基于Heston模型的期權隱含波動率研究

（廣東農(nóng)工商職業(yè)技術學院財經(jīng)系，廣東廣州510507）

隨著金融市場的不斷發(fā)展，以期權為代表的衍生品成為了套利者和投機者最重要的資產(chǎn)配置工具.一個正常的市場應擁有價格的自發(fā)回歸機制，使偏離的價格能回歸到理性.要實現(xiàn)這一過程，投資者首先需要得到一個合理的價格作為參考.因此，如何利用理論模型計算期權等衍生品的合理價格，成為了維持市場理性的關鍵.Black-Scholes模型因其直觀和計算簡單為傳統(tǒng)期權定價理論奠定了基礎，但該模型的成立至少依賴于2個假設：一是標的資產(chǎn)的對數(shù)收益服從正態(tài)分布；二是基礎資產(chǎn)的價格波動率為常數(shù).但實際情況卻并非如此，歷史數(shù)據(jù)和實證研究表明：標的資產(chǎn)的對數(shù)收益具有超值峰度并呈負偏態(tài)分布，而非正態(tài)分布；基礎資產(chǎn)的價格波動率會發(fā)生改變，且存在隱含波動率“微笑”現(xiàn)象.

為了使模型更貼近實際，1993年Heston利用隨機波動率模型（包含5個參數(shù)，Ω={θ,κ,α,Vt,ρ}），并使用均值回復平方根描述了實時波動率方差，從而放寬了Black-Scholes模型的這兩個假設.為考察 Heston模型的有效性，Melino等[1]通過研究外匯期權的定價，發(fā)現(xiàn)隨機波動率模型優(yōu)于 Black-Scholes模型.之后學者對 Heston模型的研究主要集中于兩個方面：一是對模型參數(shù)的尋找；二是對模型的仿真求解.模型參數(shù)的尋找實質(zhì)上是求組合最優(yōu)的過程，傳統(tǒng)的極大似然法中目標函數(shù)過于復雜，而且容易出現(xiàn)多個極值，難以準確求解，因此，有學者嘗試了智能求解法：王林等[2]用模擬退火法估算模型參數(shù)，李斌等[3]用遺傳算法求解模型參數(shù).對模型仿真求解的研究主要是利用Monte Carlo加以實現(xiàn)，如Kahl[4]利用Monte Carlo方法對隨機波動率模型的快速估算.

為驗證Heston模型的有效性，本文首先假設一對固定的模型參數(shù)Ω={θ,κ,α,V0,ρ}={1.5,3,3,1,-0.5}；然后利用Heston模型推導隱含波動率計算公式，利用Monte Carlo分別得出標準的看漲期權和看跌期權的隱含波動率；最后將不同期限、不同行權價的期權對應的隱含波動率繪制在由期限、行權價和隱含波動率構成的三維坐標空間中，得出隱含波動率曲面.

1 模型與方法

1.1 Heston模型

Heston模型實際上是標的資產(chǎn)波動率符合CIR[5]過程的Black-Scholes SDE擴展形式.假設資產(chǎn)遠期價格為Ft，隨機方差為V，γt為常數(shù)，則Ft服從：

本文中，我們假設參數(shù)數(shù)值如表1所示.

表1 Heston模型參數(shù)假設

由于以上參數(shù)滿足Feller條件[6]，因此Vt為正數(shù).

1.2 隱含波動率的計算

當我們將一個已知到期日、行權價和市場價格的真實期權的參數(shù)帶入到Black-Scholes模型后，其反解出的波動率即為隱含波動率.隱含波動率數(shù)值與Black-Scholes模型假設的常數(shù)波動率數(shù)值不同，理論上，其差別會隨著到期日和行權價的變化而變化，并呈現(xiàn)出“V”字形“笑臉”狀，故而又被稱為期權隱含波動率“微笑”.這一過程可用公式表達如下：

其中，V表示期權的市場價格；VB-S為利用 Black-Scholes模型計算出的期權價格；K為期權的行權價；T為期權到期日；r為無風險利率；θimp為期權的隱含波動率，計算如下：

本文中，我們參考文獻[3]的觀點，用風險中性世界的期權價格代替現(xiàn)實世界的期權價格，并假設無風險利率r為0，方差V0為1，則隱含波動率是行權價K和到期日T的函數(shù).為使研究更加直觀和便利，我們將隱含波動率、行權價和到期日放在同一三維坐標里，進而得出隱含波動率曲面，

1.3 利用Monte Carlo估算隱含波動率

由于隱含波動率曲面是一個極其復雜和多變的系統(tǒng)，每一個模型參數(shù)的變化都會引起曲面的變化，難以窮盡計算.因而，我們考慮假設一組參數(shù)，并基于這組參數(shù)建立隨機微分方程，然后使用Monte Carlo模擬對方程進行仿真估值.在本文中，隱含波動率是被建模對象，期權為標準化普通歐式期權.先將標的資產(chǎn)遠期價格Ft對數(shù)化，并將這一過程用Xt表示，利用伊藤引理可以得出以下公式：

為模擬Xt和Vt，我們借助Euller[6]離散化方法得出：

其中，C與P分別表示看漲期權和看跌期權的價值，K為行權價，T為到期日，表示第i期的資產(chǎn)遠期價格，而Xti的計算見式（7-8）.式（9）和式（10）利用Matlab最優(yōu)化函數(shù)，假設行權價K=[ 0.7,1.3]和到期日T=[ 0.25,2]，通過反復模擬實現(xiàn)計算.最后將C、P作為期權市場價格帶入Black-Scholes模型，利用式（4）反解出隱含波動率θimp.最終，我們可以得出以行權價K、到期日T為參數(shù)的隱含波動率面板.

2 實證結果

到期日T=2年，假設每天為一個交易日，可以得出504個離散點，利用Monte Carlo進行超過40000次模擬，可以分別得出看漲期權和看跌期權的隱含波動率面板.在面板中，我們假設坐標

2.1 看漲期權的隱含波動率面板

通過圖1我們發(fā)現(xiàn)：看漲期權的隱含波動率會隨著期權到期日和期權行權價的變化而變化，這一特點符合理論預期；右側隱含波動率“微笑”大于左側，這可能是由于 Heston模型參數(shù)中相關系數(shù)ρ假設為負數(shù)導致的；隨著到期日的增加，隱含波動率“微笑”逐漸變平，這是由于均值回歸速度κ使得θ均值回歸；在較低的行權價和較高的行權價上，隱含波動率出現(xiàn)明顯“上翹”，因為極端的行權價與標的資產(chǎn)的市場價嚴重脫鉤時，人們會買入擁有較低行權價的看漲期貨、賣出擁有較高行權價看漲期貨，使得期權市場價格大幅波動，導致隱含波動率增加.

圖1 看漲期權的隱含波動率面板

為進一步研究行權價與隱含波動率的關系，我們采用截面分析，繪制出短期（T=0.25）和長期（T=2）看漲期權的隱含波動率，并附帶各自的置信區(qū)間，用于評估模擬的準確性，具體見圖2.由圖2可知：行權價越低，隱含波動率越高，但并未得出行權價越高，隱含波動率越高這一結論.在圖2-a中，當期權行權價較高或較低時，隱含波動率曲線出現(xiàn)“上翹”，形成隱含波動率“微笑”；對比圖2-b可知，這種“上翹”現(xiàn)象會隨著期權到期日的延長而消失.

圖2 看漲期權不同行權價下的隱含波動率曲線

2.2 看跌期權的隱含波動率面板

看跌期權的隱含波動率面板與看漲期權類似，具體見圖3，不再贅述.

圖3 看跌期權的隱含波動率面板

為進一步研究行權價與隱含波動率的關系，我們采用截面分析，繪出短期（0.25T=2）和長期（T=2）看跌期權的隱含波動率，并附帶各自的置信區(qū)間，具體見圖4.由圖4，我們?nèi)匀豢梢缘贸觥靶袡鄡r越低，隱含波動率越高”這一結論；但不同的是，在圖4-a中，右下角出現(xiàn)了“V”形特點，說明看跌期權行權價上升后，隱含波動率也上升.再次驗證了在較低和較高的行權價上，隱含波動率出現(xiàn)明顯“上翹”，形成隱含波動率“微笑”.這種“上翹”的現(xiàn)象會隨著期權到期日的增加而逐漸消失.

圖4 看跌期權不同行權價下的隱含波動率曲線

3 Heston模型參數(shù)的敏感性分析

為研究Heston模型參數(shù)與隱含波動率的關系，我們進一步設定如表2所示的3組情況，并以看漲期權為例依次作出隱含波動率面板圖.

表2 Heston模型參數(shù)設定

3.1 θ敏感性分析

圖5表明，當波動率長期均值θ增長時，隱含波動率曲面逐漸出現(xiàn)“下翻”；隨著長期均值θ減小，隱含波動率曲面出現(xiàn)“上翻”.

圖5 θ參數(shù)下的隱含波動率曲面

3.2 κ敏感性分析

圖6中，隨著均值回歸速度κ的上漲，隱含波動率曲面“變平”的速度越來越快；當均值回歸速度κ上漲到一定大小時，隱含波動率曲面的變化越來越小.

圖6 κ參數(shù)下的隱含波動率曲面

3.3 α敏感性分析

圖7表明，波動率方差α增加會使得隱含波動率曲面發(fā)生“上翹”；α越大，隱含波動率“微笑”越明顯.

圖7 α參數(shù)下的隱含波動率曲面

3.4 ρ敏感性分析

圖8 ρ參數(shù)下的隱含波動率曲面

4 結論

本文的主要目的是使用 Heston隨機波動模型改善 Black-Scholes模型關于對數(shù)正態(tài)分布和常數(shù)波動率的假設約束，使期權估價更加貼近實際.研究主要分為三大塊：Heston隨機微分方程的推導和利用，隱含波動率面板的建立與分析，以及 Heston模型參數(shù)敏感性分析.主要結論如下：1）看漲期權和看跌期權存在隱含波動率“微笑”；2）看漲期權和看跌期權的隱含波動率與行權價和到期日有關，當行權價很低或很高時，隱含波動率上升，并出現(xiàn)明顯“上翹”，形成隱含波動率“微笑”，當?shù)狡谌赵黾訒r，隱含波動率“微笑”消失；3）Heston模型參數(shù)的變化能直接影響隱含波動率的大小和形態(tài).

標的資產(chǎn)的價格波動率是影響期權定價最重要的因素之一，基于Heston模型的期權隱含波動率的研究對指導期權定價具有重要意義.但本文也存在以下不足：1）對 Heston模型的應用基于一組假設參數(shù)，在對模型參數(shù)Ω={θ,κ,α,ρ}進行敏感性分析時，我們假設無風險利率為 0，方差為 1，這不一定符合實際情況；2）在將微分方程轉(zhuǎn)化為差分方程時，未對可能為負的方差項Vt進行特殊處理，本文借助了Euler法，而沒有比較和討論IM和FT等其他方法；3）在運用Monte Carlo模擬期權估值時過于簡單，沒有加入控制變量以提高預測準確性.