平行板和圓柱形電容器電容表達(dá)式推導(dǎo)及應(yīng)用

陳樂坤

1.研究背景

電容器是一種容納電荷的器件，它可以由兩個彼此絕緣且相隔很近的導(dǎo)體構(gòu)成，是電子設(shè)備中大量使用的電子元件之一[1]。隨著電子信息技術(shù)的日新月異，數(shù)碼電子產(chǎn)品的更新?lián)Q代速度越來越快，帶動了電容器產(chǎn)業(yè)增長。當(dāng)前，電容器最前沿的研究對象為超級電容器[2]。本文基于高斯定律，利用微積分知識，重點針對圓柱形電容器的電容公式推導(dǎo)及應(yīng)用展開了研究，為電容器的發(fā)展起到了積極的推動作用。

2.電通量及計算

電通量（符號：ΦE）是電場的通量，與穿過一個曲面的電場線的數(shù)目成正比，是表征電場分布情況的物理量。電通量它是標(biāo)量。

2.1 勻強電場中平面的電通量

勻強電場下平面的電通量計算是復(fù)雜電場下曲面電通量計算的基礎(chǔ)，因此我們首先來討論勻強電場下平面電通量的計算?？紤]如下物理模型：一個大小為S的長方形放置在一個電場強度大小為E的電場中，且長方形與電場強度（電力線）相垂直。根據(jù)電通量定義可得：

當(dāng)電場強度的方向與平面的法向量方向呈夾角θ時，將電場強度進(jìn)行正交分解，分解成與平面垂直的矢量分量和與平面平行的矢量分量。由電通量定義可知，與平面平行的電場強度矢量分量在S平面上的電通量為0，則有：

2.2 非勻強電場中曲面的電通量

對于非勻強電場下曲面電通量的計算，采用的是微積分的思想，將計算區(qū)域劃分成無限多個微元面，首先計算每個微元面的電通量，然后進(jìn)行疊加得到整個區(qū)域的電通量，其具體過程為：首先將曲面S劃分為若干個微小的面元dS，在每個面元區(qū)間內(nèi)，電場可近似為勻強電場，即電場強度E的大小和方向基本不變，且微元面可近似為一個多邊形（小平面）。此時，對于每個微面元，它的電通量計算就等效為勻強電場下平面電通量的計算，可根據(jù)公式(2)計算得到公式(3)，其中θ為微元面的法向量與穿過它的電場線的夾角。

由于整個曲面S的電通量就近似等于所有微面元電通量之和，用公式表示為：

當(dāng)對曲面劃分的微元面無限小的時候，公式(4)即為該曲面電通量的準(zhǔn)確表達(dá)式，用微積分形式表達(dá)可得：

公式(5)即為求解任意曲面電通量的一般表達(dá)式。

3.高斯定理

高斯定理表述為：在靜電場中，穿過任一封閉曲面的電場強度通量只與封閉曲面內(nèi)的電荷的代數(shù)和有關(guān)，且等于封閉曲面的電荷的代數(shù)和除以真空中的電容率。下面以點電荷激發(fā)的電場為例，對高斯定理進(jìn)行證明。

圖1 高斯定理證明過程

如圖1所示，在空間中存在任意形狀的閉合曲面S，閉合曲面內(nèi)包含了一個點電荷Q，此時以點電荷Q為球心做一個半徑為r的閉合球面S2，且球面完全包含曲面S。根據(jù)電力線的連續(xù)性定理，穿過曲面S的電力線數(shù)目與穿過球面S2的電力線數(shù)目相等。由電通量的定義可知：電通量與穿過一個曲面的電場線的數(shù)目成正比，因此，曲面S的電通量與球面S2的電通量相等。則求解包含點電荷的任意曲面s的電通量就轉(zhuǎn)換為求解以該點電荷為球心的球面的電通量。

根據(jù)公式(5)可知，穿過閉合球面的電通量為：

已知電場強度計算公式(7)如下所示：

由此可知，電場強度的大小由電荷量和距點電荷的距離決定，由于閉合球面上的點到點電荷（球心）的距離處處相等，因此球面上的電場強度大小處處相等，將公式(6)和(7)聯(lián)立可得：

結(jié)合球表面積計算公式，最終可得：

由此可知，任意一個包含點電荷的閉合曲面，它的電通量就等于該點電荷所帶電量除以真空電導(dǎo)率。

當(dāng)點電荷在任意閉合曲面（高斯面）之外時，證明的原理仍然基于電力線的連續(xù)性定理。其基本過程為：以點電荷為球心，以高斯面所覆蓋的立體角φ為區(qū)域，繪制規(guī)則的閉合面，它由兩個規(guī)則的球面（立體角均為φ）圍成，且兩球面之間的距離dr無限接近于零，則穿過這兩個規(guī)則球面相同位置的電通量大小相等方向相反，疊加之后為零，因此點電荷在高斯面之外時，穿過該高斯面的電通量為零。

根據(jù)以上推導(dǎo)過程即可得到高斯定理，推而廣之，在任意介質(zhì)中，一個高斯面的電通量就等于它所包含的所有點電荷帶電量的代數(shù)和除以該高斯面所在介質(zhì)的介電常量，如公式(10)所示。

4.電容器電容表達(dá)式推導(dǎo)

電容器表達(dá)式的推導(dǎo)可以遵從以下幾個步驟：（1）依據(jù)電場強度分布特點構(gòu)建高斯面[3]-[4]，計算高斯面的電通量；（2）利用高斯定理得到電容器電場強度與極板電荷量之間的關(guān)系；（3）計算電場強度；（4）計算兩極板之間的電勢差U；（5）通過電容C定義式計算電容量。下面對平行板電容器和圓柱形電容器電容分別進(jìn)行推導(dǎo)，物理模型如圖2所示。

圖2 平行板和圓柱形電容器高斯面

4.1 平行板電容器表達(dá)式推導(dǎo)

平行板電容器如圖2(a)所示，由于電平行板電容器極板間電場強度為勻強電場，電力線只存在與兩極板之間，由正極板出發(fā)垂直到達(dá)負(fù)極板（忽略極板的邊緣效應(yīng)），因此將高斯面構(gòu)建成一個閉合的長方體，如圖2(a)所示，該長方體包裹著其中一個極板，且長方體的側(cè)面與極板平行。當(dāng)長方體的某一表面與電力線平行時，穿過該表面的電通量為零，則根據(jù)電通量定義及公式(5)可得：

其中E為極板間的勻強電場大小，S為兩極板的正對面積。結(jié)合高斯定理及公式(10)可得：

其中ε為極板間的材料介電常量。由于平行板電容器板間電壓與電場強度服從公式(13)，結(jié)合公式(12)和(13)，及電容C定義式最終可得公式(14)：

其中εr為材料的相對介電常數(shù)，k為靜電力常量，d為兩極板間距。

4.2 圓柱形電容器表達(dá)式推導(dǎo)

圓柱形電容器電容表達(dá)式的推導(dǎo)與平行板電容器的表達(dá)式推導(dǎo)方法一致，其中最關(guān)鍵的是高斯面的建立。分析圓柱形電容器電場分布特點可知：它的電場呈軸對稱型分布，電力線由正極板指向負(fù)極板，方向沿圓柱筒的徑向，而軸向上沒有電力線，因此建立圓柱形電容器的高斯面如圖2(b)所示，此時高斯面上下底面與電力線平行，它們的電通量為零，只有側(cè)面的電通量不為零。若記圓柱筒軸向上單位長度極板所帶電量為λ，則根據(jù)公式(5)和(10)可得：

根據(jù)電勢差的物理含義：AB兩點之間的電勢差等于電場中在電場力的作用下單位電荷由A點移動到B點電場力所做的功，可得：

其中r為高斯面的半徑，RB和RA為圓柱形電容器外半徑和內(nèi)半徑。再由電容定義式，最終得到圓柱形電容器的電容表達(dá)式為：

其中L為圓柱形電容器長度。

5.電容特性及應(yīng)用

通過分析平行板電容器與圓柱形電容器的電容表達(dá)式，可得到如下結(jié)論：

（1）電容值的大小與極板間填充材料介電常數(shù)成正比；

（2）電容值的大小隨著兩極板間距的增加而減??；

（3）電容值的大小隨著兩極板正對面積的增加而增加；

（4）電容值的大小與存儲的電量、外加電場均不相關(guān)；

（5）電容是電容器的固有屬性由此，可以利用電容器測量某些物理量，其核心思想為：將該物理量與電容的三個關(guān)鍵參量（板間距、極板正對面積和板間材料介電常量）中的某個或多個關(guān)聯(lián)起來，通過測量電容量（電容的改變量）來獲取某物理量的大小，例如：利用圓柱形電容器測量汽車油箱剩余油量，通過測量電容的改變量推導(dǎo)出容器液面高度，進(jìn)而確定剩余的油量[5]。

6.總結(jié)

電容器是電子設(shè)備中大量使用的電子元件之一。本文針對平行板和圓柱形電容器的電容計算及應(yīng)用展開了深入研究。首先研究了電通量的物理含義及計算方法，然后對高斯定理進(jìn)行了理論證明和物理含義解析，在此基礎(chǔ)上結(jié)合微積分知識對電容器的電容表達(dá)式進(jìn)行了推導(dǎo)，并探討了電容量作為電容器固有屬性所表現(xiàn)出來的特性?；谝陨涎芯浚罱K給出了利用電容器測量油箱剩余油量等物理量的方法，為電容器的發(fā)展起到了積極的推動作用。