“化歸”思想在高考中的應用

摘 要：本文結(jié)合高考題的析解，從化歸的內(nèi)涵入手，具體敘述了化歸的5種類型：直接與間接的轉(zhuǎn)化、困難與容易的轉(zhuǎn)化、未知與已知的轉(zhuǎn)化、數(shù)與形的轉(zhuǎn)化、高層次與低層次的轉(zhuǎn)化。

關(guān)鍵詞：化歸；內(nèi)涵；類型；例析

所謂的化歸思想方法，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進而達到解決的一種策略?；瘹w的著眼點在于發(fā)現(xiàn)新問題與舊問題之間的類似，在于抓住新、老問題之間的真正的、規(guī)律性的聯(lián)系?；瘹w思維的實質(zhì)是通過事物之間的聯(lián)系和矛盾運動，在變換中實現(xiàn)問題的規(guī)范性（熟悉或易于處理），即將待解決的問題變化（轉(zhuǎn)化）為規(guī)范間題，從而使新問題得以解決。[1]所以，它不僅是一種重要的解題思想，也是一種最基本的思維策略，更是一種有效的數(shù)學思維方式?；瘹w在高考題中出現(xiàn)的次數(shù)極高。下面以2017年高考數(shù)學理科全國卷Ⅰ為例，談談化歸思想的認識。

一、直接與間接的轉(zhuǎn)化

（2017新課標全國卷Ⅰ）11.設為正數(shù)，且，則（）

解析：注意到本題所給的條件，如果根據(jù)題設直接比較的大小，操作比較困難。在進一步觀察題設時，我們不妨利用指數(shù)與對數(shù)的轉(zhuǎn)化來找出本題的切入點。接下來根據(jù)對數(shù)的圖象的性質(zhì)來判斷大小，以達到解題的目的。而這充分體現(xiàn)了化直接為間接的方法。

二、困難與容易的轉(zhuǎn)化

（2017新課標全國卷Ⅰ）21.已知函數(shù)

（1）討論f（x）的單調(diào)性；

解析：此題牽扯兩個未知量a，x，如果直接運用定義求解單調(diào)性，是比較困難的，而且出錯率較高。因而我們很容易想到利用導數(shù)法判斷f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)的單調(diào)性：①確定函數(shù)的定義域并求f（x）；②確定f'（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)的符號；③作出結(jié)論：當f'（x）>0時，f（x）為增函數(shù)；當f'（x）<0時，f（x）為減函數(shù)。這就將一個較為困難的問題轉(zhuǎn)換為一個簡單的問題。

f（x）的定義域為（-∞，±∞），

①

三、未知與已知的轉(zhuǎn)化

（2017新課標全國卷Ⅰ）9.已知曲線C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+2π/3），則下面結(jié)論正確的是（）

A.把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移π/6個單位長度，得到曲線C2

B.把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移π/12個單位長度，得到曲線C2

C.把C1上各點的橫坐標縮短到原來的1/2，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移π/6個單位長度，得到曲線C2

D.把C1上各點的橫坐標縮短到原來的1/2，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移π/12個單位長度，得到曲線C2

解析：根據(jù)題設，我們都有一定的思路來求解。但也有可能因為對變換規(guī)律不清楚或者不能正確地將平移前后的三角函數(shù)名化為同一三角函數(shù)名而出錯。因而解決三角函數(shù)圖象的變換問題需要把握兩點：（1）三角函數(shù)名的統(tǒng)一。（2）三角函數(shù)變換規(guī)律即“變量變化”與“圖象變化”的關(guān)系。這都是對未知化已知的體現(xiàn)。而此題的難點恰恰在于能否正確的化為同一三角函數(shù)名。

根據(jù)主線圖，可清晰地看出該題的求解步驟及思路。因此選D.

四、數(shù)與形的轉(zhuǎn)化

（2017新課標全國卷Ⅰ）16.如圖，圖形紙片的圓心為O，半徑為5cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O。D，E，F(xiàn)為圓O上的點，分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形，沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起，使得D，E，F(xiàn)重合，得到三棱錐，當?shù)倪呴L變化時，所得三棱錐體積（單位：cm3）的最大值為_________。

解析：根據(jù)題意，我們作出要所求的三棱錐圖形——圖（2），并確定三棱錐體積中所要求的各個量。再根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)，對這各個量進行表示，最終求得結(jié)果。本題目充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的方法，以直觀形象給人以思路，順利解題。

如圖（1），作OH⊥AC，垂足為H，連接EH。由題意知，點O，H，E在一條直線上。設OH=x，則AC=，HE=5-x，

如圖（2），設D，E，F(xiàn)重合于點S，則根據(jù)題意，點S在平面ABC上的投影為圓心O，所以

五、高層次與低層次的轉(zhuǎn)化

（2017新課標全國卷Ⅰ）18.如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB//CD，且∠BAP=∠CDP=90°。

（1）證明：平面 PAB ⊥平面 PAD；

分析：解決直線與平面垂直問題的常用方法有：①利用線面垂直的定義；②利用線面垂直的判定定理；③利用面面垂直的性質(zhì)。但是，由于“線線垂直”“線面垂直”“面面垂直”之間可以相互轉(zhuǎn)化，因此整個證明過程可以圍繞著線面垂直這個核心展開，這也是化解空間垂直關(guān)系難點的技巧所在。這種解題方法充分證實了化高維為低維是一種不可忽視的解題方法。

首先根據(jù)已知條件，證明AB⊥PD；然后，根據(jù)線線垂直到線面垂直的轉(zhuǎn)化，證明AB⊥平面PAD；最后，根據(jù)線面垂直到面面垂直的轉(zhuǎn)化，證明平面 PAB ⊥平面 PAD。

化歸，不僅要求“變”，還要求在此基礎上，達到一種“統(tǒng)一”。高考題中蘊藏著的這些化歸方法，我們怎樣才能在最短時間內(nèi)發(fā)現(xiàn)，以達到一種高效的狀態(tài)呢？還有，這對我們平時的學習或者教學又有什么要求呢？這些都是值得我們思考的問題。

參考文獻

[1]趙小云，葉立軍.數(shù)學化歸思維論[M].北京：科學出版社，2005：178.

作者簡介：

孫若涵（1994.08-）女，漢，籍貫：山東淄博，在讀研究生，研究方向：學科教學（數(shù)學）

（作者單位：聊城大學數(shù)學科學學院）