冰蓋對層流垂線流速分布的影響研究

郜國明 馬子普 李書霞 鄧宇

摘要：冰蓋下的緩慢水流流動(dòng)可近似為兩平行斜板間的層流流動(dòng)，這為求解冰下層流的垂線流速分布提供了理論基礎(chǔ)。采用理論分析的方法對明渠層流及冰下層流的垂線流速分布進(jìn)行了比較，發(fā)現(xiàn)二者的垂線流速分布均可用統(tǒng)一形式的拋物線型公式表示。其中，明渠層流的垂線流速分布可完全確定，冰下層流的垂線流速分布則會(huì)因水流縱向壓強(qiáng)梯度的不同而不同。同時(shí)，冰下層流同一水深處的流速、垂線平均流速、最大流速、單寬流量、流速梯度的最大值均小于明渠層流對應(yīng)值。結(jié)果表明，冰蓋通過影響垂線流速分布來影響過水?dāng)嗝娴牧髁?，造成流量及輸水效率大幅降低，為保證冬季輸水渠道的輸水效率，應(yīng)盡力避免冰蓋的不利影響。

關(guān)鍵詞：單寬流量；流速梯度；明渠層流；垂線流速分布；冰下層流；冰蓋

中圖分類號(hào)：TV131

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

doi： 10.3969/j.issn.1000-1379.2018.07.004

在研究斜坡明渠層流的垂線流速分布時(shí)，常假定水流運(yùn)動(dòng)為定常的二維層流運(yùn)動(dòng)。由于冬季氣溫低，因此輸水渠道及河道常常會(huì)結(jié)冰形成冰蓋，此時(shí)水流速度緩慢，也可近似為定常的二維層流運(yùn)動(dòng)，這是有冰蓋時(shí)的冰下層流運(yùn)動(dòng)（簡稱冰下層流）與無冰蓋時(shí)的明渠層流運(yùn)動(dòng)（簡稱明渠層流）的一個(gè)相似之處。目前，對明渠層流的研究較多，而對冰下層流的研究相對較少。王軍等研究了二維層流條件下的冰下水流速度場和溫度場，得到了層流的垂線流速分布及溫度分布公式，其將冰蓋下界面的壓強(qiáng)取為大氣壓強(qiáng)，而實(shí)際上冰蓋下的水流一般為有壓流動(dòng)，冰蓋下界面的壓強(qiáng)應(yīng)大于大氣壓強(qiáng)。本文采用理論分析的方法對明渠層流及冰下層流的垂線流速分布進(jìn)行了比較。首先，依據(jù)定常二維層流運(yùn)動(dòng)的假定得到統(tǒng)一的層流垂線流速分布表達(dá)式；然后，根據(jù)冰下層流與明渠層流二者邊界條件的不同得到各自的垂線流速分布公式，在此基礎(chǔ)上對二者的各種水流速度相關(guān)特征進(jìn)行比較，從而明確冰蓋對層流垂線流速分布的影響。

1統(tǒng)一的層流垂線流速分布表達(dá)式

明渠層流的垂線流速分布見圖1，冰下層流的垂線流速分布見圖2，其中h為水深，u為流速，α為斜坡坡角。

水流在重力作用下沿坡面向下流動(dòng)，流速頒表達(dá)式中需考慮重力因素，坐標(biāo)系為直角坐標(biāo)系，選取水流縱向流動(dòng)方向?yàn)閤方向，垂直水流流向?yàn)閥方向，橫向?yàn)閦方向，各速度分量分別為u=u（y），v=w=0（v為橫向流速，w為垂向流速）。流速分布自動(dòng)滿足連續(xù)方程，壓強(qiáng)p為關(guān)于x、y的函數(shù)，即p=p（x，y）。

重力加速度沿x和y軸分解如下：式中：g為重力加速度；ex為縱向單位向量；ey為垂向單位向量。

x方向運(yùn)動(dòng)方程為式中：p為水的密度；v為水流運(yùn)動(dòng)黏滯系數(shù)；c（x）為附加函數(shù)。

對式（2）的y進(jìn)行兩次積分，可得式中：μ為水流動(dòng)力黏滯系數(shù)；A、B均為待求積分參數(shù)。

以上推導(dǎo)表明，對于層流條件下的明渠流與冰下流，二者的垂線流速分布公式可用包含A、B兩個(gè)參數(shù)的統(tǒng)一表達(dá)式來表示，二者的垂線流速分布差異體現(xiàn)在參數(shù)的不同上。

2不同層流垂線流速分布公式參數(shù)的差異

2.1明渠層流

假定河床靜止不動(dòng)，則邊界條件為

式（8）即為明渠層流的垂線流速分布公式，其為拋物線形式，拋物線頂點(diǎn)位于床面上。

2.2冰下層流

假定河床及冰蓋均靜止不動(dòng)，則由無滑移條件可知冰蓋流的邊界條件為

式（10）即為冰下層流流速分布公式，其為拋物線形式，拋物線頂點(diǎn)位于1/2水深處，即垂線流速大小呈以1/2水深處為頂點(diǎn)的對稱拋物線分布。

根據(jù)明渠層流與冰下層流邊界條件的不同，可分別求出二者垂線流速分布公式的兩個(gè)參數(shù)。對于明渠層流其垂線流速分布可完全確定，而冰下層流的垂線流速分布則會(huì)因水流縱向壓強(qiáng)梯度的不同而不同。

3不同層流垂線流速分布的差異

3.1相同水深條件下同一水深處的流速

令η= y/h（無量綱水深），將式（8）和式（10）相減，可得同一水深處的流速差為

冰下水流沿縱向負(fù)方向流動(dòng)的可能性很小，故通常條件下應(yīng)滿足 ≤o，則據(jù)式（11）可得△u（y）≥0，即同樣水深條件下，明渠層流同一水深處的流速必然大于冰下層流同一水深處的流速。

3.2明渠層流

明渠層流的垂線平均流速為

3.3冰下層流

冰下層流的垂線平均流速為當(dāng)y=0時(shí)，在床面上及冰蓋下界面，垂向流速梯度分別達(dá)到正向最大及負(fù)向最大。

分析明渠層流與冰下層流的對應(yīng)物理量可知，冰下層流的垂線平均流速、最大流速、單寬流量均不及明渠層流時(shí)相應(yīng)物理量的1/4。明渠層流的垂線流速梯度在床面處最大，而冰下層流的垂線流速梯度在床面處和冰蓋下面分別取正向最大及負(fù)向最大，最大值為明渠層流的1/2。

4結(jié)論

（1）明渠層流與冰下層流的垂線流速分布可通過同一推導(dǎo)過程得到，二者可用統(tǒng)一形式的拋物線型流速分布公式表示，其差異僅體現(xiàn)在參數(shù)的不同上。

（2）明渠層流的垂線流速分布可完全確定，但冰下層流的垂線流速分布則會(huì)因水流縱向壓強(qiáng)梯度的不同而不同，縱向壓強(qiáng)梯度通常情況下不為正值。

（3）冰下層流的垂線平均流速、最大流速、單寬流量均不及明渠層流時(shí)相應(yīng)物理量的1/4，冰下層流的垂向流速梯度最大值為明渠層流的一半，相同水深條件下同一水深處的冰下層流流速小于明渠層流流速。

研究表明，冰蓋通過影響層流的垂線流速分布進(jìn)而影響了過水?dāng)嗝娴牧髁?，造成流量大幅減小。這說明冰蓋對輸水的影響是負(fù)面的，冰蓋阻力將嚴(yán)重降低輸水效率。為保證冬季輸水渠道的輸水效率，應(yīng)盡力避免冰蓋的不利影響。