基于長(zhǎng)除法的BCH（15，7）譯碼算法*

江寶安

（重慶郵電大學(xué)移通學(xué)院，重慶 401520）

0 引 言

BCH碼是一種重要的能糾多個(gè)隨機(jī)錯(cuò)誤的循環(huán)碼，編碼方便，實(shí)現(xiàn)電路簡(jiǎn)單，在現(xiàn)代數(shù)字通信領(lǐng)域中有及極廣泛的應(yīng)用[1-3]。BCH譯碼已有多種算法，實(shí)際工程應(yīng)用中主要用的是錯(cuò)誤圖樣查表法。該方法需要預(yù)先存儲(chǔ)錯(cuò)誤圖樣，對(duì)碼長(zhǎng)較長(zhǎng)、糾錯(cuò)能力較強(qiáng)的BCH碼，錯(cuò)誤圖樣較多，查找、匹配較費(fèi)時(shí)，譯碼延時(shí)嚴(yán)重[4-5]。

BCH（15，7）碼是碼距d=5的循環(huán)碼，能糾正2位隨機(jī)錯(cuò)誤。本文主要討論一種基于長(zhǎng)除法的BCH（15，7）碼譯碼算法，實(shí)現(xiàn)快速譯碼，且簡(jiǎn)單高效。

1 BCH（15，7）編碼

BCH（15，7）的生成多項(xiàng)式為：

信息多項(xiàng)式為：

信息序列為m=(m6m5m4m3m2m1m0)，其中mi(i=0,1,…,6)為伽羅瓦域GF(2)中的0或1，則BCH（15，7）碼多項(xiàng)式為：

例 1：m=(0100101)，m(x)=x5+x2+1，則：

2 基于長(zhǎng)除法的BCH（15,7）譯碼算法

此譯碼算法分為以下2步：

（1）由接收到的含有錯(cuò)誤的r(x)=c(x)+e(x)長(zhǎng)除g(x)得余式，即錯(cuò)誤多項(xiàng)式（余式項(xiàng)數(shù)必須小于等于2）；

（2）錯(cuò)誤多項(xiàng)式模2相加r(x)得原碼。

證明：

由于g(x)=x8+x7+x6+x4+1能糾正循環(huán)距離為8位的2位錯(cuò)誤位，故只要r(x)mod(g(x))余式項(xiàng)數(shù)小于等于2必為錯(cuò)誤多項(xiàng)式。

證畢。

例2：由于例1發(fā)送碼是式（1），假定接收碼r(x)=x13+x12+x11+x10+x7+x6+x5+x4+1有2位錯(cuò)誤e(x)=x6+x2，當(dāng)然接收端是不知道有這2位錯(cuò)誤的。由長(zhǎng)除法得錯(cuò)誤多項(xiàng)式如圖1所示，得錯(cuò)誤多項(xiàng)式e(x)=x17+x21。由于BCH（15，7）是循環(huán)碼，x15=1，故e(x)=x17+x21=x6+x2，即c(x)=r(x)+e(x)=x13+x12+x11+x10+x7+x5+x4+x2+1糾錯(cuò)得原碼。

圖1 長(zhǎng)除法得錯(cuò)誤多項(xiàng)式

3 MATLAB仿真

仿真程序如下：

%BCH(15,7)decode

msg=gf(randint(1,7),1); %information code

c=bchenc(msg,15,7); %encode

e=gf([1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0],1);%2 bit errors

r1=c+e;% receive code

r=r1;

g=gf([1 1 1 0 1 0 0 0 1],1);%generator polynomial

m=3;n=0;k=0;

k=k+1;

if r(1)==1

for j=1∶9

r(j)=r(j)+g(j);

end

end

m=sum(r==1);

可以看出，在大學(xué)階段產(chǎn)學(xué)合作的很多模式在我國(guó)也已經(jīng)廣為探索和開展。但是，高中階段的產(chǎn)學(xué)模式和中國(guó)的情況有所不同。20世紀(jì)90年代中期，職業(yè)教育達(dá)到發(fā)展高峰，中等職業(yè)教育的學(xué)生占高中在校生的比例為56%，20世紀(jì)90年代末，則進(jìn)入了低谷期，高等職業(yè)教育開始迎來發(fā)展高潮。

while r(1)==0 & m＞2 & k＜30 %left shift

n=n+1;

for i=1∶14

r(i)=r(i+1);

end

r(15)=0;

end

end

s=mod(n,15);

for k=1∶s %cyclic right shift

t=r(15);

for i=0∶13

r(15-i)=r(14-i);

end

r(1)=t;

end

e1=r;

m1=sum(e1==1);

if m1＜3

disp('OK e(x)=r(x) mod(g(x))');

end

該MATLAB仿真程序，可驗(yàn)證本算法的正確性。任意改變信息多項(xiàng)式msg和小于等于2位錯(cuò)誤多項(xiàng)式e，均能糾錯(cuò)得到正確的原碼。

4 結(jié) 語(yǔ)

利用長(zhǎng)除法可得到BCH（15，7）接收碼的錯(cuò)誤多項(xiàng)式，譯碼算法具有簡(jiǎn)單、快速等優(yōu)點(diǎn)，具有極廣泛的應(yīng)用價(jià)值。此外，本算法也適用于糾1位錯(cuò)誤的漢明碼譯碼，對(duì)糾多個(gè)錯(cuò)誤的BCH碼具有參考價(jià)值。