軌跡方程求解的常用方法

王美瑩 王金芝

摘 要：軌跡是滿(mǎn)足一些幾何條件的點(diǎn)的集合，而方程就是一些實(shí)數(shù)對(duì)的集合，那么求點(diǎn)的軌跡方程就是根據(jù)已知點(diǎn)的坐標(biāo)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，再去找變量間的關(guān)系的方程。解決軌跡方程基本問(wèn)題的核心就是曲線(xiàn)和方程的相互轉(zhuǎn)化，在求軌跡方程的時(shí)候，要著重研究從題中分析出來(lái)的幾何性質(zhì)，從而找到適當(dāng)?shù)姆椒?。本文主要研究各種類(lèi)型的軌跡方程的求法。

關(guān)鍵詞：軌跡；方程；變量；動(dòng)點(diǎn)

求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是一個(gè)綜合性的知識(shí)，用代數(shù)的方法研究平面幾何圖形的性質(zhì)，軌跡問(wèn)題是高考中的一個(gè)難點(diǎn)，它涉及知識(shí)面廣（例如三角函數(shù)、向量、幾何等知識(shí)）、方法靈活多變、技巧強(qiáng)，能夠考察學(xué)生各方面的能力，本研究介紹了求軌跡方程的幾種方法如直接法、待定系數(shù)法、相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法等，并舉出其相應(yīng)的例子。

1 求軌跡方程的常用方法

1.1直接法

如果動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足的幾何條件就是一些幾何量之間的等量關(guān)系，或者這些幾何條件簡(jiǎn)單明了并且易于表達(dá)，再寫(xiě)成x，y的等式。

點(diǎn)評(píng)：（1）如果在題中動(dòng)點(diǎn)的規(guī)律的等量關(guān)系很明顯，那么直接將此數(shù)量關(guān)系代入，然后求軌跡。（2）有時(shí)候動(dòng)點(diǎn)規(guī)律的數(shù)量關(guān)系不明顯，這時(shí)就可以根據(jù)平面幾何中的性質(zhì)、中線(xiàn)定理、勾股定理、垂徑定理等等，從而分析出它們的數(shù)量關(guān)系。

1.2待定系數(shù)法

若己知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是某種圓錐曲線(xiàn)，則可以直接設(shè)出含有待定系數(shù)的方程，再根據(jù)題中動(dòng)點(diǎn)所滿(mǎn)足的條件，從而求出待定的系數(shù)，即得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，或者稱(chēng)這種方法為定義法。

1.3相關(guān)點(diǎn)法（代入法）

與動(dòng)點(diǎn)M（x，y）相關(guān)的點(diǎn)P（X0，Y0）在己知曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，將X0，Y0表示X，y的式子代入P點(diǎn)的方程，整理關(guān)于x，y的關(guān)系式得M的軌跡方程。

1.4交軌法

如果所求軌跡的動(dòng)點(diǎn)是兩條曲線(xiàn)（或直線(xiàn)與曲線(xiàn)或直線(xiàn)與直線(xiàn)）的交點(diǎn)，即可聯(lián)立這兩條曲線(xiàn)（或直線(xiàn)與曲線(xiàn)或直線(xiàn)與直線(xiàn)），得到動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系式。

例4，如圖1所示，設(shè)O，F(xiàn)分別為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)，P是拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn)，過(guò)P作拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為Q，直線(xiàn)OP與FQ相交于R，當(dāng)P在拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求R點(diǎn)的軌跡方程。

2 結(jié)語(yǔ)

主要研究了軌跡方程的求解，介紹了求軌跡方程的幾種常用方法：直接法、待定系數(shù)法、代入法、參數(shù)法等，并且每種方法都有詳細(xì)的解析，這樣我們就可以由己知條件選擇用哪種方法求軌跡方程更加快捷簡(jiǎn)便。

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