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    反比例函數(shù)圖像的一個(gè)美妙性質(zhì)

    2018-09-10 07:38:00張偉俊
    初中生世界·八年級 2018年7期
    關(guān)鍵詞:反比例直角坐標(biāo)情形

    張偉俊

    一、題目與解答

    【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的頂點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,頂點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上.反比例函數(shù)y=[kx](k>0,x>0)的圖像經(jīng)過矩形OABC的對角線OB上的點(diǎn)P(2,1).

    (1)求k的值;

    (2)當(dāng)AD=[12]時(shí),求CE的長.

    (3)若點(diǎn)B的坐標(biāo)為(a,b)且a>2,隨著a的變化,[BDBA]與[BEBC]的值是否一定相等?為什么?

    【解】(1)∵雙曲線y=[kx](k>0,x>0)經(jīng)過點(diǎn)P(2,1),∴k=2.

    (2)設(shè)直線OB的解析式為y=mx.∵直線y=mx經(jīng)過點(diǎn)P(2,1),∴m=[12],即直線OB的解析式為y=[12]x.∵AD=[12],∴YD=[12](即D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為[12],下同).把YD=[12]代入y=[2x],得XD=4,∴XB=XD=4(即x點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4,下同).把XB=4代入y=[12]x,得YB=2,∴YE=YB=2.把YE=2代入y=[2x],得XE=1,∴CE=1.

    (3)一定相等.理由:∵點(diǎn)B(a,b)在直線y=[12x上,]∴[b=12a,]∴XA=XD=XB=a,YC=YE=YB=

    [12a],把XD=a代入y=[2x],得YD=[2a].把YE=[12a]代入y=[2x],得XE=[4a],∴[BDBA]=[YB-YDYB-YA]=[12a-2a12a-0]=[a2-4a2],[BEBC]=[XB-XEXB-XC=][a-4aa-0=a2-4a2],∴[BDBA]=[BEBC].

    【反思】第(3)問中的結(jié)論,能否推廣到一般情形呢?如果推廣到一般情形,該如何表述呢?所表述的結(jié)論是否成立?原因又是什么呢?

    二、拓展與提煉

    【拓展】在平面直角坐標(biāo)系中,反比例函數(shù)y=[kx](k≠0)的圖像外有一點(diǎn)P,過點(diǎn)P作PA⊥x軸于點(diǎn)A,作PB⊥y軸于點(diǎn)B,PA、PB分別交反比例函數(shù)y=[kx](k≠0)的圖像于C、D兩點(diǎn),此時(shí)[PAPC]與[PBPD]的值是否一定相等?為什么?

    【分析】問題中的反比例函數(shù)y=[kx]的比例系數(shù)k≠0,包含k>0和k<0兩種情形.顯然,只要其中一種情形成立了,另一種情形也必然成立,所以不妨重點(diǎn)探討k>0的情形.由于點(diǎn)P是平面直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn),此時(shí)還要考慮點(diǎn)P與反比例函數(shù)y=[kx](k>0)的圖像的相對位置是否有不同的情形.如果有,還需分類討論.嘗試之后,我們可以發(fā)現(xiàn)有以下3種不同的情形(僅考慮相對位置),如圖2-4.

    【解】不妨設(shè)k>0,分圖2-4這3種情形探討(由于篇幅有限,我們就不一一敘述,僅就圖3所示的情形進(jìn)行說明,其他情形同學(xué)們自行證明).設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(a,b),則有XA=XC=XP=a,YB=YD=YP=b,∴有A(a,0),C(a,[ka]),B(0,b),D([kb],b),∴[PAPC]=[YA-YPYC-YP]=[0-bka-b]=[-abk-ab]=[abab-k],[PBPD]=[XP-XBXP-XD]=[a-0a-kb]=[abab-k],∴[PAPC]=[PBPD].

    事實(shí)上,用同樣的方法可以說明在其他兩種情形下,[PAPC]=[PBPD]同樣成立,進(jìn)而說明原結(jié)論可以推廣到一般的情形.

    【追問】[PAPC]=[PBPD]的成立,更深層次地說明了什么?在圖2-4中,分別連接AB、CD,你發(fā)現(xiàn)了什么?如果直線CD與x軸、y軸分別相交于E、F兩點(diǎn),你又能得到什么?(此時(shí)有AB∥CD,CE=DF,你知道為什么嗎?)

    以上的問題請同學(xué)們自主思考.數(shù)學(xué)的解題反思是提升數(shù)學(xué)解題水平的一種重要途徑,希望同學(xué)們能發(fā)揚(yáng)鉆研精神,在解題過程中多提問、多思考、多拓展,努力達(dá)到“解一題,會一類,通一片”的效果.

    (作者單位:江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)湖塘實(shí)驗(yàn)中學(xué))

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