量子Fisher信息在量子光學(xué)中的應(yīng)用

吳佳儀　黃子涵　胡凱璇

【摘 要】本文以干涉儀為例，討論了量子Fisher信息在量子光學(xué)中的應(yīng)用。文中介紹了量子干涉儀中的分束器和相移器由幺正算符表示為量子操作，以及作為待估計(jì)參數(shù)的干涉儀的參考臂與待測(cè)臂間的相對(duì)相位，其對(duì)應(yīng)的量子Fisher信息的表達(dá)式。文中還介紹了引入與初態(tài)無(wú)關(guān)，并包含所有參數(shù)化的信息的厄米算符，以便更加直觀、清晰的觀察到初態(tài)對(duì)量子Fisher信息的影響。同時(shí)，本文給出了初態(tài)為純態(tài)時(shí)，由H計(jì)算出的量子Fisher信息有利于尋找最優(yōu)初態(tài)，并達(dá)到分析待估計(jì)參數(shù)的最大精度。

【關(guān)鍵詞】量子Fisher信息；Mach-Zehnder干涉儀

中圖分類(lèi)號(hào)： O431.2 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 2095-2457（2018）14-0148-001

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2018.14.067

眾所周知，很多科學(xué)理論需要通過(guò)一些物理量的高精度值來(lái)判斷，而對(duì)高精度測(cè)量的研究不僅能夠推動(dòng)基本理論的發(fā)展，也是技術(shù)進(jìn)步的需求和必然產(chǎn)物，因此度量學(xué)在科學(xué)技術(shù)發(fā)展中擁有重要地位。在度量學(xué)中，量子Fisher信息作為在量子系統(tǒng)中參數(shù)估計(jì)的最高理論精度，而受到了廣泛關(guān)注。尤其是在光學(xué)系統(tǒng)中，尋找有效的參數(shù)估計(jì)理論對(duì)于量子度量學(xué)的發(fā)展意義重大。

散粒噪聲極限一直以來(lái)都是經(jīng)典度量學(xué)很難解決的問(wèn)題，經(jīng)典電路、光學(xué)、通訊等理論中也都有類(lèi)似的困擾。該極限是由量子力學(xué)所給出的，因此人們期待通過(guò)量子力學(xué)的相關(guān)性質(zhì)來(lái)超越散粒噪聲極限。而對(duì)光學(xué)干涉儀的早期研究中，沒(méi)有很好的解決這一問(wèn)題。

在經(jīng)典光學(xué)中，經(jīng)典Mach-Zehnder干涉儀由光源、兩個(gè)分束器、一個(gè)相移器、若干鏡片和探測(cè)器組成。這個(gè)設(shè)備構(gòu)成兩條嚴(yán)格分隔的光路，即當(dāng)一束從光源射出的光線經(jīng)過(guò)第一個(gè)分束器時(shí)，分解成兩條光路，其中一條光路上設(shè)畳有一個(gè)相移器。在經(jīng)過(guò)第二個(gè)分束器后，兩束光重新聚合。通過(guò)觀測(cè)光線的干涉條紋或是讀取輸出端曰的光子數(shù)目，就可以對(duì)相位差進(jìn)行測(cè)量了。當(dāng)分束器無(wú)粒子數(shù)損耗時(shí)，反射光和出射光的場(chǎng)強(qiáng)復(fù)振幅模方和為1。但在很長(zhǎng)一段時(shí)期中，無(wú)論使用什么樣的光源，在此類(lèi)型干涉儀中進(jìn)行的測(cè)量都無(wú)法突破散粒噪聲極限。因此有人認(rèn)為，量子力學(xué)并不能給待測(cè)參數(shù)精度帶來(lái)實(shí)質(zhì)性的提高。直到八十年代，時(shí)任加州理工大學(xué)研巧員的C. M. Caves教授指出，標(biāo)準(zhǔn)光學(xué)干涉儀無(wú)法突破散粒噪聲極限的原因，并不是由光源中的漲落造成的，而是此干涉儀的內(nèi)秉性質(zhì)決定的。該干涉儀實(shí)際上有兩個(gè)輸入端口，但其中一個(gè)無(wú)輸入態(tài)存在，此端口的真空漲落對(duì)觀測(cè)階段的光子計(jì)數(shù)誤差產(chǎn)生了巨大的影響，散粒噪聲由此產(chǎn)生。如果在這一端口輸入壓縮真空態(tài)，那么該干涉儀就能夠突破散粒噪聲極限，并且實(shí)現(xiàn)比以前標(biāo)準(zhǔn)干涉儀更高的參數(shù)精度。自此，量子力學(xué)對(duì)參數(shù)估計(jì)的正面作用得到了充分肯定，也標(biāo)志著量子度量學(xué)的真正誕生。

在量子力學(xué)中，干涉儀中的分束器和相移器均可視為由幺正算符表示的量子操作。與經(jīng)典情況不同地是，量子情況下的分束器必須考慮真空漲落，即必須有兩個(gè)輸入源，最常使用的是SU（2）干涉儀，其分束器表示為Ui（i=x，y）（θ）=exp（iθJi），其中Ji為滿足如下對(duì)易關(guān)系的Schwinger算符：

[Jx，Jy]=iJz，[Jy，Jz]=iJx，[Jz，Jx]=iJy.

并且表示為

Jx=（aa+aa），Jy=（aa-aa），Jz=（aa-aa），

其中a（a1）和a（a2）分別為兩個(gè)輸入源的產(chǎn)生湮滅算符。由于輸入與輸出均為兩個(gè)端口，所以Ux（θ）和Uy（θ）均為二維矩陣，其在Jz的本征空間下，Ux（θ）和Uy（θ）可表示為

Ux（θ）=cos isinisin cos，Uy（θ）=cos sin-sin cos.

當(dāng)θ=0，輸出態(tài)與輸入態(tài)相同，所有光子都通過(guò)了分束器；θ=π，所有光子都被分束器反射；當(dāng)θ=，為50：50分束器。反射光和折射光產(chǎn)生當(dāng)exp（±iπ/2）的相位差。與分束器類(lèi)似，相移器也用一個(gè)幺正算符表示，常用Uz（θ）=exp（iθJz）。整個(gè)干涉儀對(duì)于輸入態(tài)的作用相當(dāng)于是做了一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)。最常見(jiàn)的待估計(jì)參數(shù)為干涉儀的參考臂與待測(cè)臂間的相對(duì)相位θ，其對(duì)應(yīng)的量子Fisher信息表示為

F=+4p（？鄣ψ

|？鄣ψ）-|（？鄣ψ|？鄣ψ）|，

其中M為輸入口A的光子初態(tài)ρA（下轉(zhuǎn)第132頁(yè)）（上接第148頁(yè)）的維度，pi為ρA的譜分解的本征值，|ψi）=|φi）？茚|φ）中的|φi）和|φ）分別為A、B輸入口的本征態(tài)。

對(duì)于幺正參數(shù)化過(guò)程中的參數(shù)估計(jì)問(wèn)題，為了簡(jiǎn)化問(wèn)題的研究，我們通過(guò)引入一個(gè)既可以刻畫(huà)參數(shù)過(guò)程，又與初態(tài)無(wú)關(guān)的厄米算符

H=i（？鄣θU？笤）U，

當(dāng)初態(tài)為純態(tài)時(shí)，量子Fisher信息通過(guò)H化簡(jiǎn)為：

F=4（ψ|（H-（H））2|ψ）.

通過(guò)厄米算符H的引入，所有參數(shù)化的信息都被吸收到H中。因此，幺正參數(shù)化下的量子Fisher信息只由初態(tài)和H共同決定。借此，初態(tài)對(duì)量子Fisher信息的影響能夠被更加直觀、清晰的觀察到。同時(shí)也有利于尋找最優(yōu)初態(tài)，以達(dá)到分析待估計(jì)參數(shù)的最大精度，即最大量子Fisher信息的方法。

我們以量子干涉儀為例，討論了量子Fisher信息在量子光學(xué)中的應(yīng)用。從技術(shù)角度考慮，量子Fisher信息相關(guān)研究的發(fā)展，會(huì)推動(dòng)諸如量子陀螺儀、空間定位導(dǎo)航、引力常數(shù)測(cè)量等應(yīng)用領(lǐng)域的進(jìn)步。同時(shí)，以量子Fisher信息為例的量子度量學(xué)，其發(fā)展會(huì)加深不確定關(guān)系、波粒二象性、引力波等物理定理的理解。

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