一種二元函數(shù)極值存在的充分條件的簡(jiǎn)單證明方法

鄭連偉

【摘 要】在數(shù)學(xué)分析和高等數(shù)學(xué)的教材中都用泰勒公式證明二元函數(shù)存在極值的充分條件，很復(fù)雜。本文不使用泰勒公式，給出該條件一個(gè)簡(jiǎn)單、易懂的證明方法。

【關(guān)鍵詞】二元函數(shù)；偏導(dǎo)數(shù)；極值

中圖分類號(hào)：O172.1 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 2095-2457（2018）14-0183-001

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2018.14.083

A simple proof of sufficient condition for the existence of extreme value of functions of two variables

ZHENG Lian-wei

（School of Sciences， Northeastern University， Shenyang 110819， China）

【Abstract】In mathematics analysis and higher mathematics textbooks， the sufficient condition for the existence of extreme value of functions of two variables is proved by means of Taylors formula. The proof is very complicated. In this paper， a simple and easy-to-understand proof of the sufficient condition is presented without using Taylors formula.

【Key words】Functions of two variables； Partial derivative； Extreme value

0 引言

高等數(shù)學(xué)是大學(xué)理工科專業(yè)必修的一門基礎(chǔ)課程，其主要研究對(duì)象是函數(shù)。極值是函數(shù)的一個(gè)重要特性，導(dǎo)數(shù)是研究極值的基本方法。一元函數(shù)存在極值的必要條件是導(dǎo)數(shù)為零；二元函數(shù)存在極值的必要條件是偏導(dǎo)數(shù)為零。對(duì)于一元函數(shù)有利用一階導(dǎo)數(shù)或二階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)號(hào)判斷極值的充分條件，這個(gè)條件很容易理解和證明；對(duì)于二元函數(shù)有利用二階偏導(dǎo)數(shù)判斷極值的充分條件，它不能直觀理解，而且難以證明。在著名的數(shù)學(xué)分析和高等數(shù)學(xué)教材[1-3]中利用多元函數(shù)泰勒公式證明二元函數(shù)存在極值的充分條件，很復(fù)雜，給教師的講授和學(xué)生的理解帶來(lái)了不便。尤其是高等數(shù)學(xué)課程，多元函數(shù)的泰勒公式不在教學(xué)要求內(nèi)，因此根本無(wú)法講授這樣的證明，學(xué)生不能理解這個(gè)條件，只能死記硬背公式，這樣不利于增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。本文不使用泰勒公式，通過把二元函數(shù)轉(zhuǎn)換成一元函數(shù)，給出其存在極值的充分條件的一個(gè)簡(jiǎn)單、直接、易于理解的證明方法，它完全適用于一般的多元函數(shù)，在高等數(shù)學(xué)的課堂上也能講授，給學(xué)生提供一個(gè)完整的知識(shí)體系。

1 二元函數(shù)極值充分條件的簡(jiǎn)單證明

定理1設(shè)函數(shù)f（x，y）在點(diǎn)（x0，y0）的某鄰域內(nèi)有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，fx（x0，y0）=0，fy（x0，y0）=0，令fxx（x0，y0）=A，fxy（x0，y0）=B，fyy（x0，y0）=C，則f（x，y）在（x0，y0）處是否取得極值的條件如下：

（1）當(dāng)AC-B2>0時(shí)具有極值，且當(dāng)A<0時(shí)有極大值，當(dāng)A>0時(shí)有極小值；

（2）當(dāng)AC-B2<0時(shí)沒有極值。

證明令F（x，y）=f（x0+x，y0+y），則f（x，y）在（x0，y0）處的極值問題可以轉(zhuǎn)換成F（x，y）在（0，0）處的極值問題，因此以下只對(duì)（x0，y0）=（0，0）的情況證明。

（1）設(shè)A<0，易知C<0。由AC-B2>0及二階偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性可知，存在（0，0）的一個(gè)鄰域U，使得在U內(nèi)，fxx（x，y）<0，fxx（x，y）fyy（x，y）-（fxy（x，y））2>0。對(duì)任意（x，y）∈U，（x，y）≠（0，0），存在ε>0，使得當(dāng)-1z（1），即f（0，0）>f（x，y）。由于（x，y）是U內(nèi)任意不為（0，0）的點(diǎn)，所以f（0，0）是極大值。同理可證當(dāng)A>0時(shí)，f（0，0）是極小值。

2 結(jié)語(yǔ)

本文對(duì)二元函數(shù)極值充分條件的證明首先利用二階偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性確定了一個(gè)駐點(diǎn)的鄰域，然后證明了駐點(diǎn)的函數(shù)值是二元函數(shù)在鄰域的每個(gè)直徑上的最大值或最小值，從而是極值。本文的證明方法與文獻(xiàn)[1-3]著名教材的方法不同，避開使用泰勒公式，是一個(gè)很初等的證明方法。

【參考文獻(xiàn)】

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[3]廖可人，李正元.數(shù)學(xué)分析3[M].北京：高等教育出版社，2015.