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    基于自組裝納米顆粒的頂點(diǎn)著色問題的DNA計(jì)算模型

    2018-08-30 08:52:08陳芳殷志祥
    關(guān)鍵詞:串珠著色頂點(diǎn)

    陳芳,殷志祥

    (安徽理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)學(xué)院,淮南 232001)

    頂點(diǎn)著色問題是圖論中一個(gè)經(jīng)典的組合優(yōu)化問題,屬于NP完全問題,傳統(tǒng)的算法無法有效的解決此類NP問題。隨著分子生物學(xué)的發(fā)展,人們將DNA計(jì)算引入到NP問題中,著手利用DNA分子的高并行性和高信息儲存量的優(yōu)勢來求解NP問題。1994年,Adleman教授[1]首次提出了使用生物分子來求解NP問題,并成功的求解了一個(gè)7個(gè)頂點(diǎn)的有向Hamilton路問題,開創(chuàng)了DNA計(jì)算的先河;文獻(xiàn)[2]將圖的頂點(diǎn)及顏色進(jìn)行適當(dāng)編碼,借助生物酶的作用,實(shí)現(xiàn)了著色方案的生成與篩選;文獻(xiàn)[3]建立了一種基于酶切技術(shù)和PCR技術(shù)的圖頂點(diǎn)著色的DNA計(jì)算模型,使得模型實(shí)現(xiàn)充分的自動化操作;文獻(xiàn)[4]將問題進(jìn)行了轉(zhuǎn)化,利用求解最大獨(dú)立集的思想來進(jìn)行編碼,利用質(zhì)粒DNA分子來進(jìn)行試驗(yàn),有效的得到了圖的著色方案;文獻(xiàn)[5]提出了一種基于微流控制來求解圖頂點(diǎn)著色的DNA計(jì)算模型,實(shí)現(xiàn)了模型的自動化,提高了DNA計(jì)算的可靠性;文獻(xiàn)[6]利用分子自組裝,構(gòu)建瓦片粘貼模型來求解圖頂點(diǎn)著色問題,著色方案清晰易讀;文獻(xiàn)[7]構(gòu)造了一個(gè)發(fā)夾結(jié)構(gòu)探針,將頂點(diǎn)進(jìn)行適當(dāng)編碼,直接生成解空間,利用常規(guī)生物操作即可獲得著色方案。

    DNA自組裝是指DNA分子通過分子間的相互作用力,形成的一種較為穩(wěn)定、結(jié)構(gòu)更復(fù)雜的分子結(jié)構(gòu)的過程。20世紀(jì)80年代,Seeman[8]就提出DNA能通過堿基互補(bǔ)配對產(chǎn)生穩(wěn)定的連接結(jié)構(gòu),并且可以精確組裝復(fù)雜多維空間對象,并稱之為結(jié)構(gòu)DNA納米技術(shù)。在自組裝技術(shù)誕生以來,人們利用該方法,求解了許多圖論中的問題[9-16]。文獻(xiàn)[17]結(jié)合3維的DNA自組裝模型求解了圖頂點(diǎn)著色問題,利用DNA分子的巨大并行性,在線性時(shí)間內(nèi)求得了最佳方案。納米材料作為一種新材料,已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于生物學(xué)領(lǐng)域,具有制備便宜、生物穩(wěn)定性好等天然優(yōu)勢。結(jié)合自組裝納米材料,文獻(xiàn)[13]求解了最大團(tuán)問題,在生成和刪除非解只需操作一次即可,簡化了傳統(tǒng)模型的操作過程。該文借助納米金屬顆粒來求解圖的頂點(diǎn)著色問題,利用DNA自組裝,將納米顆粒組裝成所需要的結(jié)構(gòu),通過堿基的互補(bǔ)配對原則生成和篩選著色方案。由于DNA分子的巨大并行性,將會有效的減少運(yùn)算的時(shí)間和空間復(fù)雜度。

    1 頂點(diǎn)著色問題

    在本文中提到的圖均是指有限、無環(huán)、無重邊的無向簡單圖。通常用V(G)和E(G)分別表示圖的頂點(diǎn)集和邊集。圖G的頂點(diǎn)著色問題就是指給圖G的每一個(gè)頂點(diǎn)進(jìn)行著色,并且使得任意相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)分配到不同的顏色。而求頂點(diǎn)著色問題又可以轉(zhuǎn)化為求最大獨(dú)立集問題,也就是說,簡單圖G的一個(gè)k-頂點(diǎn)著色,就是將頂點(diǎn)集V(G)劃分成k個(gè)獨(dú)力集的分類{v1,v2…vk},其中vi(i=1,2…k)是G的獨(dú)立集,滿足v(G)=v1?v2?…?vk,vi≠? ,vi?vj=?,i,j=1,2…k。如果用集合C(k)表示k種顏色,則有C(k)={1,2…k}。更確切地說,求解圖頂點(diǎn)著色問題就是尋找從頂點(diǎn)集v(G)到顏色集C(k)的一個(gè)映射f:v(G)→C(k),并且映射f滿足u,v∈V(G),uv∈E(G),f(u)≠f(v)。記全體G的k-著色f構(gòu)成的集合為Ck(G),當(dāng)集合Ck(G)≠?的時(shí)候,稱圖G是k-頂點(diǎn)著色的。在本文中,僅考慮圖的3-頂點(diǎn)著色,圖1為一個(gè)具有6個(gè)頂點(diǎn)的簡單圖。

    圖1 6個(gè)頂點(diǎn)的簡單圖

    2 計(jì)算模型

    2.1 基本算法

    步驟1 利用自組裝的金屬顆粒對應(yīng)每個(gè)頂點(diǎn);

    步驟2 利用DNA堿基互補(bǔ)配對生成數(shù)據(jù)池;

    步驟3 刪除不滿足條件的解;

    步驟4 輸出著色方案。

    2.2 生物算法

    步驟1(1)構(gòu)造代表頂點(diǎn)的納米金屬顆粒:納米金屬顆粒由兩部分組成,主體結(jié)構(gòu)為納米金屬顆粒,并且每個(gè)金屬顆粒都帶有連接DNA。在圖1的3-著色問題中每個(gè)頂點(diǎn)有三種方案可選擇,因此針對于每個(gè)頂點(diǎn),需要設(shè)計(jì)3種不同的納米金屬顆粒。在n個(gè)頂點(diǎn)的圖中,一共需要構(gòu)造3n個(gè)納米金屬顆粒。

    (2)構(gòu)造連接探針:根據(jù)步驟(1)中的連接DNA,構(gòu)造連接探針,連接探針由兩部分組成,第一部分與前面相接的納米金屬顆粒的連接DNA互補(bǔ),第二部分與后面相接的納米金屬顆粒的連接DNA互補(bǔ)。在具有n個(gè)頂點(diǎn)圖的3-著色問題中,需要個(gè)3×3×(n-1)=9(n-1)個(gè)連接探針。

    步驟2 將納米金屬顆粒同連接探針加入到溶液中進(jìn)行生化反應(yīng),根據(jù)堿基互補(bǔ)配對會生成串珠狀結(jié)構(gòu),即初始數(shù)據(jù)池。

    步驟3 在數(shù)據(jù)池中,含有非解,需要進(jìn)行篩選。構(gòu)造刪除探針,刪除探針結(jié)構(gòu)與頂點(diǎn)的結(jié)構(gòu)相同,主體部分為納米金屬顆粒,兩端連接有單鏈DNA,兩端的單鏈DNA分別是相鄰頂點(diǎn)的連接DNA的補(bǔ)鏈。這樣將刪除探針加入到數(shù)據(jù)池中后,如果相鄰兩個(gè)頂點(diǎn)著相同顏色,刪除探針會與代表該方案的串珠進(jìn)行雜交反應(yīng),串珠的質(zhì)量與結(jié)構(gòu)會發(fā)生改變。

    步驟4 借助凝膠電泳技術(shù)來對非解進(jìn)行剔除,因?yàn)閿?shù)據(jù)池中的非解在加入刪除探針過后,質(zhì)量與體積都會增大,在進(jìn)行電泳分離的過程中,非解的移動速度慢,因此可以通過分離來得到解。最后采用非放射性標(biāo)記DNA測序的方法進(jìn)行測序,可以具體得到每個(gè)頂點(diǎn)的著色方案。

    3 算法實(shí)例

    結(jié)合圖1為例,求解圖的3-著色問題。

    步驟1(1)將圖1的每一個(gè)頂點(diǎn)對應(yīng)自組裝為納米金屬顆粒,因?yàn)槊總€(gè)頂點(diǎn)都有三種可著色的情況,因此針對于每個(gè)頂點(diǎn),需要設(shè)計(jì)三種不同的帶有特定單鏈的DNA納米金屬顆粒。并且為了方便后續(xù)對解的檢測,所選取的每個(gè)納米顆粒的分子量都是相同的,這使得他們在凝膠電泳中的遷移速度是相同的。當(dāng)頂點(diǎn)為紅色(R)時(shí),對應(yīng)于納米金顆粒,記為Rn;當(dāng)頂點(diǎn)為綠色(G)時(shí),對應(yīng)于納米銀顆粒,記為Gn;當(dāng)頂點(diǎn)為黃色(Y)時(shí),對應(yīng)于納米銅顆粒,記為Yn。(其中n表示的是頂點(diǎn)編號,如R1代表頂點(diǎn)1為紅色,G2代表頂點(diǎn)2為綠色)。每一個(gè)代表頂點(diǎn)的納米顆粒都有一個(gè)線性的單鏈DNA與其連接,稱它為連接DNA(這樣自組裝可以使得代表頂點(diǎn)的納米顆粒與其他的納米顆粒能夠相連接)。并且應(yīng)該注意到,為了使代表頂點(diǎn)的納米顆粒能夠按照順序進(jìn)行連接,需要將序號位于首尾的頂點(diǎn)組裝一條連接DNA,序號位于中間的頂點(diǎn)組裝兩條連接DNA。在此設(shè)計(jì)納米金屬顆粒的連接DNA:納米金顆粒上的連接DNA用Sn來表示;納米銀顆粒上的連接DNA用Mn來表示;納米銅顆粒上的連接DNA用Ln來表示。(其中n表示的是頂點(diǎn)編號,如S1代表頂點(diǎn)1為紅色的連接DNA,M1代表頂點(diǎn)1為綠色時(shí)的連接DNA,也可更進(jìn)一步表示為R1-S1和G1-M1)。通過觀察圖1可知,頂點(diǎn)1、5,頂點(diǎn)2、4,頂點(diǎn)1、6也是有邊連接的,為了后面對這些不是通過鄰邊連接的頂點(diǎn)進(jìn)行篩選操作,需要加上可對頂點(diǎn)1、2、4、5、6進(jìn)行識別的探針,并將其記為d。部分頂點(diǎn)的設(shè)計(jì)如圖2[13]所示。

    圖2 部分頂點(diǎn)的設(shè)計(jì)

    (2)以上設(shè)計(jì)了代表頂點(diǎn)的納米顆粒以及連接DNA,現(xiàn)在為了使每個(gè)頂點(diǎn)能夠進(jìn)行有序連接,需要設(shè)計(jì)能夠?qū)㈨旤c(diǎn)進(jìn)行連接的探針。探針共由兩部分組成:第一部分與前面所連接的納米顆粒的連接DNA互補(bǔ),第二部分與后面所連接的納米顆粒的連接DNA互補(bǔ)。在圖1中,所要研究的是3-頂點(diǎn)著色問題,因此每個(gè)頂點(diǎn)有三種連接DNA。由于圖1具有6個(gè)頂點(diǎn),要滿足依次相連,需要5個(gè)連接探針,因此一共需要設(shè)計(jì)(3×3×5=45)種連接探針,連接探針的具體設(shè)計(jì)見圖3。

    圖3 連接探針的設(shè)計(jì)

    在依次相鄰的頂點(diǎn)中,若要滿足頂點(diǎn)著色的定義,兩個(gè)相鄰的頂點(diǎn)一定不能連接相同的顏色,所以不需要設(shè)計(jì)相鄰頂點(diǎn)顏色相同的連接探針,即無需設(shè)計(jì)圖3中虛線框中的連接探針。

    步驟2 將代表頂點(diǎn)的納米金顆粒和連接探針同時(shí)加入到溶液中進(jìn)行生化反應(yīng),由于連接探針的設(shè)計(jì),納米金顆粒會按照頂點(diǎn)的序號依次進(jìn)行排列,即生成了初始的數(shù)據(jù)池,并且該數(shù)據(jù)池滿足依次排列的頂點(diǎn)著不同的顏色。部分結(jié)果圖4所示。

    圖4 數(shù)據(jù)池的生成

    步驟3(1)在按照上面的方法,生成了所有可能的三著色情況,并且滿足了在序號依次排列時(shí),每相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)為不同的顏色。現(xiàn)在需要對其他相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的顏色進(jìn)行檢驗(yàn),即刪除部分不滿足條件的解。結(jié)合圖1來看,除了依次相鄰的頂點(diǎn)連接,還有頂點(diǎn)2、4,頂點(diǎn)1、5,頂點(diǎn)1、6相連,為了滿足這個(gè)三組相鄰的頂點(diǎn)也互相為不同的顏色,需要設(shè)計(jì)相應(yīng)的刪除探針,記為探針Dn-m(其中n、m分別指在圖中有被鄰邊之外的邊所連接的頂點(diǎn))。刪除探針的主體結(jié)構(gòu)為納米金顆粒,兩端連接有單鏈DNA。刪除探針的結(jié)構(gòu)如圖5所示。

    圖5 刪除探針的設(shè)計(jì)

    (2)在初始數(shù)據(jù)池中,加入刪除探針,如果相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)著相同的顏色,可以對其進(jìn)行檢測。由于刪除探針兩端所連接的單鏈DNA與頂點(diǎn)上的識別探針互補(bǔ)配對,通過雜交反應(yīng)可以形成新的結(jié)構(gòu)。如果數(shù)據(jù)池中的解滿足頂點(diǎn)著色的條件,那么,加入的刪除探針不會與納米顆粒串珠發(fā)生反應(yīng),游離在溶液中。假設(shè)頂點(diǎn)2、4著相同的顏色,在遇到刪除探針D2-4時(shí),兩者會進(jìn)行雜交反應(yīng),形成新的結(jié)構(gòu),形成過程如圖6所示。

    圖6 刪除探針雜交過程

    步驟4 在數(shù)據(jù)池中加入刪除探針后,含有非解的串珠鏈會同刪除探針進(jìn)行配對雜交,形成新的結(jié)構(gòu),加入了刪除探針后的串珠鏈總的分子量變大,在凝膠電泳中的遷移速度會變慢。通過凝膠電泳技術(shù),觀察串珠鏈的運(yùn)動速度,回收運(yùn)動速度較快的串珠鏈,此時(shí)所得到的串珠鏈都是滿足相鄰點(diǎn)為不同顏色的串珠鏈。最后采用非放射性標(biāo)記DNA測序的方法進(jìn)行測序,得到頂點(diǎn)著色問題對應(yīng)的解。

    4 復(fù)雜度分析

    時(shí)間復(fù)雜度:在本文中討論的是3-頂點(diǎn)著色,而每一個(gè)頂點(diǎn)的著色顆粒需要一個(gè)單位的操作時(shí)間,所以需要3n個(gè)操作時(shí)間;為了檢測著色方案,需要設(shè)計(jì)刪除探針,假設(shè)在圖中有m條邊不是通過鄰邊所連接的,因此共需要設(shè)計(jì)3m個(gè)刪除探針,消耗了3m個(gè)操作時(shí)間;在生成和刪除解時(shí)各占用一個(gè)時(shí)間單位。因此該模型的時(shí)間復(fù)雜度為ο(3n+3m+2)。

    空間復(fù)雜度:每個(gè)頂點(diǎn)的需要3個(gè)不同的納米金顆粒來代表不同的顏色選擇,所以占據(jù)了3n個(gè)空間單位;同理于時(shí)間復(fù)雜度,刪除探針也占據(jù)3m個(gè)空間單位;在生成和刪除解也各需要占用一個(gè)空間,因此該模型的空間復(fù)雜度也是ο(3n+3m+2)。

    5 結(jié)論

    本文通過自組裝納米顆粒來求解圖的3-頂點(diǎn)著色問題。將圖的頂點(diǎn)和邊分別轉(zhuǎn)化為納米顆粒和DNA片段,利用生物分子的巨大并行性來生成數(shù)據(jù)池。在刪除非解時(shí),直接使用凝膠電泳技術(shù)即可,避免了在加熱、解鏈、退火過程中產(chǎn)生偽解的可能,與以往借助限制性內(nèi)切酶刪除解的模型相比,自組裝模型更具有通用性,應(yīng)用范圍更廣。

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