敢問路在何方，路在腳下*
——高三學(xué)生解題困惑的分析與對(duì)策

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(通渭縣第二中學(xué),甘肅 通渭 743300)

有些高三學(xué)生在二輪復(fù)習(xí)中，總覺得自己已掌握基本的解題思想與解題技能，但在后階段的診斷考試中成績(jī)一直徘徊不前，感覺力不從心、事與愿違，以致于對(duì)自己的能力產(chǎn)生懷疑，造成自信心不足，缺少動(dòng)力.“老師講解能聽懂，自己獨(dú)立不會(huì)做”“一看有思路，一做就出錯(cuò)”“解答題有得分，不能得高分”等問題成為制約學(xué)生成績(jī)的常態(tài)因素.好多學(xué)生考試后發(fā)現(xiàn)許多錯(cuò)題其實(shí)不該錯(cuò)，但考場(chǎng)出現(xiàn)思維受阻，考后思路清晰，豁然開朗.學(xué)生經(jīng)常會(huì)問自己：“這么簡(jiǎn)單的問題怎么就沒想出來，怎么就得不了分？”筆者針對(duì)學(xué)生存在的問題逐一分析和診斷，并給出教學(xué)對(duì)策，供師生在高考復(fù)習(xí)中參考與借鑒.

1 優(yōu)柔寡斷，缺失抉擇

筆者通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)：學(xué)生面對(duì)一題多解問題時(shí)，得分不理想的原因在于缺少對(duì)各種方法的比較，以及對(duì)諸多方法優(yōu)缺點(diǎn)的分析和預(yù)判后的合理抉擇，學(xué)生往往匆忙選擇自己所熟悉的一種方法，結(jié)果“半途而廢,屢戰(zhàn)屢敗”.因此，學(xué)生應(yīng)該明白：一方面，受考查目的與功能的限制，考題會(huì)有意識(shí)地考查某種方法；另一方面，即使一題多解，但解題過程、運(yùn)算的復(fù)雜程度有差別，若考生不思抉擇，勢(shì)必出現(xiàn)“有思路，操作不下去”“能操作，出錯(cuò)風(fēng)險(xiǎn)高”的困惑感，正確選擇方法是成敗的關(guān)鍵.

例1已知函數(shù)f(x)=|x2+3x|，其中x∈R,若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.

(2018年甘肅省定西市第一次數(shù)學(xué)高考診斷試題第16題)

解方程|x2+3x|=a|x-1|有4個(gè)互異的實(shí)根，則

x2+3=a(x-1),

或

x2+3x=-a(x-1)，

即一元二次方程x2+(3-a)x+a=0與x2+(3+a)x-a=0分別有兩個(gè)根.由Δ>0，得09.

對(duì)策要學(xué)會(huì)抉擇，首先必須弄清楚每種方法得以順利實(shí)施的前提條件，以判斷函數(shù)在某區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為例，此類題的主要方法有4種:1)直接解方程(簡(jiǎn)單方程);2)構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)(函數(shù)圖像能畫出);3)圖像與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)(能大致畫出函數(shù)圖像，分析圖像走勢(shì));4)零點(diǎn)存在性定理，這4種方法選擇的標(biāo)準(zhǔn)顯然已見.其次教師在復(fù)習(xí)教學(xué)中通過題組有意識(shí)地訓(xùn)練學(xué)生抉擇的能力，在課堂中讓學(xué)生交流、討論、辨析與質(zhì)疑，讓學(xué)生自己說出選與不選的理由，只有知道選擇的理由，才能有的放矢(其他方法)，游刃有余.

2 望風(fēng)撲影,缺失目標(biāo)

學(xué)生在解題中感覺問題是熟悉的，方法也能馬上入手，但走著走著就迷失了方向，造成這種現(xiàn)象的主要原因是缺失目標(biāo).漫無目的主要表現(xiàn)為:一是走到某一步，但沒有弄清楚下一步的子目標(biāo)是干什么；二是一開始審題時(shí)就沒有盯緊目標(biāo)，帶著目標(biāo)尋找更為合理的解題思路，導(dǎo)致自己選擇的方法雖可行，但后續(xù)的演算變形復(fù)雜以致迷失方向.

(2018年甘肅省蘭州市第一次數(shù)學(xué)高考診斷試題第16題)

tanβ=2tan(β-α),

從而

即

故

對(duì)策解題就是先明確題目條件，再緊盯目標(biāo)實(shí)施解題步驟的過程.為提高強(qiáng)化學(xué)生的目標(biāo)意識(shí)，首先在典例講解時(shí)，學(xué)生要獨(dú)立完成審題，緊接著教師實(shí)施3個(gè)追問：1)依據(jù)解題目標(biāo)，你會(huì)設(shè)計(jì)出怎么樣的解題流程，此流程通過哪些步驟可以實(shí)施；2)這個(gè)流程是否存在可以調(diào)整的地方；3)能否減少其中幾個(gè)子目標(biāo)，使過程更簡(jiǎn)潔.經(jīng)過訓(xùn)練學(xué)生才會(huì)養(yǎng)成從目標(biāo)出發(fā)思考問題的習(xí)慣.其次，要指導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成根據(jù)各個(gè)子目標(biāo)來書寫解題過程的習(xí)慣，某些問題的子目標(biāo)除了用符號(hào)和式子表達(dá)外，還需要適當(dāng)?shù)奈淖终Z言，這樣做既檢測(cè)了整個(gè)解題思路正確與否，也便于解答題步驟過程得分.

3 墨守成規(guī),缺乏意識(shí)

就高三學(xué)生而言，經(jīng)過較全面、系統(tǒng)的復(fù)習(xí)，不缺知識(shí)也不缺方法，但常常由于缺乏應(yīng)用這種方法的意識(shí)從而造成得分困難.“缺意識(shí)”學(xué)生的直觀感悟是當(dāng)時(shí)“沒想到”，但稍加提示后恍然大悟，主要原因有兩個(gè)：1)常常會(huì)被一些表面的、帶干擾的信息所迷惑，導(dǎo)致看不出問題的本質(zhì)，思維受阻，想不起具體的操作方法；2)面對(duì)熟悉卻有變化的問題，因抓不住變化點(diǎn)而顯得無所適從.

例3設(shè)a,b∈R,則a>b是a|a|>b|b|的

( )

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分又不必要條件

(2018年甘肅省蘭州市第二次數(shù)學(xué)高考診斷試題第5題)

分析此題入手容易，即判斷兩個(gè)互逆命題的真假，真命題要給出必要的推理說明，假命題能舉出反例，但學(xué)生的得分率較低.其原因是去掉絕對(duì)值符號(hào)后，分類情況太多了，學(xué)生轉(zhuǎn)而一想會(huì)不會(huì)是假命題，就試著去舉反例但又舉不出來，最后只好憑感覺選出選項(xiàng).筆者啟發(fā)學(xué)生“a|a|,b|b|有何共同點(diǎn)，是由什么得到的”，這時(shí)學(xué)生才意識(shí)到需要構(gòu)造函數(shù)y=x|x|，進(jìn)一步只需判斷出函數(shù)的單調(diào)性便可同時(shí)判斷兩個(gè)命題的真假.經(jīng)判斷，函數(shù)y=x|x|在定義域R上是增函數(shù)，故選C.

對(duì)策要養(yǎng)成良好的解題意識(shí)，首先離不開多次、反復(fù)的強(qiáng)化與訓(xùn)練，因此對(duì)所做的試題要進(jìn)行歸納、總結(jié)、類比，多做有關(guān)的相似聯(lián)想.其次，需要強(qiáng)化“變式訓(xùn)練”，在訓(xùn)練中要注意兩點(diǎn)：1)要幫助學(xué)生分析“變式題”中的變與不變；2)鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)參與變通，以多變應(yīng)不變，在第二輪復(fù)習(xí)中，將同類試題進(jìn)行歸納與整理，并不定期進(jìn)行交流與展示.

4 重蹈覆轍，缺失感覺

缺乏感覺主要表現(xiàn)在兩點(diǎn)：1)經(jīng)常性在容易出錯(cuò)的地方犯相同的錯(cuò)誤，潛在的原因是答題缺少節(jié)奏感；2)對(duì)代數(shù)式、圖形等數(shù)學(xué)對(duì)象中所蘊(yùn)含的特殊信息麻木、不敏感，即感知不到解決問題的突破口.

例4若函數(shù)f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的圖像關(guān)于直線x=-2對(duì)稱，則函數(shù)f(x)的最大值為______.

(2018年甘肅省蘭州市第二次數(shù)學(xué)高考診斷試題第16題)

分析此題學(xué)生主要存在兩個(gè)問題：一是學(xué)生缺失對(duì)特殊點(diǎn)的感覺，不會(huì)求解a,b的值；二是即使求出a,b的值，選擇用導(dǎo)數(shù)來求最值，運(yùn)算量大，困難重重，半途而廢.學(xué)生若能敏感地捕捉出其中的兩個(gè)特殊信息，則“拿下”此題便游刃有余，這樣的解題經(jīng)驗(yàn)靠的就是良好的感覺.

解觀察發(fā)現(xiàn)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)為x=-1和x=1，由f(x)的圖像關(guān)于直線x=-2對(duì)稱，可得f(x)的另兩個(gè)零點(diǎn)為x=-3和x=-5，從而

f(x)= (1-x2)(x+3)(x+5)=

-(x-1)(x+1)(x+3)(x+5).

其次，可將函數(shù)的解析式變形為

f(x)=-(x2+4x-5)(x2+4x+3),

換元后可化歸為二次函數(shù)的最值.令t=x2+4x∈[-4,+∞),則

f(t)=-(t-5)(t+3)=-(t-1)2+16,

故f(x)的最大值為16，此時(shí)

對(duì)策學(xué)生要有良好的解題感覺，首先要把握好解題節(jié)奏，關(guān)鍵處要放慢一些、易錯(cuò)處要細(xì)心一些、銜接處要留心一些，如三角函數(shù)中的“合一變換”，既然知道易在角度的配湊上出錯(cuò)，就應(yīng)該更加仔細(xì)；又如解圓錐曲線的綜合題，知道幾何條件代數(shù)化是一個(gè)重要環(huán)節(jié)，就應(yīng)該在運(yùn)算變形上突破下功夫.其次要善于發(fā)現(xiàn)“隱含信息”,如數(shù)字的特殊性、圖形的對(duì)稱性、代數(shù)式的結(jié)構(gòu)性等常常會(huì)讓我們意外收獲簡(jiǎn)潔、優(yōu)美的方法.

5 一意孤行，缺乏規(guī)范

高三學(xué)生規(guī)范的缺失也是失分的主要因素，包括審題不規(guī)范、解題不規(guī)范、書寫不規(guī)范、時(shí)間分配不規(guī)范等.由于審題不規(guī)范，對(duì)題設(shè)條件視而不見，丟三落四;由于解題不規(guī)范，思維跳躍，缺少邏輯，推理不嚴(yán);由于書寫不規(guī)范，環(huán)節(jié)不齊全，步驟不完整；由于時(shí)間分配不規(guī)范，會(huì)做題沒時(shí)間作答，抓了芝麻，丟了西瓜，最后只是“顆粒歸倉”.

對(duì)策審題規(guī)范要迅速抓取已知條件、隱含條件，并做好重點(diǎn)記號(hào)，反復(fù)推敲已知條件幫助思考并形成思維；書寫規(guī)范要避免將答題卡當(dāng)作稿紙，隨心所欲；解答規(guī)范要求邏輯嚴(yán)密，論證有據(jù)，層次清晰，詳略得當(dāng).

總之，部分高三學(xué)生的解題存在困惑，通過對(duì)錯(cuò)題的總結(jié)分析，有效地克服畏懼心理，抓住已知條件，帶著解題目標(biāo)與意識(shí)，增強(qiáng)數(shù)學(xué)問題感知，合理選擇簡(jiǎn)潔、高效的方法.平時(shí)多總結(jié)和歸納，多問為什么，講求方法——敢問路在何方，其實(shí)路就在腳下！