線性斜積半流的一致指數(shù)穩(wěn)定性的若干刻畫

岳田，宋曉秋

(1. 湖北汽車工業(yè)學(xué)院 理學(xué)院， 湖北 十堰 442002； 2. 中國(guó)礦業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院， 江蘇 徐州 221116)

近年來(lái)，關(guān)于有限或無(wú)限維Banach空間中演化方程解的漸近行為研究取得了突破性進(jìn)展，尤其在指數(shù)穩(wěn)定性理論方面，取得了豐富的研究成果[1-14]. 由于在物理學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)中很難找到準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型去刻畫動(dòng)力系統(tǒng)，而其演化過程的解可以形成一個(gè)線性斜積半流，故可借助線性斜積半流來(lái)討論該類發(fā)展方程的指數(shù)漸近行為.關(guān)于線性斜積半流的指數(shù)穩(wěn)定性，MEGAN等利用容許性方法、Datko方法和構(gòu)造函數(shù)空間上的泛函方法對(duì)其進(jìn)行了相關(guān)討論[3-7]；文獻(xiàn)[10-14]對(duì)斜演化半流的指數(shù)穩(wěn)定性進(jìn)行了探討，從而推廣了線性斜積半流的概念.本文將在上述文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，對(duì)Banach空間中線性斜積半流的一致指數(shù)穩(wěn)定性給出Datko、Rolewicz型刻畫及遍歷刻畫.

第1節(jié)給出后文需要的概念；第2節(jié)討論線性斜積半流的一致指數(shù)穩(wěn)定性，并給出了若干一致指數(shù)穩(wěn)定的充分或必要條件，所得結(jié)果推廣了穩(wěn)定性理論中的一些經(jīng)典結(jié)論.

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)X是一個(gè)Banach空間，(Θ,d)為一個(gè)度量空間，將空間X上的范數(shù)及其作用于有界線性算子全體B(X)上的范數(shù)記作‖·‖，I為恒等算子.

定義1[5]如果滿足性質(zhì)：

(i)σ(θ,0)=θ, ?θ∈Θ；

(ii)σ(θ,t+s)=σ(σ(θ,s),t), ?(θ,s,t)∈

則稱連續(xù)映射σ:Θ×R+→Θ為Θ上的半流.

定義2[5]如果σ為Θ上的半流且Φ:Θ×R+→B(X)滿足以下條件：

(i)Φ(θ,0)=I, ?θ∈Θ；

(ii)Φ(θ,t+s)=Φ(σ(θ,t),s)Φ(θ,t),

(iii)存在M≥1和ω>0使得

‖Φ(θ,t)‖≤Meωt,?(θ,t)∈Θ×R+;

(iv)對(duì)所有的(θ,x)∈Θ×X,映射R+t|→Φ(θ,t)x∈X連續(xù)，

則稱π=(Φ,σ)為X×Θ上的線性斜積半流.

例1設(shè)σ為度量空間Θ上的半流，X是一個(gè)Banach空間，A:Θ→B(X)為連續(xù)映射.若Φ(θ,t)x為抽象Cauchy問題:

的解，則π=(Φ,σ)為X×Θ上的線性斜積半流.

定義3如果存在常數(shù)N>0和v>0，使得對(duì)

?(t,θ,x)∈R+×Θ×X，有

‖Φ(θ,t)x‖≤Ne-vt‖x‖，

(1)

則稱線性斜積半流π=(Φ,σ)為一致指數(shù)穩(wěn)定的.

2 主要結(jié)論及其證明

定理1線性斜積半流π=(Φ,σ)是一致指數(shù)穩(wěn)定的當(dāng)且僅當(dāng)存在h>0和c∈(0,1)，使得對(duì)每個(gè)θ∈Θ和每個(gè)x∈X存在τ∈(0,h]，滿足

‖Φ(θ,τ)x‖≤c‖x‖.

(2)

證明必要性顯然. 下證充分性.

設(shè)任一固定的θ∈Θ，x∈X. 由假設(shè)知，存在τ1∈(0,h]，使得式(2)成立. 對(duì)θ1=σ(θ,τ1)和x1=Φ(θ,τ1)x可選擇τ2∈(0,h]，使得

‖Φ(θ1,τ2)x1‖≤c‖x1‖≤c2‖x‖，

由于

Φ(θ1,τ2)x1=Φ(σ(θ,τ1),τ2)Φ(θ,τ1)x=

Φ(θ,τ1+τ2)x,

由數(shù)學(xué)歸納法得

‖Φ(θ,sn)x‖≤cn‖x‖,n∈N.

(3)

若sn→(n→)，則對(duì)每個(gè)t∈[sn,sn+1],有t≤(n+1)h. 從而

‖Φ(θ,t)x‖= ‖Φ(σ(θ,sn),t-sn)Φ(θ,sn)x‖≤

Meωhcn‖x‖≤Me(ω+v)he-vt‖x‖，

如果sn→s(n→)，利用式(3)可得Φ(θ,s)x=0. 當(dāng)t≥s時(shí)，

Φ(θ,t)x=Φ(σ(θ,s),t-s)Φ(θ,s)x=0，

當(dāng)0≤t

綜上可知，對(duì)?(t,θ,x)∈R+×Θ×X，式(1)成立.

證畢！

定理2如果φ,ψ: [0,)→[0,)是2個(gè)非減的函數(shù)，滿足，且對(duì)所有(θ,x)∈Θ×X，有

(4)

則線性斜積半流π=(Φ,σ)是一致指數(shù)穩(wěn)定的.

證明結(jié)合已知條件，利用反證法推出式(2)成立. 如果式(2)不成立，則對(duì)每個(gè)h>0及每個(gè)c∈(0,1)存在x0∈X,‖x0‖=1及θ0∈Θ，使得

‖Φ(θ0,τ)x0‖>c‖x0‖=c

對(duì)所有τ∈(0,h]成立. 從而由式(4)可得，對(duì)所有h>0，有

因此，由L’Hospital法則，有

此矛盾說明式(2)成立. 從而π=(Φ,σ)是一致指數(shù)穩(wěn)定的.

證畢！

推論1若φ(t)滿足定理2的條件，則線性斜積半流π=(Φ,σ)是一致指數(shù)穩(wěn)定的當(dāng)且僅當(dāng)存在2個(gè)常數(shù)α>0和β>0使得對(duì)所有的(θ,x)∈Θ×X有

(5)

證明必要性. 設(shè)存在常數(shù)N>0,v>0，使得‖Φ(θ,t)‖≤Ne-v t對(duì)所有t≥0和θ∈Θ成立，任意固定的α∈(0,v]及β≥N，對(duì)每個(gè)θ∈Θ和每個(gè)x∈X，當(dāng)t>0時(shí)，有

由定理2可知充分性顯然.

證畢！

推論2如果φ(t)滿足定理2的條件，且存在3個(gè)常數(shù)α>0,β>0,γ>0，使得對(duì)所有的(θ,x)∈Θ×X，有

(6)

則線性斜積半流π=(Φ,σ)是一致指數(shù)穩(wěn)定的.

證明利用式(6)，當(dāng)t>0時(shí)有

其中γ=Meω+α，M,ω由定義2給出. 進(jìn)而由推論1可知結(jié)論成立.

證畢!

定理3線性斜積半流π=(Φ,σ)是一致指數(shù)穩(wěn)定的當(dāng)且僅當(dāng)存在非減函數(shù)f(t)>0(t>0)滿足f(ts)≤f(t)f(s) (t,s≥0)及K>0，使得對(duì)所有x∈X和θ∈Θ，有

(7)

證明必要性. 若π=(Φ,σ)是一致指數(shù)穩(wěn)定的，則存在常數(shù)N>0,v>0，使得對(duì)所有x∈X和θ∈Θ，有

因此，當(dāng)f(t)=t,K=N/v時(shí)，式(7)成立.

充分性. 如果π=(Φ,σ)非一致指數(shù)穩(wěn)定，則對(duì)每個(gè)h>0及每個(gè)c∈(0,1),存在x0∈X及θ0∈Θ，使得對(duì)所有τ∈(0,h]，有

‖Φ(θ0,τ)x0‖>c‖x0‖,

(8)

特別地，取h=Kf(3)及c=1/3，由式(8)有

與式(7)矛盾. 因此，π=(Φ,σ)是一致指數(shù)穩(wěn)定的.

證畢!

定理4線性斜積半流π=(Φ,σ)是一致指數(shù)穩(wěn)定的當(dāng)且僅當(dāng)存在非減函數(shù)f(t)>0(t>0)，滿足f(ts)≥f(t)f(s) (t,s≥0)及K>0，使得對(duì)所有x∈X和θ∈Θ， 式(7)成立.

證明必要性. 令f(t)=t即可證得必要性.

充分性. 類似定理3. 由式(8)，對(duì)c∈(0,1)和h=K/f(c)，有

與式(7)矛盾. 因此，π=(Φ,σ)是一致指數(shù)穩(wěn)定的.

證畢!

推論3線性斜積半流π=(Φ,σ)是一致指數(shù)穩(wěn)定的當(dāng)且僅當(dāng)存在p>0及K>0對(duì)所有x∈X和θ∈Θ，有

(9)

推論4若f(t)滿足定理3或定理4的條件，則線性斜積半流π=(Φ,σ)是一致指數(shù)穩(wěn)定的充要條件為存在K>0對(duì)所有x∈X和θ∈Θ，有

(10)

定理5線性斜積半流π=(Φ,σ)是一致指數(shù)穩(wěn)定的當(dāng)且僅當(dāng)存在K>0,λ>0對(duì)所有t>0及?(θ,x)∈Θ×X，有

(11)

證明必要性. 如果π=(Φ,σ)是一致指數(shù)穩(wěn)定的，則由定義，存在N>0,v>0，使得對(duì)?(θ,x)∈Θ×X，有

充分性. 類似定理3的證明. 如果π=(Φ,σ)不是一致指數(shù)穩(wěn)定的，設(shè)h>0滿足eλh>1+3λhK，其中K,λ由式(11)給出，由定理1知，當(dāng)c=1/3時(shí)存在x0∈X及θ0∈Θ對(duì)所有τ∈(0,h]，有式(8)成立. 從而當(dāng)t=h時(shí)，有

與式(11)矛盾，因此π=(Φ,σ)是一致指數(shù)穩(wěn)定的.

證畢！