近距離牛頓反平方定律實驗檢驗進展?

譚文海 王建波 邵成剛 涂良成 楊山清?羅鵬順? 羅俊2)??

1)(華中科技大學(xué)物理學(xué)院,基本物理量測量教育部重點實驗室,引力與量子物理湖北省重點實驗室,武漢 430074)

2)(中山大學(xué)天琴引力物理研究中心,珠海 519082)

1 引 言

目前物理學(xué)界公認(rèn)自然界存在四種基本相互作用,分別是引力、電磁力、強相互作用和弱相互作用,其中引力是近代物理學(xué)中最早被認(rèn)識的相互作用.牛頓于1687年在《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》中提出萬有引力定律,將天體的運動規(guī)律與地面自由落體的規(guī)律統(tǒng)一起來.愛因斯坦的廣義相對論將引力描述為物質(zhì)和能量引起的時空彎曲所導(dǎo)致,而牛頓萬有引力定律是靜態(tài)、緩變的弱引力場下的近似.作為迄今描述引力最成功的理論,廣義相對論得到了各種實驗與天文觀測的檢驗:包括水星近日點進動、光線在太陽引力場作用下的偏折效應(yīng)、引力紅移效應(yīng)的觀測等,其預(yù)言的引力波現(xiàn)象也被激光干涉引力波天文臺LIGO于2016年直接探測到[1],2017年MICROSCOPE衛(wèi)星在更高精度[?1± 9(stat)± 9(syst)]× 10?15水平[2]證明其基本原理——弱等效原理的正確性.另一方面,粒子物理標(biāo)準(zhǔn)模型把電磁力與強、弱相互作用統(tǒng)一起來,精確地描述了微觀世界的各種物理現(xiàn)象.建立包含引力的大統(tǒng)一理論是物理學(xué)的前沿問題之一,但廣義相對論是“經(jīng)典”理論,引力仍然沒有被成功地量子化,與粒子物理標(biāo)準(zhǔn)模型本質(zhì)上并不兼容.典型的困難是等級問題:引力量子效應(yīng)凸顯的能量標(biāo)度——普朗克能量標(biāo)度是1.2×1016TeV,而電弱統(tǒng)一的能量標(biāo)度約1 TeV,兩者相差16個數(shù)量級[3,4];天文觀測表明,宇宙正在加速膨脹,這種加速膨脹可以引入暗能量來解釋.然而,科學(xué)家發(fā)現(xiàn)天文觀測到的暗能量密度比根據(jù)量子理論計算的真空能量密度小約1060倍(以電弱統(tǒng)一能標(biāo)作為能量截斷計算)[5?7].

為此,物理學(xué)家們提出了很多理論模型,其中很多理論認(rèn)為牛頓反平方定律在近距離下會破缺.如1998年Arkani-Hamed等[3]和Antoniadis等[8]提出大額外維理論,認(rèn)為時空存在額外維空間,引力子可以在包括額外維空間的全空間自由傳播,而標(biāo)準(zhǔn)模型的粒子只能在我們熟悉的3+1維時空里傳播.若所有n個額外維的尺度R?相同,在間距r?R?范圍,牛頓反平方定律成立;在r?R?范圍,反平方定律變成正比于1/r2+n;在r? R?范圍,引力勢可引入Yukawa形式的修正[9]:

式中G為萬有引力常數(shù);m1,m2為物體的質(zhì)量;α是破缺效應(yīng)的作用強度;λ是作用程.

此外,弦論及其他非標(biāo)準(zhǔn)模型理論預(yù)言了新的玻色子的存在,如moduli,dilaton[10?12]和axion等[13].粒子間通過交換這些新的玻色子可產(chǎn)生新的有效相互作用,使引力偏離牛頓反平方定律[5].因此,在近距離下對牛頓反平方定律進行高精度的實驗檢驗,尋找可能存在的新相互作用,一方面可以檢驗引力理論的正確性,另一方面也可探索非標(biāo)準(zhǔn)模型的新物理,為統(tǒng)一理論的建立提供實驗依據(jù)和指導(dǎo),因而具有重要意義.

2 實驗檢驗概況

最早進行牛頓反平方定律的檢驗實驗可以追溯到1798年,Cavendish聲稱他在測G實驗中同時檢驗了反平方定律,但并沒有給出任何實驗細(xì)節(jié).Mackenzie[14]在1895年采用扭秤檢驗了牛頓反平方定律,這是首次公開發(fā)表的實驗結(jié)果.廣泛引起人們檢驗牛頓反平方定律興趣的是Long[15]的實驗:1974年,他在《Physical Review D》上發(fā)表了題為“為什么我們要相信實驗室尺度下的牛頓引力呢？”的文章,通過對近百年各種測G實驗結(jié)果的研究后發(fā)現(xiàn):G(R)=G0[1+0.002lnR].兩年后,Long[16]再次在《Nature》雜志上發(fā)表了他利用扭秤測量不同間距下的兩個圓環(huán)的牛頓引力大小的實驗結(jié)果,發(fā)現(xiàn)牛頓引力的測量值與理論值的偏差在(0.37±0.07)%的水平,該結(jié)果與他之前分析出的G值與距離R相關(guān)的結(jié)論符合.雖然Long的實驗結(jié)果被后來的實驗所否定,但該結(jié)果引起了物理學(xué)家們的廣泛關(guān)注,使對牛頓反平方定律的實驗檢驗活躍起來.

當(dāng)前,物理學(xué)家們已經(jīng)在很寬的尺度下對牛頓反平方定律進行了實驗檢驗.不同理論模型預(yù)言的反平方定律破缺強度與作用程范圍均不相同,針對不同的尺度需要采取不同的實驗檢驗辦法.在厘米到亞毫米尺度主要使用精密扭秤作為測量工具[17?23],在此范圍下,實驗檢驗精度已遠(yuǎn)小于牛頓引力,如何精確補償與評估牛頓引力干擾是關(guān)鍵.在微米范圍下,主要采用微機械振子和懸臂梁作為弱力測量工具[24?32],此時Casimir力和靜電力成為主要的干擾信號,如何消除Casimir力和靜電力的影響是實驗需要解決的關(guān)鍵問題;在納米及以下尺度可通過中子散射實驗或原子核的結(jié)合能與電荷半徑等性質(zhì)給出[33?38],在更大尺度則可通過不同地點的重力加速度測量、天體或衛(wèi)星的運動軌跡等觀測數(shù)據(jù)給出,更詳細(xì)的介紹可參考文獻(xiàn)[39—47].近距離下檢驗牛頓反平方定律的實驗結(jié)果如圖1所示[19?32],圖中右上角的淺色區(qū)域為牛頓反平方定律仍然成立的參數(shù)空間,左下角空白區(qū)域有待更高精度的實驗進行檢驗,本文重點介紹亞毫米與微米范圍的實驗.

圖1 近距離檢驗牛頓反平方定律的實驗結(jié)果Fig.1.Constraints on the violation of the Newtonian inverse-square law at short range.

在厘米范圍,加州大學(xué)Irvine分校的Spero等[48]用扭秤檢驗物體在一長空心不銹鋼圓管內(nèi)受到的引力是否滿足反平方定律.若牛頓反平方定律成立,則管內(nèi)的引力勢基本相同,小銅柱所受的引力幾乎為零,水平往返移動圓管的過程中扭秤幾乎不發(fā)生偏轉(zhuǎn),結(jié)果表明在檢驗質(zhì)量與吸引質(zhì)量的間距為2—5 cm范圍內(nèi)均未發(fā)現(xiàn)反平方定律破缺.由于該實驗對Long提出的真空極化效應(yīng)[49]不靈敏,他們又進行了引力不為零的實驗[19],實驗原理是將大小不同的吸引質(zhì)量放置在離扭秤距離不同的位置,其中大吸引質(zhì)量重7.3 kg,距離扭秤中心105 cm,小吸引質(zhì)量重43 g,距離扭秤中心5 cm,如果反平方定律嚴(yán)格成立,它們對扭秤產(chǎn)生的引力將相互抵消,扭秤受到的總力矩不變.該實驗檢驗精度比1980年的實驗提高了約5倍,結(jié)果表明在作用程λ>400 mm范圍,仍然沒有發(fā)現(xiàn)牛頓反平方定律的破缺.

華中科技大學(xué)引力中心長期進行近距離牛頓反平方定律的檢驗實驗,該研究組利用厚度0.2 mm的金片作為吸引質(zhì)量與檢驗質(zhì)量,以扭秤為工具進行間距調(diào)制實驗,于2007年完成了亞毫米范圍牛頓反平方定律的零檢驗實驗[21].實驗使用的扭秤左右對稱,檢驗金片黏在扭秤的一端,面對吸引金片,扭秤另一端面對引力補償塊.通過設(shè)計檢驗金片離吸引金片距離較近,但質(zhì)量較小,而補償質(zhì)量離扭秤距離較遠(yuǎn),但質(zhì)量較大,可使吸引質(zhì)量與補償質(zhì)量對扭秤的牛頓引力矩剛好抵消,但非牛頓引力因隨間距增大以e指數(shù)衰減,因此不會被抵消.檢驗質(zhì)量與吸引質(zhì)量的間距調(diào)制范圍從176μm到341μm,實驗中同步驅(qū)動一個小銅柱產(chǎn)生確定的引力源實時標(biāo)定扭秤的靈敏度.實驗在2σ精度內(nèi)未發(fā)現(xiàn)牛頓反平方定律的偏離,若要求破缺強度|α|>1,則作用程λ要求小于66μm,接近當(dāng)時國際最好水平.在毫米范圍,為了增加待測效應(yīng),該研究組改進了實驗方案[22],將檢驗質(zhì)量與吸引質(zhì)量鎢片的厚度增大為1.787 mm,間距調(diào)制范圍為0.4—1.0 mm.由于質(zhì)量增大,對各部件的加工誤差要求也相應(yīng)提高,這也成為此實驗的難點之一.實驗通過“零”實驗設(shè)計與精密加工裝配,牛頓力矩誤差被控制到(0.65±1.59)×10?16Nm,其中鎢片厚度精度為0.12μm,扭絲定位精度為1.5μm;通過改進電磁屏蔽,解決了平移臺的電磁干擾問題.此外,進行了“非零”實驗,測量了牛頓引力矩隨吸引質(zhì)量間距的變化,以此驗證系統(tǒng)的可靠性.最后在2σ力矩精度為2.6×10?16Nm下未發(fā)現(xiàn)牛頓反平方定律的偏離,在作用程λ為3 mm附近取得檢驗精度最高的實驗結(jié)果.

華盛頓大學(xué)E?t-Wash研究組也長期使用扭秤在亞毫米范圍檢驗牛頓反平方定律[9,20],他們實驗的主要特點是檢驗質(zhì)量與吸引質(zhì)量均為軸對稱的多重密度調(diào)制結(jié)構(gòu).檢驗質(zhì)量通過扭絲水平懸掛,吸引質(zhì)量安裝于檢驗質(zhì)量正下方,通過勻速驅(qū)動吸引質(zhì)量旋轉(zhuǎn),將待測信號調(diào)制到驅(qū)動頻率的高倍頻,從而降低系統(tǒng)干擾.以2007年的實驗為例,其檢驗質(zhì)量圓盤軸對稱地分布有21個圓孔,吸引質(zhì)量則由兩層各有21個圓孔的圓盤疊在一起構(gòu)成,上下兩層圓孔的方位角錯開π/21,從而部分抵消了牛頓引力,有助于提高實驗精度.扭秤與吸引質(zhì)量有良好的接地與靜電屏蔽措施,以降低靜電干擾.該實驗間距為55μm—9.53 mm,結(jié)果表明在作用程λ為56μm的尺度下牛頓反平方定律仍然成立(即破缺強度|α|6 1),對于一個額外維的模型,實驗要求額外維尺度R?6 44μm.在其改進實驗中,扭秤與吸引質(zhì)量的對稱性提高到120重,以進一步提高實驗精度.

科羅拉多大學(xué)Long等[24,50]使用機械振子在幾十微米的間距檢驗了非牛頓引力.他們采用35 mm×7 mm×0.305 mm的鎢懸臂梁作為吸引質(zhì)量,由壓電陶瓷(PZT)驅(qū)動其振動,檢驗質(zhì)量位于吸引質(zhì)量下方,由兩塊對稱的矩形鎢片構(gòu)成,鎢片可繞對稱軸扭轉(zhuǎn).在吸引質(zhì)量作用下,檢驗質(zhì)量鎢片發(fā)生扭轉(zhuǎn)振動,扭轉(zhuǎn)位移通過電容位移傳感器測量.實驗未發(fā)現(xiàn)新的相互作用,排除了理論預(yù)言的strange和gluon moduli傳遞的相互作用的大部分參數(shù)空間,對于作用強度α=2000的dilaton,要求其作用程λ小于23μm,對于radion,要求其作用程λ小于88μm.

斯坦福大學(xué)Kapitulnik研究組[27,51,52]使用懸臂梁為弱力傳感器,在低溫下進行了非牛頓引力檢驗實驗.他們在一大小為250μm×50μm×0.335μm的單晶硅懸臂梁末端粘上一長方體金塊,懸臂梁的位移由光纖干涉儀測量得到,為了降低懸臂梁的熱噪聲,實驗在10 K的低溫下進行.吸引質(zhì)量由相互平行的5列金條和5列硅條相互交替排列組成.由于金與硅的密度不同,通過選擇適當(dāng)幅度驅(qū)動吸引質(zhì)量振動,他們將待測信號的頻率調(diào)制到驅(qū)動頻率的3倍頻.此外,為了減小靜電效應(yīng)的干擾,在吸引質(zhì)量與檢驗質(zhì)量之間插入一塊厚3μm的鍍金氮化硅平板作為靜電屏蔽膜.該系列實驗最終給出了作用程在6—20μm范圍內(nèi)對非牛頓引力最強的限制.

印第安納大學(xué)與普渡大學(xué)印第安納波利斯聯(lián)合分校Decca研究組采用微機械扭轉(zhuǎn)振子(micro-electromechanical torsional oscillator,MTO)對微米間距的非牛頓引力進行了檢驗.2005年他們報道了測量一個鍍金藍(lán)寶石球和金-鍺吸引質(zhì)量間的相互作用力的實驗[26],實驗結(jié)果在λ～200 nm處比之前國際最好水平提高了10倍.2016年,他們進一步將檢驗結(jié)果提高了約3個數(shù)量級.在新的實驗中,他們使用氣浮轉(zhuǎn)臺驅(qū)動吸引質(zhì)量轉(zhuǎn)動來進行密度調(diào)制實驗[29].吸引質(zhì)量為在硅片上半徑不等的圓環(huán)“跑道”上制備的金-硅周期調(diào)制結(jié)構(gòu),結(jié)構(gòu)重復(fù)個數(shù)從50至300不等.當(dāng)驅(qū)動吸引質(zhì)量轉(zhuǎn)動時,檢驗質(zhì)量的受力被調(diào)制到轉(zhuǎn)動頻率的50至300倍頻,從而將待測信號與干擾信號在頻域分離.實驗選擇氣浮轉(zhuǎn)臺的驅(qū)動頻率為ωd=ω0/n(n為金-硅結(jié)構(gòu)重復(fù)個數(shù),ω0為MTO的共振角頻率),從而將待測信號調(diào)制到MTO的共振頻率處,實現(xiàn)共振測量.該實驗最終給出了作用程在40—8000 nm范圍內(nèi)新的限制,在λ=300 nm時比之前國際最好水平提高了1000倍.

由于微米間距實驗主要的背景作用力之一為Casimir力,因此多個研究組通過對Casimir力的精確測量給出了此間距下對非牛頓引力的限制.如耶魯大學(xué)Lamoreaux等[53]采用扭秤技術(shù)在0.7—7μm的間距通過測量鍍金球面透鏡和鍍金平板之間的Casimir力給出了對非牛頓引力的限制.他們將實驗數(shù)據(jù)扣除基于Drude模型的Casimir力理論計算值和靜電力貢獻(xiàn)后得到殘差,將該殘差作為非牛頓引力的上限,在0.4—4μm作用程給出了對非牛頓引力的限制,該結(jié)果比之前國際最好水平提高了30倍.加利福利亞大學(xué)河濱分校Mohideen等[54]采用懸臂梁作為弱力傳感器測量了鍍金球面和鍍金平板之間的Casimir力.實驗中補償接觸電勢后,鍍金球和鍍金平板間的剩余電勢產(chǎn)生的靜電力在最近間距小于Casimir力的1%.實驗測量結(jié)果與基于Plasma模型的Casimir力理論值在1%的誤差范圍內(nèi)符合,綜合考慮扣除Casimir力后的殘差和實驗誤差,在1—150 nm范圍給出了非牛頓引力作用強度的上限為1014—1018.

目前所有實驗在其檢驗精度范圍內(nèi)均未發(fā)現(xiàn)牛頓反平方定律破缺,或存在新的非牛頓引力作用,僅給出了相應(yīng)作用程非牛頓引力的上限.顯然,圖1所示的左下角參數(shù)空間還需更多更高精度的實驗去檢驗.無論肯定與否,新的檢驗結(jié)果都將對引力物理、粒子物理和統(tǒng)一理論的發(fā)展具有重要意義.此前,華中科技大學(xué)引力中心采用精密扭秤技術(shù),通過間距調(diào)制法進行了亞毫米和毫米間距的牛頓反平方定律的檢驗實驗,并獲得國際領(lǐng)先的實驗結(jié)果.近年來,我們分別采用精密扭秤和原子力顯微鏡技術(shù),在亞毫米和微米區(qū)間下,采用密度調(diào)制法檢驗反平方定律是否仍然成立[23,30],是否存在非牛頓引力.下面對這兩個實驗的進展進行重點介紹.

3 亞毫米范圍檢驗牛頓反平方定律

我們分別在2007年與2012年完成了采用間距調(diào)制法在亞毫米與毫米范圍的牛頓反平方定律檢驗實驗[21,22],其特點是以兩塊正對的大密度平板為檢驗質(zhì)量與吸引質(zhì)量,利用精密扭秤測量其相互作用是否滿足牛頓反平方定律.實驗的優(yōu)點是將待測效應(yīng)最大化并集中在扭秤的靈敏方向,通過補償設(shè)計抵消扭秤兩端的牛頓引力,實現(xiàn)“零”檢驗,直接在實驗精度下檢驗是否存在新效應(yīng).在更高精度的改進實驗中,我們發(fā)現(xiàn)用于調(diào)制吸引質(zhì)量間距的平移臺會產(chǎn)生與待測信號同頻的干擾.為了克服這一困難,在新的方案中[55],將吸引質(zhì)量制作成多重對稱的密度調(diào)制結(jié)構(gòu),把待測信號調(diào)制到驅(qū)動頻率的8倍頻.同時保留原實驗的優(yōu)點,測量正對鎢片之間的法向力使待測效應(yīng)最大化,并且通過“雙補償”設(shè)計將牛頓引力矩減小到扭秤的分辨率以下,改進靜電屏蔽的措施進一步降低電磁干擾,實現(xiàn)“零”檢驗,最終給出更高精度的實驗結(jié)果[23],本文對其進行詳細(xì)介紹.

3.1 實驗原理與裝置

實驗原理如圖2所示,主要部件包括扭秤、角度探測與反饋控制單元、吸引質(zhì)量及其驅(qū)動單元、靜電屏蔽單元、引力標(biāo)定單元.其中扭秤長90.74 mm、重60 g,呈左右對稱,大小12 mm×14.63 mm、厚200μm的檢驗鎢片粘貼在扭秤兩端的玻璃基底前表面.吸引質(zhì)量為8重對稱結(jié)構(gòu),吸引鎢片與補償鎢片交替分布,各部件中心到圓心的距離為38.8 mm,整體固定在精密轉(zhuǎn)軸上,通過轉(zhuǎn)臺勻速驅(qū)動.待測效應(yīng)為吸引鎢片與檢驗鎢片之間可能存在的非牛頓引力,其頻率為驅(qū)動頻率的8倍頻,在頻域與干擾信號有效地分開.由于在實驗室尺度下宏觀物體之間的引力作用非常微弱,各種環(huán)境擾動都會對實驗產(chǎn)生嚴(yán)重影響,因此實驗選擇在山洞實驗室進行,充分利用其天然的恒溫、低震動、人類活動干擾少等優(yōu)越條件.為了降低空氣分子碰撞引起的噪聲,扭秤與吸引質(zhì)量安裝在10?5Pa高真空容器中.扭秤通過長70 cm、直徑25μm的鎢絲懸掛,其偏轉(zhuǎn)角用精度0.01角秒的電子自準(zhǔn)直儀進行測量.由于扭秤與靜電屏蔽膜的間距小,導(dǎo)體表面的殘余電勢會影響扭秤的穩(wěn)定性,因此需要用靜電反饋對扭秤進行控制,使它工作在穩(wěn)定的位置上.吸引質(zhì)量與轉(zhuǎn)軸整體安裝在六自由度操作臺上,以調(diào)節(jié)吸引質(zhì)量與扭秤的相對位置與姿態(tài),實現(xiàn)“零”檢驗與“非零”實驗的切換.實驗過程中同步旋轉(zhuǎn)一個質(zhì)量與位置確定的引力源,對扭秤的靈敏度進行實時標(biāo)定.

圖2 實驗方案示意圖Fig.2.Schematic diagram of the experiments.

根據(jù)已有實驗結(jié)果,在亞毫米范圍內(nèi)可能出現(xiàn)的破缺效應(yīng)遠(yuǎn)小于牛頓引力,為了使實驗結(jié)果可靠,我們使用“零”檢驗,即精確計算吸引質(zhì)量對扭秤產(chǎn)生的牛頓引力,通過優(yōu)化設(shè)計將其補償?shù)脚こ拥脑肼曀?通過求扭秤與吸引質(zhì)量各部件之間的牛頓引力勢對扭秤偏轉(zhuǎn)角的偏導(dǎo)數(shù),可得到引力矩

其中i表示扭秤各部件;j表示吸引質(zhì)量各部件;ρ為密度;r=|ri?rj|為體積元dVi,dVj之間的距離,是扭秤偏轉(zhuǎn)角θ與吸引質(zhì)量轉(zhuǎn)動的角度?的函數(shù).總力矩為所有力矩貢獻(xiàn)之和,即τ(?)= ∑ ijτij,利用數(shù)值積分計算吸引質(zhì)量在不同轉(zhuǎn)角?下扭秤受到的牛頓引力矩τ(?),再利用傅里葉級數(shù)展開求出實驗關(guān)注的8倍頻力矩分量.為了降低實驗部件的幾何誤差要求,分別在扭秤與吸引質(zhì)量上增加補償質(zhì)量,即“雙補償設(shè)計”,使扭秤在吸引質(zhì)量轉(zhuǎn)動過程中感受到的引力勢幾乎不變,從而在實驗關(guān)注的頻率上使牛頓力矩為零.另一方面,利用待測的破缺效應(yīng)隨間距增大呈e指數(shù)衰減的特性,設(shè)計時增大補償質(zhì)量的間距,使非牛頓引力不會被抵消.

實驗主要針對Yukawa形式的破缺效應(yīng),對于特定的作用強度α與作用程λ,破缺力矩的計算方法與牛頓力矩類似,只需把積分中的牛頓引力勢換成(1)式中的Yukawa勢.為了方便數(shù)據(jù)處理,選取初始轉(zhuǎn)角?=0時,8倍頻Yukawa力矩主要落在sin分量上,即

式中τY(?)表示吸引質(zhì)量在轉(zhuǎn)角?處對扭秤作用的Yukawa力矩,n表示轉(zhuǎn)角次序.在后續(xù)的分析中稱8倍頻信號的sin分量為同相分量,cos分量為正交分量.

為了實現(xiàn)“零”檢驗,各部件嚴(yán)格按照設(shè)計要求進行加工與組裝,其中檢驗鎢片厚度誤差0.4μm,相對扭秤中心的位置誤差小于8μm,扭秤與吸引質(zhì)量的整體定位精度好于7μm.另外,軸承轉(zhuǎn)動過程中存在徑向與軸向跳動,使吸引質(zhì)量除了轉(zhuǎn)動還有平動與晃動,從而對扭秤產(chǎn)生額外的引力誤差.用紅外位移探測器測量軸轉(zhuǎn)動過程中沿x,y,z方向的抖動,以x方向為例,轉(zhuǎn)軸抖動的峰-峰值約3μm,通過譜分析可發(fā)現(xiàn)存在高次諧波.提取實驗關(guān)注的8倍頻信號,其大小為(0.04±0.01)μm,相應(yīng)的牛頓引力矩誤差為(0.33±0.03)×10?17Nm.類似地,用自準(zhǔn)直儀監(jiān)測吸引質(zhì)量轉(zhuǎn)動過程中的晃動,θz方向8倍頻分量為(0.11±0.23)μrad,可得到其貢獻(xiàn)的牛頓力矩誤差為(0.12±0.24)×10?17Nm.

根據(jù)扭秤與吸引質(zhì)量各部件的實際測量尺寸、質(zhì)量、位置、姿態(tài)、驅(qū)動精度等參數(shù),可以計算出吸引質(zhì)量作用到扭秤上的牛頓引力矩,在實驗關(guān)注的8ω處為(0.72±0.50)×10?17Nm,其中與待測信號同相位的分量為0.72×10?17Nm,正交分量為?0.07×10?17Nm.同樣可得16ω處牛頓力矩為(0.7±12.0)×10?17Nm,誤差主要由吸引質(zhì)量與扭秤的相對定位精度導(dǎo)致.

在良好接地的情況下,理想導(dǎo)體表面沒有自由電荷分布.但由于不同材料的費米能級不同,會導(dǎo)致不同導(dǎo)體接觸時存在接觸勢差,而且導(dǎo)體表面晶格取向、缺陷、雜質(zhì)等因素,都會影響扭秤與吸引質(zhì)量表面的電荷分布,從而產(chǎn)生干擾力矩[56].為減小靜電干擾,對扭秤與吸引質(zhì)量進行表面鍍金,以及在吸引質(zhì)量表面增加一層10μm厚的鈹銅膜,使電荷分布更均勻.另外,還在扭秤與吸引質(zhì)量之間插入30μm厚的屏蔽膜,并利用合金鋁屏蔽罩對吸引質(zhì)量及轉(zhuǎn)軸進行全封閉屏蔽,以隔離吸引質(zhì)量的電荷對扭秤的直接作用.實驗過程中對扭秤與屏蔽膜之間的電勢差進行高精度測量與補償,平均電勢的補償精度優(yōu)于1 mV.

3.2 閉環(huán)扭秤系統(tǒng)及其力矩噪聲

實驗中扭秤到屏蔽膜的間距只有200μm,近距離下殘余電荷的作用使扭秤處于不穩(wěn)定狀態(tài),需要通過電容極板進行比例-積分-微分控制(proportional-integral-differential feedback,PID),使扭秤偏轉(zhuǎn)角基本保持不動,即工作在閉環(huán)狀態(tài).為得到控制電壓對扭秤產(chǎn)生的力矩,以周期Tc=400 s連續(xù)轉(zhuǎn)動一個銅柱作為引力源來標(biāo)定扭秤的靈敏度.通過選擇合適的初始轉(zhuǎn)角,使標(biāo)定信號的相位?c=0,則運動方程為

其中τccos(ωct)是待測的標(biāo)定力矩,扭絲回復(fù)系數(shù)k=(8.05±0.06)×10?9Nm/rad,系統(tǒng)品質(zhì)因數(shù)Q=(2552±1),根據(jù)幾何與質(zhì)量參數(shù)計算得到扭秤的轉(zhuǎn)動慣量I=(6.977 ± 0.002)× 10?5kg·m2.從測量數(shù)據(jù)擬合出標(biāo)定頻率處扭秤偏轉(zhuǎn)角的幅值θc,可得對應(yīng)的引力標(biāo)定信號大小為τc=(65.6±2.1)×10?17Nm.

在反饋控制狀態(tài)下,閉環(huán)扭秤系統(tǒng)的運動方程為

其中ke為正對扭秤的屏蔽膜表面電勢導(dǎo)致的等效負(fù)剛度,β是控制電壓與力矩之間的系數(shù).根據(jù)扭秤偏轉(zhuǎn)角θ計算PID控制電壓比例、積分、微分項的控制參數(shù)kp,ki,kd根據(jù)實驗狀態(tài)設(shè)定.另外兩個待定參數(shù)ke和β則根據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)對引力標(biāo)定信號的響應(yīng)求出,

根據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù),記錄反饋控制電壓,可求出作用到扭秤上的力矩,再提取關(guān)注頻率上的待測信號.

扭秤非常靈敏,容易受到各種因素的干擾,通過選擇良好的實驗環(huán)境,采取高真空、恒溫、隔震、電磁屏蔽等措施,可以有效地降低大部分干擾.當(dāng)外部干擾降到足夠低的水平時,扭秤的力矩噪聲會達(dá)到熱噪聲極限.在高真空下扭秤的阻尼主要源于扭絲的內(nèi)部耗散,稱為結(jié)構(gòu)阻尼,根據(jù)漲落耗散定理,扭秤熱噪聲的力矩功率譜密度為[57]

式中kB是玻爾茲曼常數(shù),T是環(huán)境溫度.結(jié)構(gòu)阻尼的特點是其力矩噪聲功率密度與頻率成反比,在高頻處力矩?zé)嵩肼暩?另一方面,由于慣性作用,扭秤在高頻處的角位移響應(yīng)非常小,此時角度探測噪聲成了最主要的噪聲源.實驗測得閉環(huán)扭秤系統(tǒng)的力矩功率譜密度如圖3所示,在mHz附近接近熱噪聲極限,高頻處受限于自準(zhǔn)直儀的角度探測噪聲,中間的峰是引力標(biāo)定信號.實驗時將待測信號頻率設(shè)定到噪聲最低的位置上.

圖3 閉環(huán)扭秤的力矩噪聲功率譜密度Fig.3.Power spectrum density of the torque acting on the torsion balance.

3.3 靜電屏蔽膜的干擾

為降低靜電干擾,通過源表在屏蔽膜上施加電壓來補償它與扭秤之間的殘余電勢.但實驗表明,補償后仍然存在較大的靜電作用,原因是電荷的空間分布有漲落,施加固定的電壓無法同時補償表面各處的勢差[58,59].檢驗鎢片與屏蔽膜可以近似成平行板電容器,電容器面積S=(1.7537±0.0001)cm2為鎢片面積,U為扭秤與膜之間的電勢差,d為鎢片表面到膜的間距,L=(38.04±0.01)mm為鎢片中心到扭絲的距離,則檢驗質(zhì)量鎢片與屏蔽膜之間的靜電作用力矩為

因此,無論電勢差U的波動還是間距d的變化都會對扭秤產(chǎn)生變化的力矩,從而干擾實驗結(jié)果.若電勢差U隨時間波動為?U,則對扭秤產(chǎn)生的力矩波動為

實驗中用源表補償扭秤與屏蔽膜的電勢差,其電壓噪聲小于10在實驗間距下貢獻(xiàn)的力矩噪聲小于扭秤的本征噪聲.當(dāng)扭秤與屏蔽膜的間距變化δd時,扭秤受到的靜電力矩的變化量為

靜電屏蔽膜穩(wěn)定性引起的干擾力矩與扭秤到屏蔽膜間距d的立方成反比,與間距的波動量δd成正比,需要對其進行實驗研究與排除.

實驗采用一個表面平整的鍍金玻璃圓盤代替真正的吸引質(zhì)量,由于圓盤表面平整,在轉(zhuǎn)動過程中不會對扭秤產(chǎn)生8ω的牛頓與非牛頓引力信號.但當(dāng)用自準(zhǔn)直儀測量屏蔽膜的晃動時,發(fā)現(xiàn)圓盤轉(zhuǎn)動過程中膜的位置穩(wěn)定性受到明顯擾動,基頻大小為(7.3±0.2)μrad,8倍頻大小為(120±10)nrad,對應(yīng)的間距波動約為5 nm.在此狀態(tài)下測量扭秤的響應(yīng),發(fā)現(xiàn)明顯的干擾信號,其中基頻力矩τω=(45±22)×10?15Nm,8倍頻τ8ω=(93± 45)×10?17Nm,比實驗?zāi)繕?biāo)高了約2個量級.

靜電屏蔽膜位置穩(wěn)定性變差的原因是它與吸引質(zhì)量驅(qū)動單元安裝在同一個底盤上,轉(zhuǎn)軸與轉(zhuǎn)臺不同軸導(dǎo)致轉(zhuǎn)動過程中出現(xiàn)周期性變化的應(yīng)力,使屏蔽膜產(chǎn)生微小運動.為此我們減小靜電屏蔽膜與吸引質(zhì)量的機械耦合,以及轉(zhuǎn)軸與驅(qū)動轉(zhuǎn)臺之間的應(yīng)力,膜的位置穩(wěn)定性得到顯著提高.重新驅(qū)動吸引質(zhì)量旋轉(zhuǎn)并監(jiān)測膜的穩(wěn)定性,晃動的基頻信號降到(11±5)nrad,8倍頻信號降到儀器噪聲水平(1.7±1.8)nrad,改善近2個數(shù)量級,滿足實驗要求.在此狀態(tài)下測試結(jié)果表明8倍頻處未出現(xiàn)明顯的干擾力矩,在2 mHz附近扭秤基本達(dá)到熱噪聲水平,積累5天數(shù)據(jù)表明8ω力矩結(jié)果為(1.4±1.6)×10?17Nm,主要受限于扭秤的隨機噪聲,延長測量時間可以進一步提高精度.從以上結(jié)果可以看出靜電屏蔽膜的穩(wěn)定性在近距離牛頓反平方定律檢驗中是一項非常關(guān)鍵的干擾因素,在高精度檢驗實驗中必須給予足夠的重視.

3.4 “非零”實驗檢驗系統(tǒng)誤差

根據(jù)“零”實驗設(shè)計,吸引質(zhì)量對扭秤的牛頓引力矩8倍頻與16倍頻分量在誤差范圍內(nèi)接近零,但沿特定方向改變其相對位置后,8倍頻與16倍頻牛頓力矩會明顯增大,利用這一變化規(guī)律可以檢驗實驗裝置是否存在系統(tǒng)誤差.根據(jù)各部件的實際測量參數(shù),可以計算出當(dāng)吸引質(zhì)量中心沿x軸錯開時,作用到扭秤上的牛頓力矩變化如圖4所示,圖中上半部分是8倍頻力矩,下半部分是16倍頻力矩,灰色帶寬表示考慮各參量的誤差后理論上牛頓力矩的范圍,其不確定度的置信水平均為2σ.同時,在相應(yīng)位置上用扭秤測量到的力矩則是圖中的黑點,可以發(fā)現(xiàn)實際測量結(jié)果與根據(jù)幾何參量計算得到的牛頓力矩理論值在誤差范圍內(nèi)符合,充分說明整套實驗裝置的設(shè)計與加工組裝均與預(yù)期一致,各參量均滿足實驗要求.

圖4 非“零”實驗的8倍頻與16倍頻力矩與理論值比較Fig.4.Torques measured as a function of the displacement of the source mass along x-axis.

3.5 “零”實驗結(jié)果

對于牛頓反平方定律Yukawa形式的破缺,當(dāng)距離增大時破缺效應(yīng)呈e指數(shù)衰減,對比不同間距的測量結(jié)果可以進一步提高實驗的可靠性,為此分別在檢驗質(zhì)量與吸引質(zhì)量間距為295,695與1095μm下進行實驗.由于實驗需要極高的力矩分辨率,為了減小隨機噪聲,需要進行長時間數(shù)據(jù)積累,其中在295μm處積累了約80天數(shù)據(jù),在695μm與1095μm處分別積累了約50天數(shù)據(jù).間距為295μm的實驗是檢驗非牛頓引力效應(yīng)的主要實驗,扣除殘余牛頓力矩后,剩余的8倍頻力矩為:

其中τin是與待測破缺信號相位相同的分量,τqu是其正交分量,誤差的置信水平均為1σ;下標(biāo)stat表示力矩的隨機誤差,下標(biāo)syst表示系統(tǒng)誤差,其主要來源是殘余牛頓力矩誤差.實驗結(jié)果在95%置信水平下與零符合,即沒有出現(xiàn)新的相互作用,牛頓反平方定律在此精度下仍然成立.

在間距295,695與1095μm下,扭秤測量的8倍頻力矩扣除殘余牛頓效應(yīng)之后,結(jié)果如圖5所示,圖中圓點表示每5個吸引質(zhì)量轉(zhuǎn)動周期的分段數(shù)據(jù)提取出的力矩大小,方塊是整組數(shù)據(jù)的平均值及其2σ誤差,右下角的數(shù)據(jù)分別是正交分量與同相分量的中心值.可以看出,在2σ誤差范圍內(nèi),不同間距下的力矩測量結(jié)果均為零結(jié)果,并相互符合,充分說明在實驗精度下沒有出現(xiàn)牛頓反平方定律的破缺效應(yīng).

圖5 不同間距下的實驗結(jié)果Fig.5.In phase and quadrature components of the torques measured at different separations.

3.6 實驗結(jié)果對Yukawa非牛頓引力的限制

實驗采用扭秤與吸引質(zhì)量間距為295μm處力矩的同相分量τin給出對牛頓反平方定律Yukawa形式破缺的限制.由于實驗測得8倍頻力矩為零結(jié)果,把測量結(jié)果作為Yukawa力矩τY的上限,可以得到作用程λ與作用強度α的關(guān)系為

結(jié)合扭秤與吸引質(zhì)量各部件的形狀、位置、密度等參量可給出實驗結(jié)果在不同的λ上對α的限制,從而繪出α-λ圖.將測量結(jié)果的同相分量τin的中心值與誤差按平方和合成,并取2σ,可得在95%的置信水平上Yukawa破缺力矩上限為

由此可以得到實驗結(jié)果對Yukawa破缺的限制,如圖6所示,圖中右上角的淺色區(qū)域表示牛頓反平方定律仍然成立的區(qū)域,左下角空白區(qū)域是有待更高精度實驗進行檢驗的區(qū)域.本實驗未發(fā)現(xiàn)反平方定律破缺的信號,在λ為70—300μm區(qū)間給出國際上檢驗精度最高的限制,在λ>59μm的區(qū)間,實驗允許的破缺強度|α|6 1.

圖6 實驗結(jié)果對Yukawa破缺限制的α-λ圖Fig.6.Constraints on the Yukawa-type violation of ISL.

4 微米范圍檢驗非牛頓引力

在微米及以下間距進行非牛頓引力實驗檢驗面臨著兩個主要困難:1)當(dāng)作用程一定時,非牛頓引力隨間距呈e指數(shù)衰減,作用程越短,能夠貢獻(xiàn)非牛頓引力效應(yīng)的體積越有限,非牛頓引力信號越弱;2)Casimir力和靜電力的干擾越來越大,成為主要的背景相互作用.目前,此間距的眾多檢驗通過精確測量Casimir力,然后從理論上扣除Casimir力和靜電力理論值后給出對非牛頓引力的限制.然而,目前對Casimir力和靜電力的理論計算仍存在爭議[60],因此進行不依賴于Casimir力理論計算模型的實驗檢驗將非常有意義.

4.1 實驗原理與裝置

在微米間距我們采用懸臂梁作為弱力傳感器進行一個不依賴于Casimir力和靜電力理論計算模型的實驗檢驗[30,61],實驗原理如圖7(a)所示.檢驗質(zhì)量探針為粘有金球的懸臂梁,該探針垂直于吸引質(zhì)量表面放置,用于測量金球所受到的水平力的變化,而對垂直方向受力不靈敏,懸臂梁的位移由自制的光纖干涉儀[62]測量得到.吸引質(zhì)量采用密度調(diào)制設(shè)計,即由大密度(金)和小密度(硅)的質(zhì)量塊相間組成,為了消除Casimir力和靜電力的影響,在密度調(diào)制結(jié)構(gòu)的表面蒸鍍一層均勻、平整的金膜.當(dāng)驅(qū)動吸引質(zhì)量在y方向運動時,金球?qū)⑹艿揭粋€周期變化的引力,其中牛頓引力比探針熱噪聲小很多,可直接忽略,如存在大于實驗測量噪聲水平的非牛頓引力將被實驗探測到.

待檢驗效應(yīng)為金球受到的非牛頓引力,可通過計算每個質(zhì)量塊與金球之間的力,然后疊加得到,即

其中ρj為第j塊吸引質(zhì)量塊的密度,ρt為金球密度,r=|rt?rj|為金球體積元dVt與質(zhì)量塊體積元dVj之間的距離.

若在吸引質(zhì)量表面(x,y)處,金球受力為F(x,y),當(dāng)吸引質(zhì)量以y0+Adcos(ωdt)做簡諧運動時,金球?qū)⑹艿揭粋€隨時間變化的力,其在n倍頻的貢獻(xiàn)為:

其中f(x0,k)為F(x0,y)的傅里葉變換結(jié)果;(x0,y0)為吸引質(zhì)量平衡位置;k=2π/Λ為空間角頻率,Λ為密度調(diào)制周期;Ad為吸引質(zhì)量的運動振幅;ωd為驅(qū)動角頻率;Jn(kAd)為n階貝塞爾函數(shù);l為整數(shù).由(16)和(17)式可知,n倍頻信號與驅(qū)動信號或者同相,或者反相.綜合考慮PZT位移臺運動范圍等因素,實驗選擇將非牛頓引力信號調(diào)制到8倍頻,通過選擇合適大小的驅(qū)動振幅Ad,可使8倍頻處的非牛頓引力信號達(dá)到最大化.由(16)式可知8倍頻信號隨平衡位置y0周期變化,變化周期為密度調(diào)制周期Λ,因此可在一個調(diào)制周期內(nèi)進行測量來檢驗是否存在非牛頓引力.

實驗在一臺超高真空掃描探針顯微鏡上進行,其真空系統(tǒng)由快速進樣室、樣品制備室和SPM室(scanning probe microscope,SPM)三部分組成,其中樣品制備室與SPM室的真空度優(yōu)于4×10?10mbar,樣品制備室安裝有離子槍、熱蒸發(fā)源和樣品加熱臺,可對樣品進行離子束轟擊、熱蒸發(fā)鍍金膜和真空退火等處理.整個平臺支撐在四個氣浮隔振腿上,用于隔離地面振動.SPM掃描頭是實驗核心測量裝置,由三根彈簧懸掛安裝在SPM室中,它由固定在鈦框架上的探針單元、吸引質(zhì)量及其驅(qū)動單元和激光干涉測距單元組成,如圖7(b)所示.激光干涉測距單元中的聚焦探頭安裝在3個堆疊的納米位移臺上,可分別沿x,y,z軸運動,將激光聚焦到懸臂梁的反射板上,實現(xiàn)懸臂梁的位移測量.吸引質(zhì)量驅(qū)動單元由6個納米位移臺層疊組裝而成,自下而上依次為z,x,y步進位移臺、xyz掃描位移臺、y掃描位移臺和傾斜調(diào)節(jié)臺.3個步進位移臺可實現(xiàn)吸引質(zhì)量與檢驗質(zhì)量相對位置的粗調(diào)節(jié),xyz掃描位移臺可以驅(qū)動吸引質(zhì)量在x,y,z三個方向精細(xì)移動,實現(xiàn)掃描探針顯微鏡的功能.y掃描位移臺為一大量程線性位移臺,在室溫下運動范圍為80μm,用于驅(qū)動吸引質(zhì)量做簡諧運動.傾斜調(diào)節(jié)臺可調(diào)節(jié)吸引質(zhì)量繞x軸轉(zhuǎn)動,使得吸引質(zhì)量表面與y掃描位移臺的運動軸平行,從而在吸引質(zhì)量振動時保持檢驗質(zhì)量與吸引質(zhì)量間的距離不變.探針單元由插槽和固定在插片上的探針組成.針對不同的用途,設(shè)計了兩種探針:ISL探針和q-plus探針.使用q-plus探針可實現(xiàn)原子力顯微鏡(atomic force microscopy,AFM)表面形貌成像;使用ISL探針可進行非牛頓引力實驗檢驗,也可作為開爾文探針獲得吸引質(zhì)量表面的電勢分布.

圖7 (a)實驗原理示意圖,尺寸不成比列;(b)SPM掃描頭設(shè)計圖Fig.7.(a)Schematic diagram of the experiment,dimensions are not in scale;(b)design of the scanning probe microscope head.

金球與吸引質(zhì)量間的間距采用隧道電流法設(shè)定,即將金球與吸引質(zhì)量間隧道電流達(dá)到200 pA時的位置設(shè)置為“接觸位置”,然后從“接觸位置”通過xyz掃描位移臺驅(qū)動吸引質(zhì)量遠(yuǎn)離金球特定的距離來設(shè)定間距.金球到密度調(diào)制結(jié)構(gòu)的總距離包括PZT驅(qū)動位移、間距設(shè)定過程中懸臂梁受力彎曲導(dǎo)致的位移修正、吸引質(zhì)量表面金膜厚度和二氧化硅層的厚度.吸引質(zhì)量表面與y掃描位移臺運動軸的夾角可通過傾斜調(diào)節(jié)臺控制到小于1 mrad.檢驗質(zhì)量探針相對吸引質(zhì)量的姿態(tài)在掃描頭安裝過程中進行了很好的控制.實驗選擇用正弦信號驅(qū)動吸引質(zhì)量運動,驅(qū)動頻率為2.1 Hz,振幅為18.44(16)μm.

4.2 檢驗質(zhì)量探針與弱力測量噪聲

檢驗質(zhì)量金球采用氫氧焰熔融直徑約10μm的高純金絲制備,將其黏在氮化硅懸臂梁末端制成檢驗質(zhì)量探針,圖8為探針的掃描電子顯微鏡(scanning electron microscope,SEM)圖.為了獲得更小的懸臂梁彈性系數(shù),采用聚焦離子束刻蝕(focused ion beam etching,FIBE)將購買的懸臂梁寬度減小,刻蝕后的懸臂梁柔性部分長76.6(4)μm,寬5.2(2)μm,反射板長27.2(3)μm,寬24.6(3)μm.金球半徑為13.7(1)μm,在把金球從金絲切下時保留一段金絲用于操作金球,該段金絲長145(2)μm,直徑為8.8(3)μm.為了將金球良好接地,探針傳入樣品制備室后,在正反兩面各鍍上20 nm厚的金導(dǎo)電層.

圖8 檢驗質(zhì)量探針SEM圖Fig.8.SEM images of the assembly of the test mass and the cantilever.

懸臂梁的位移由光纖干涉儀測量得到,即y=SintVint,其中Sint為干涉儀的靈敏度系數(shù),由干涉條紋曲線標(biāo)定給出,Vint為干涉光強轉(zhuǎn)化的電壓信號.懸臂梁在外力驅(qū)動下的位移響應(yīng)函數(shù)為

其中Fext(ω)為作用在探針上的外力.由于激光光場和懸臂梁的耦合作用,懸臂梁的共振頻率和品質(zhì)因數(shù)都會被光場改變,ωeff和Qeff為光力耦合作用下懸臂梁的有效共振頻率和品質(zhì)因數(shù);為懸臂梁固有共振頻率;keff為有效彈性系數(shù);m為有效質(zhì)量.通過測量懸臂梁一階共振峰的ωeff,Qeff隨激光光強的變化,然后外推出無光時可得到懸臂梁的固有共振頻率f0=189.20(2)和固有品質(zhì)因數(shù)Q0=319(7).由于待測信號頻率為16.8 Hz,遠(yuǎn)小于懸臂梁的共振頻率,因此懸臂梁的位移響應(yīng)近似為y=Fext/keff,金球受力可由計算.

探針的有效彈性系數(shù)keff可通過測量探針位移譜給出.考慮探針結(jié)構(gòu)復(fù)雜,我們根據(jù)SEM實測的探針尺寸,用有限元分析的方法計算了探針的振動傳遞函數(shù),如圖9中短虛線所示.通過唯一調(diào)節(jié)懸臂梁厚度參數(shù),讓計算得到的一階和二階振動的本征頻率都與測量的共振頻率在1%誤差范圍內(nèi)符合,可得到探針的有效彈性系數(shù)keff=1.3(2)mN/m,采用的懸臂梁厚度參數(shù)為216 nm,比標(biāo)稱值(200 nm)略大.

圖9 探針位移譜曲線Fig.9.The displacement spectral density of the cantilever.

探針弱力測量水平主要由兩方面決定:探針熱噪聲和干涉儀位移測量噪聲.在待測信號頻率處,自制的激光干涉儀位移噪聲本底為對應(yīng)的力的測量噪聲約為考慮光力耦合作用和懸臂梁的內(nèi)部阻尼,探針的熱噪聲可表示為

其中ks為懸臂梁柔性部分彈性系數(shù),由有限元分析計算得到ks=8.8(1)mN/m;Teff為光力耦合作用下探針的有效溫度,可根據(jù)能量均分定理,由計算得到,其中ys為懸臂梁柔性部分末端的熱激發(fā)振動位移.有效品質(zhì)因數(shù)可通過擬合探針位移譜中的共振峰得到Qeff=112.根據(jù)獲得的參數(shù)由(18)和(19)式計算得到圖9中長虛線對應(yīng)的理論熱噪聲曲線.圖9顯示:在待測信號頻率處測力的總噪聲為4.5約為光纖干涉儀噪聲與探針熱噪聲貢獻(xiàn)之和.

4.3 密度調(diào)制吸引質(zhì)量

密度調(diào)制吸引質(zhì)量由密度不同的金條和硅條組成,基于SOI(silicon on insulator)硅片制備.SOI硅片由3.3μm的器件層、400μm的體硅層和夾在之間60 nm厚的SiO2層組成,構(gòu)成“三明治”結(jié)構(gòu).制備過程中,首先采用光刻技術(shù)和反應(yīng)離子深刻蝕(deep reactive ion etching,DRIE)在器件層刻蝕出周期排列的槽,槽寬6.3(2)μm、深3.3(1)μm、周期12.2(3)μm,然后采用電鍍法將溝槽填充金,形成金-硅密度調(diào)制結(jié)構(gòu),如圖10(a)所示.將制備好的金-硅密度調(diào)制結(jié)構(gòu)用紫外膠粘到石英玻璃塊上,再采用機械研磨拋光和DRIE將體硅層刻蝕掉,露出平整的SiO2層表面.由于DRIE刻蝕Si和SiO2的速度比大于100:1,SiO2層作為刻蝕停止層保證了吸引質(zhì)量的表面平整度.為了使表面電子性質(zhì)均勻,吸引質(zhì)量傳入樣品制備室后,首先用離子束轟擊清潔表面,然后再在表面上蒸鍍一層金膜.原子力顯微鏡測量結(jié)果顯示制備的吸引質(zhì)量表面隨密度調(diào)制結(jié)構(gòu)的平均起伏被控制在約3 nm,如圖10(b)所示.

圖10 (a)吸引質(zhì)量SEM截面圖;(b)吸引質(zhì)量AFM表面形貌圖(46μm×46μm)Fig.10.(a)SEM image of the source mass cross-section after electroplating;(b)AFM image taken on the source mass with 500 nm thick of gold coating and then thermal annealing.Image size:46μm×46μm.

4.4 Patch靜電力干擾

在微米間距實驗中,靜電力是一項主要的實驗干擾,由于吸引質(zhì)量表面存在不均勻電荷分布(Patch電荷),靜電力無法通過施加單一電壓進行補償,只能盡可能地制備電子性質(zhì)均勻的吸引質(zhì)量表面來減小該項干擾.圖11(a)是檢驗質(zhì)量-吸引質(zhì)量間距為640 nm時測得的探針位移譜曲線,結(jié)果顯示在驅(qū)動頻率倍頻處有信號峰.為了甄別這些信號的來源,在間距約為3μm時我們進行了以下對照實驗:1)吸引質(zhì)量靜止,結(jié)果如圖11(c)所示,在驅(qū)動頻率倍頻處未發(fā)現(xiàn)信號峰;2)驅(qū)動吸引質(zhì)量振動,在基頻和2倍頻處出現(xiàn)干擾信號,未在其他倍頻處發(fā)現(xiàn)信號,如圖11(b)所示.基頻和2倍頻處的信號應(yīng)該為吸引質(zhì)量振動耦合到探針上引起,該信號隨頻率升高而衰減,未在更高倍頻出現(xiàn).通過對照實驗,可推測在間距為640 nm時觀測到的信號峰應(yīng)與檢驗質(zhì)量與吸引質(zhì)量間的相互作用有關(guān).

圖11 探針位移譜密度曲線 (a)吸引質(zhì)量運動,間距640 nm;(b)吸引質(zhì)量運動,間距約3μm;(c)吸引質(zhì)量靜止Fig.11.The displacement spectral density when the source mass is(c)at rest,or oscillating at a distance of(b)～3μm,(a)640 nm away from the test mass.

圖12 金球到密度調(diào)制結(jié)構(gòu)間距相同的情況下,不同金膜厚度和處理下測得的8倍頻信號的二維分布圖 (a)150 nm;(b)300 nm;(c)400 nm;(d)500 nm;(e)500 nm(150?C退火12 h)Fig.12.2D maps of the force signal at 8fd.Thickness of gold coating:(a)150 nm;(b)300 nm;(c)400 nm;(d)500 nm;(e)the source mass is further annealed at 150?C for 12 h.

為了進一步研究觀測到的信號是由非牛頓引力還是其他干擾信號引起,我們測量了8倍頻信號的二維分布圖.測量方法為:保持檢驗質(zhì)量與吸引質(zhì)量間距不變,在二維平面內(nèi)的不同平衡位置進行8倍頻信號的測量,即驅(qū)動吸引質(zhì)量相對該平衡位置振動,采集懸臂梁位移的時序信號,提取信號的8倍頻振幅并轉(zhuǎn)換成力信號,由此獲得8倍頻信號的二維分布圖,如圖12所示.

圖12(a)為吸引質(zhì)量表面鍍金層為150 nm時獲得的結(jié)果,可以看到8倍頻信號呈條帶分布,且條帶的周期與密度調(diào)制周期一致,類似分布花樣既可由非牛頓引力導(dǎo)致,也可由受調(diào)制結(jié)構(gòu)影響的靜電力導(dǎo)致.為了減小調(diào)制結(jié)構(gòu)對表面電荷分布的影響,實驗逐步增加表面鍍金層的厚度至300,400和500 nm,并在保持金球到密度調(diào)制結(jié)構(gòu)間距不變的情況下測量8倍頻信號的二維分布圖.實驗發(fā)現(xiàn)隨著金膜厚度的增加,8倍頻信號分布與調(diào)制結(jié)構(gòu)的相關(guān)性逐漸降低.由于金球到密度調(diào)制結(jié)構(gòu)間距不變(905(54)μm),非牛頓引力效應(yīng)大小不變,因此8倍頻信號分布的改變應(yīng)由靜電力或表面電荷分布改變導(dǎo)致.雖然8倍頻信號未再呈現(xiàn)明顯的條帶結(jié)構(gòu),但信號漲落大小基本未改變,其標(biāo)準(zhǔn)偏差分別為12.6 fN(150 nm),10.7 fN(300 nm),10.6 fN(400 nm)和12.5 fN(500 nm),說明表面電荷漲落的程度未改變.為了進一步減小表面電荷的不均勻分布,對金膜厚度為500 nm的吸引質(zhì)量進行了退火處理,通過在150?C退火12 h,8倍頻信號趨于隨機分布,隨位置的漲落也減小為7.6 fN,如圖12(e)所示.由此可見,隨著金膜厚度的增加和后期的退火處理,8倍頻信號趨于隨機分布,且信號漲落減小,這些規(guī)律與由表面隨機電荷分布導(dǎo)致的靜電力影響預(yù)期是相符的.

此外,需指出的是本實驗Casimir力的貢獻(xiàn)遠(yuǎn)小于測量到的信號大小.對于實驗測量的最小面間距354(38)nm,采用近鄰力近似(proximity force approximation,PFA)估算理想導(dǎo)體間的Casimir力為0.76 fN,小于所測量的信號,而且實驗發(fā)現(xiàn)8倍頻信號漲落隨間距的變化呈1/d0.6衰減,不符合Casimir力隨間距變化的特性.以上結(jié)果表明Patch靜電力可能為8倍頻信號的主要來源,也是限制本實驗檢驗精度的主要原因.下面將采用吸引質(zhì)量退火處理后獲得的靜電力干擾最小的實驗數(shù)據(jù),在不進行Casimir力和靜電力背景扣除的情況下,采用最似然估計法給出對非牛頓引力的限制.

4.5 實驗結(jié)果對Yukawa型非牛頓引力的限制

為了充分利用二維分布數(shù)據(jù)中所有實驗數(shù)據(jù),可采用最似然估計法來給出對非牛頓引力的限制.對于二維圖中每個格點對應(yīng)的實驗測量值,可以認(rèn)為是對相互作用強度為α,作用程為λ的Yukawa力理論值的測量,假設(shè)其測量結(jié)果滿足正則分布,則在吸引質(zhì)量表面(xi,yi)處測量值為的概率可表示為

其中y00為理論與實驗的位置偏置;總不確定度為,為力的測量不確定度,包括統(tǒng)計誤差、探針的彈性系數(shù)誤差、干涉儀靈敏度誤差的貢獻(xiàn);為理論計算值的不確定度,主要由吸引質(zhì)量與檢驗質(zhì)量的尺寸、密度、相對角度、實驗間距等測量誤差導(dǎo)致的不確定度.對于相互作用強度為α,作用程為λ的Yukawa力,實驗所測得的二維圖與理論預(yù)期的二維圖相似的條件概率為

其中A為歸一化系數(shù).

基于退火處理后獲得的實驗數(shù)據(jù),計算得到概率分布函數(shù)P(y00,α,λ),如圖13所示.理論與實驗匹配最好時,相似概率最大,對應(yīng)的α值為最似然值.對y00積分可得到相似概率隨α的變化曲線,為獲得95%置信水平下實驗對非牛頓引力作用強度的限制,可計算總概率為95%時對應(yīng)的α值范圍的上限.對不同的λ值,均可分析得到95%置信水平的α值上限,由此可得到實驗結(jié)果對Yukawa型非牛頓引力的限制,如圖14中藍(lán)色曲線所示.本實驗獲得的結(jié)果與Yale大學(xué)的Casimir實驗結(jié)果相比,不需要進行Casimir力和靜電力背景扣除,具有更高的可信度,該結(jié)果也是此間距下不依賴于Casimir力和靜電力理論計算模型的兩個結(jié)果之一.

圖13 λ=1.0μm時,相似概率隨α和y00的分布Fig.13.Probability function as a function of α and y00for λ =1 μm.

圖14 實驗結(jié)果對非牛頓引力限制的α-λ圖Fig.14.Constraints on the Yukawa-type forces.The heavy solid line(blue)shows result from this work.

5 總結(jié)與展望

在近距離下對牛頓反平方定律進行高精度的實驗檢驗有助于加深人們對引力的理解,并尋找可能存在的新相互作用.牛頓反平方定律的實驗檢驗最早可追溯到1789年,至今已有很多研究組都對此進行了深入研究.華中科技大學(xué)引力中心長期從事這方面的研究,分別在毫米、亞毫米和微米范圍進行了高精度的實驗檢驗,2012年在毫米范圍給出了對反平方定律破缺最強的限制.近年來,我們在亞毫米范圍利用精密扭秤采用密度調(diào)制的方法,實現(xiàn)了當(dāng)前最高精度的檢驗,實驗結(jié)果未發(fā)現(xiàn)反平方定律的破缺信號,在作用程λ為70—300μm的區(qū)間給出了國際上最強的限制.在微米范圍利用原子力顯微鏡采用懸臂梁作為弱力傳感器,通過測量金球和密度調(diào)制結(jié)構(gòu)吸引質(zhì)量間水平力的變化來檢驗非牛頓引力是否存在,在95%的置信水平下給出了對Yukawa型非牛頓引力的限制,該實驗結(jié)果不需要進行Casimir力和靜電力背景扣除,具有更高的可信度.

至今,所有的實驗檢驗都未發(fā)現(xiàn)牛頓反平方定律的破缺,或存在新的相互作用,實驗結(jié)果僅給出了對相關(guān)理論參數(shù)的限制,新的參數(shù)空間的探索需要更高精度的實驗檢驗.目前限制檢驗精度的一個重要因數(shù)來自靜電力干擾,如在亞毫米范圍實驗中的屏蔽膜靜電干擾,在微米間距實驗中吸引質(zhì)量表面Patch靜電力干擾.要實現(xiàn)更高精度的實驗檢驗,一般可從以下幾個方面著手:增大檢驗質(zhì)量與吸引質(zhì)量的面積,從而增強待測的非牛頓引力信號;進一步壓制各種干擾效應(yīng),比如亞毫米間距的牛頓引力效應(yīng)、屏蔽膜靜電干擾等,微米間距的背景Casimir力和Patch靜電力干擾等;當(dāng)干擾效應(yīng)暫時不再是主要限制因素時,需提高力或力矩的測量精度,可選擇進行低溫實驗降低熱噪聲,或采用新的技術(shù),如光懸浮微球或利用光力學(xué)等精密測量技術(shù).

在近距離下進行牛頓反平方定律的實驗檢驗是華中科技大學(xué)引力中心眾多師生和工作人員共同努力的成果,作者感謝他們的支持與貢獻(xiàn);作者感謝中國科學(xué)院理論物理研究所張元仲研究員、俄羅斯莫斯科大學(xué)Sternberg天文研究所Milyukov Vadim教授、美國加州大學(xué)Irvine分校Newman Riley教授、馬里蘭大學(xué)Paik Ho Jung教授、中國香港科技大學(xué)陳浩斌教授等的討論與建議;感謝華中科技大學(xué)、物理學(xué)院的大力支持;感謝兄弟院校與同行專家的支持.