，（1，+∞）遞減區(qū)間是-23，1

由上述例題可知，在尋求類似f（x）=ax3+bx2+cx+d的函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)來(lái)解決比用單調(diào)性的定義法更加簡(jiǎn)單易懂。

（二） 求函數(shù)的極值、最值及切線方程

【例2】 已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2-3x在x=±1處取得極值。

（1）討論f（1）和f（-1）是函數(shù)f（x）的極大值還是極小值；

（2）過(guò)點(diǎn)A（0，16）作曲線y=f（x）的切線，求此切線方程。

解：（1）f′（x）=3ax2+2bx-3，由題意得：f′（1）=f′（-1）=0，即3a+2b-3=03a-2b-3=0

解得a=1，b=0所以f（x）=x3-3x，f′（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1）。

令f′（x）=0，得x=-1，x=1。若x∈（-∞，-1）∪（1，+∞），則f′（x）>0，故f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）上是增函數(shù)。若x∈（-1，1），則f′（x）<0，故f（x）在（-1，1）上是減函數(shù)。所以f（-1）=2是極大值；f（1）=-2是極小值。

（2）曲線方程為y=x3-3x，點(diǎn)A（0，16）不在曲線上。

設(shè)切點(diǎn)為M（x0，y0），則點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足y0=x30-3x0由于f′（x0）=3（x20-1），所以切線的方程是y-y0=3（x20-1）（x-x0）。又點(diǎn)A（0，16）在切線上，有16-（x30-3x0）=3（x20-1）（0-x0），得x30=-8，所以x0=-2，

因此，切點(diǎn)為M（-2，-2），切線方程為9x-y+16=0。

（三） 導(dǎo)數(shù)在不等式的證明中的應(yīng)用

在中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，不等式的證明往往讓學(xué)生感到非常的頭疼，通常技巧性非常的強(qiáng)，并沒(méi)有一個(gè)固定的方法去求解。在初等數(shù)學(xué)中，我們通常采用的方法是恒等變形、利用二次型、數(shù)學(xué)歸納法、使用重要不等式等。

【例3】 證明不等式：ex>1+x和ex>1+x+x22（x>0）。

證明：設(shè)f（x）=ex-1-x，則f′（x）=ex-1>0（x>0）。所以f（x）遞增，又f（0）=0，故f（x）=ex-1-x>0，即ex>1+x。

設(shè)g（x）=ex-1-x-x22，則g′（x）=ex-1-x。由上面已證得的結(jié)果：ex>1+x知g′（x）>0（x>0），故g（x）遞增，且因g（0）=0，即g（x）>0，即ex>1+x+x22。

二、 結(jié)束語(yǔ)

微積分在解決中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用不僅僅局限于此，在其他如化簡(jiǎn)代數(shù)式、因式分解、求值與求和等方面也有廣泛的運(yùn)用。因此，微積分思想方法不僅在指導(dǎo)高中學(xué)數(shù)學(xué)里有著重要的作用，而且在許多中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題上能化難為易、化繁為簡(jiǎn)。

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作者簡(jiǎn)介：

羅欽，四川省南充市，西華師范大學(xué)。