污染環(huán)境中具有Markov切換的隨機(jī)三種群系統(tǒng)的持久性分析

程銘，謝紅梅

（石河子大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系，新疆 石河子 832003）

在21世紀(jì)，環(huán)境問題隨著社會(huì)的飛速發(fā)展而變得日益突出，比如對(duì)人類身體產(chǎn)生極大危害的霧霾，因此，對(duì)環(huán)保部門來說，能夠及時(shí)采取對(duì)策防止環(huán)境毒素的超標(biāo)是相當(dāng)重要的。許多數(shù)學(xué)研究工作者也一直在通過建立數(shù)學(xué)模型的方法量化環(huán)境污染對(duì)生物種群的作用效果，幫助人們理解環(huán)境毒素影響生物種群的作用機(jī)制，進(jìn)而推動(dòng)了生態(tài)毒理動(dòng)力學(xué)的發(fā)展。

利用數(shù)學(xué)模型研究毒素對(duì)生物種群生存的影響是20世紀(jì)80年代才開辟的一個(gè)新領(lǐng)域。Hallam等[1-3]首次提出環(huán)境毒素對(duì)生物種群生存影響的確定性模型，之后許多學(xué)者也相繼提出一些確定性模型[4-7]。在現(xiàn)實(shí)世界中，種群的生存會(huì)不可避免地受到隨機(jī)干擾的影響。有些干擾是環(huán)境中一些較小的擾動(dòng)，比如濕度、酸堿度、含氧量等細(xì)微因素的擾動(dòng)常用“白噪聲”來描述；可是有些干擾會(huì)對(duì)生物的生長產(chǎn)生較大的影響，比如干旱、地震、洪水等，也有很強(qiáng)的隨機(jī)性，一旦發(fā)生就會(huì)引起生物生長的環(huán)境迅速由一個(gè)狀態(tài)變?yōu)榱硪粋€(gè)狀態(tài)，此時(shí)可以用“有色噪聲”來描述這類擾動(dòng)。因此，為適應(yīng)不同的實(shí)際情況，討論污染環(huán)境中具有雙重噪聲擾動(dòng)的隨機(jī)模型是非常重要且必要的。

近年來，學(xué)者們?cè)陔S機(jī)種群模型方面取得了很好的結(jié)果[8-15]，但針對(duì)污染環(huán)境中具有雙重噪聲擾動(dòng)的隨機(jī)三種群系統(tǒng)的研究還較少，基于此，本文以污染環(huán)境中具有Markov切換的隨機(jī)三種群系統(tǒng)為背景探討一個(gè)極具實(shí)際意義的問題，即種群的內(nèi)稟增長率、生物的體內(nèi)毒素濃度及系統(tǒng)的雙重噪聲擾動(dòng)之間滿足何種關(guān)系時(shí)，能保證種群的數(shù)量以大概率位于某一區(qū)間內(nèi)（即使時(shí)間充分大）。這一問題的結(jié)果將是合理控制環(huán)境毒素濃度的理論依據(jù)之一。

1 模型

設(shè)(Ω,F,{Ft}t∈R+,P)是完備的概率空間，其中{Ft}t∈R+是其濾子并滿足通常條件。

定義(B1(t),B2(t),B3(t))是上述完備概率空間上獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，則污染環(huán)境中種群內(nèi)稟增長率受白噪聲（Bi(t)表示白噪聲表示白噪聲的強(qiáng)度，i=1,2,3）擾動(dòng)的隨機(jī)三種群 Lotka-Volterra模型（SM1）為：

初值條件是C0(0)=CE(0)=0;xi(0)＞0，i=1,2,3。

其中，xi(t),(i=1,2,3)表示時(shí)刻t時(shí)種群i的數(shù)量；C0(t)表示時(shí)刻t時(shí)生物體內(nèi)毒素濃度；CE(t)表示t時(shí)刻時(shí)環(huán)境毒素濃度；ri0(ri0＞0)表示毒素不存在時(shí)種群i的內(nèi)稟增長率；ri1(ri1＞0)表示種群i對(duì)體內(nèi)毒物濃度的劑量反應(yīng)參數(shù)；αii(αii＞0)表示種群i的種內(nèi)作用系數(shù)；αii(i≠j)表示種群i與j種群的種間作用系數(shù)；參數(shù)α1，ρ1(ρ1＜α1)，θ，β，l1和l2都是正常數(shù)，α1表示每單位質(zhì)量的生物體由環(huán)境對(duì)毒素的吸收率，ρ1表示每單位質(zhì)量的生物體由食物對(duì)毒素的吸收率，θ表示資源中的毒物濃度，β表示單位質(zhì)量的生物體對(duì)食物的攝取率，l1和l2分別表示生物機(jī)體對(duì)毒物的分解率和排泄率；參數(shù)h反應(yīng)了環(huán)境對(duì)毒素的清理能力，u(t)表示時(shí)刻t時(shí)對(duì)環(huán)境的毒素排放率，且假設(shè)u(t)滿足 0≤U1≤u(t)≤U2＜∞。

本文在模型（SM1）基礎(chǔ)上引入有色噪聲。有色噪聲可以借助一個(gè)在有限狀態(tài)空間取值的Markov鏈描述，本文中ξ(t)，t≥0表示完備概率空間(Ω,F,{Ft}t∈R+,P)中一個(gè)取值于狀態(tài)空間S={1,…，k}的右連續(xù)Markov鏈。

本文考慮如下污染環(huán)境中具有Markov切換的隨機(jī)三種群模型（SM2）

且初值條件是C0(0)=CE(0)=0；xi(0)＞0，i=1,2,3，。本文對(duì)涉及到的Markov鏈做以下假設(shè)：

假設(shè)1Markov鏈ξ(t)是遍歷的，其平穩(wěn)分布為π=（π1,π2.…πk）且 Markov 鏈ξ(t)和布朗運(yùn)動(dòng)(B1(t),B2(t),B2(t)是獨(dú)立的。

假設(shè)22,3。當(dāng)種群系統(tǒng)為互惠系統(tǒng)時(shí)，

假設(shè)3當(dāng)種群系統(tǒng)為捕食系統(tǒng)時(shí)，

假設(shè) 4A(ξ(t))=det(αij(ξ(t)))3×3＞0;(A(ξ(t)))ii＞0;(A(ξ(t)))i＞0，i=1,2,3。其中(A(ξ(t)))ii為A(ξ(t))中元素αii(ξ(t))的代數(shù)余子式；(A(ξ(t)))i是將A(ξ(t))的 i列變成而得到的行列式。

假設(shè)2和假設(shè)3將會(huì)在定理1的證明中用到。系統(tǒng)（SM2）雖然是一個(gè)五維系統(tǒng)，但由于后2個(gè)方程的顯式解較易得到，因而實(shí)際上只需研究系統(tǒng)的前3個(gè)隨機(jī)微分方程即可，本文稱由前3個(gè)隨機(jī)微分方程構(gòu)成的系統(tǒng)為（SM）。系統(tǒng)（SM）按其生態(tài)意義可討論以下3種情形：

（I）競爭。每一種群的存在對(duì)另一種群的增長產(chǎn)生抑制作用。這時(shí)

其種間關(guān)系可用圖1a表示。

（II）互惠。每一種群的存在對(duì)另一種群的增長都會(huì)起促進(jìn)作用。這時(shí)

其種間關(guān)系可用圖1b表示。

（III）捕食。某一種群充當(dāng)另一種群的食餌，本文探討的捕食者種群x3(t)除捕食x1(t)與x2(t)外還有其他資源供應(yīng)（比如虎是食肉性動(dòng)物，它最喜歡的食物是草食性動(dòng)物，如鹿、野兔、羚羊和野豬等，而野兔和羚羊之間會(huì)相互爭奪食物和生存的空間）。這時(shí)r30(ξ(t))＞0 且

則x1(t)、x2(t)、x3(t)的種間關(guān)系可用圖 1c表示。

圖1中2條單向箭頭表示2個(gè)種群之間是競爭關(guān)系；一條雙向箭頭表示兩個(gè)種群之間是互惠關(guān)系；一條單向箭頭表示2個(gè)種群之間是捕食關(guān)系，其中箭頭指向捕食者。

圖1 種間關(guān)系Fig.1 Interspecific relationship

2 引理

在模型（SM2）中，C0(t)和CE(t)皆表示毒素濃度，所以應(yīng)滿足不等式 0≤C0(t)≤1，0≤CE(t)≤1t∈R+，故通過求解模型（SM2）最后2個(gè)微分方程可以得到引理 1。

引理 1[14]對(duì)模型（SM2），如果 0＜α1+ρ1θβ/α1＜l1+l2，U2≤h，則

0≤C0(t)≤1，0≤CE(t)≤1，

本文假設(shè)在模型（SM2）中條件 0＜α1+ρ1θβ/α1＜l1+l2，U2≤h，一直成立。另一方面，在模型（SM）中，xi(t)（i=1,2,3）表示時(shí)刻t種群i的數(shù)量，故模型（SM）的解過程應(yīng)該是非負(fù)的，這個(gè)要求可從引理2體現(xiàn)出來。

引理 2[14-15]系統(tǒng)（SM）對(duì)任意的初值(x1(0),x2都存在唯一正解，即(x1(t),x2(t),x3(t))∈

引理3（Chebyshev不等式）[11]令x是Rd-實(shí)值隨機(jī)變量，對(duì)于ρ∈(0,+∞)，定義Lp=(Ω;Rd)是Rd-實(shí)值隨機(jī)變量空間，其中E(|x|p)＜+∞，那么

引理4[11]對(duì)互惠系統(tǒng)，如果有成立，那么

對(duì)于所有的p＞1，都存在一個(gè)常數(shù)L(p)＞0滿足

引理5（隨機(jī)比較定理）[16]設(shè)xi(t)（i=1,2）分別是隨機(jī)微分方程dxi(t)=fi(xi(t),t)dt+g(xi(t),t)dBt的解，其中f(x,t)∈C([0,∞]×R)，g(x,t)∈C([0,∞]×R)。若還滿足

則依概率 1 有x1(t)≤x2(t)，t≥0。

3 種群系統(tǒng)（SM）的隨機(jī)持久性

隨機(jī)持久意味著即使時(shí)間充分大，種群的數(shù)量既不會(huì)太大，也不會(huì)太小，并且以大概率位于一個(gè)區(qū)間內(nèi)。顯然，探討種群系統(tǒng)的隨機(jī)持久性具有重要的理論和實(shí)際意義。本文首先給出系統(tǒng)隨機(jī)持久的定義。

定義：種群系統(tǒng)（SM）稱為是隨機(jī)持久的，如果對(duì)任意給定的ε＞0，存在常數(shù)δ＞0，H＞0，使得P*{|x(t)|≥δ}≥1-ε，P*{|x(t)|≤H}≥1-ε成立，其中

定理1在假設(shè)1-4成立的條件下，如果有bi＞0，其中

則種群系統(tǒng)（SM）是隨機(jī)持久的。

證明：將該定理的證明分成以下二步：

（1）首先證明對(duì)任意的ε＞0，存在δ＞0，使得P*{|x(t)|≥δ}≥1-ε成立。

令V1(x(t))=1/(x1(t)+x2(t)+x3(t))，則對(duì)V1(x(t))使用伊藤公式得

根據(jù)定理1的條件，可選取正的常數(shù)θ，使得成立，并定義V2(x(t))=(1+V1(x(t)))θ，再對(duì)V2(x(t))使用伊藤公式得

取充分小的k滿足再定義V3(x(t))=ektV2(x(t))，則根據(jù)伊藤公式得到

由下面4個(gè)不等式

化簡可得

故可整理得到

在上式兩端積分并取均值得到

再根據(jù)V3(x(t))的定義可知

即

對(duì)任意的ε＞0，令δ=ε1/θ/M1/θ，由切比雪夫不等式

可得P*{|x(t)|＜δ}≤δθM=ε。這樣就證明了P*{|x(t)|≥δ}＞1-ε。

（2）其次證明對(duì)ε＞0，存在H＞0，使得P*{|x(t)|≤H}≥1-ε成立。下面針對(duì)情形 I、II、III分別討論種群系統(tǒng)（SM）。

情形I：當(dāng)種群系統(tǒng)（SM）的種間關(guān)系為競爭關(guān)系時(shí)，對(duì)p＞0，令

根據(jù)伊藤公式得到

且由情形I得

根據(jù)此不等式及C Zhu[9]在定理3.1中提到當(dāng)αii(ξ(t))＞0 且αij(ξ(t))≥0(i,j=1,2… ，n且i≠j）時(shí) 有故當(dāng)時(shí)顯然有

成立。由切比雪夫不等式得

令H足夠大，則證得

（II）當(dāng)種群系統(tǒng)（SM）的種間關(guān)系為互惠關(guān)系時(shí)，根據(jù)假設(shè)2及引理4可得

對(duì)任意的ε＞0，令H=(3L(2)/ε)1/2，由切比雪夫不等式得

也就是說，P*{|x(t)|＞H}≤ε，即證得

（III）當(dāng)種群系統(tǒng)（SM）的種間關(guān)系為捕食關(guān)系時(shí)，構(gòu)造輔助系統(tǒng)（M）如下

其中

顯然，輔助系統(tǒng)（M）是一個(gè)“互惠系統(tǒng)”。根據(jù)隨機(jī)比較定理知xi(t)≤yi(t)，i=1,2,3，此時(shí)的種群系統(tǒng)（SM）滿足假設(shè)3。那么根據(jù)假設(shè)3可知，系統(tǒng)（M）的種內(nèi)、種間作用系數(shù)滿足假設(shè)2，則由定理1證明部分（2）的情形（II）可知，對(duì)系統(tǒng)（M）有下式

成立，因此P*{|x(t)|≤H}≥P*{|y(t)|≤H}≥1-ε。

綜合以上證明，定理1得證。

4 數(shù)值模擬及分析

下面給出數(shù)值模擬的例子。

例：設(shè)ξ(t)是取值于狀態(tài)空間S={1,2}的 Markov鏈，且滿足假設(shè) 1。令 π=(2/3,1/3)，ri1(ξ(t))=1(i=1,2,3)，則根據(jù)種群系統(tǒng)（SM）得到系統(tǒng)（SM3）如下。

下面分別討論系統(tǒng)（SM3）為競爭、互惠及捕食3種情形的隨機(jī)持久性。

情形（I）：競爭，令C0(t)=0.51+0.01sint，且種群系統(tǒng)（SM3）中參數(shù)在2個(gè)狀態(tài)的取值為：

情形（II）：互惠，令C0(t)=0.62+0.01sint，且種群系統(tǒng)（SM3）參數(shù)在2個(gè)狀態(tài)的取值為：

情形（III）：捕食，令C0(t)=0.66+0.01sint，且種群系統(tǒng)（SM3）參數(shù)在2個(gè)狀態(tài)的取值為：

圖2 種間關(guān)系-競爭

圖3 種間關(guān)系-互惠

圖4 種間關(guān)系-捕食

5 討論與結(jié)論

一方面，Mao X[8]、Ouyang M[10]、Liu M[11]研究了隨機(jī)種群系統(tǒng)的持久性，但并未考慮環(huán)境毒素對(duì)種群系統(tǒng)的影響；另一方面，靳禎[4]、何繼偉[7]、張笑玲[14]研究了污染環(huán)境中的種群系統(tǒng)，他們得到的結(jié)果多為種群的平均持續(xù)生存性與局部滅絕性的充分條件，少有關(guān)于種群系統(tǒng)持久性的結(jié)果。以此為出發(fā)點(diǎn)，針對(duì)競爭、互惠、捕食的三種種間關(guān)系，本文建立污染環(huán)境中具有雙重噪聲擾動(dòng)的隨機(jī)三種群模型，探討了該種群系統(tǒng)的隨機(jī)持久性，獲得了以下結(jié)論：當(dāng)種群的內(nèi)稟增長率、生物的體內(nèi)毒素濃度、及雙重噪聲擾動(dòng)之間滿足關(guān)系