瞬態(tài)瑞雷面波法檢測(cè)路基填筑質(zhì)量的定量分析

李炳秀 何明峰

(中國(guó)鐵路設(shè)計(jì)集團(tuán)有限公司，天津 300142)

1 概述

鐵路路基填筑質(zhì)量對(duì)鐵路運(yùn)輸安全至關(guān)重要。目前常用的路基填筑質(zhì)量檢測(cè)方法，如環(huán)刀法、灌砂法、靜載荷試驗(yàn)等，是隨機(jī)檢測(cè)單個(gè)點(diǎn)上的壓實(shí)度和地基系數(shù)，很難對(duì)路基進(jìn)行普查，而且隨機(jī)采樣的檢測(cè)結(jié)果往往缺乏代表性。瑞雷面波法能夠無損快速地對(duì)鐵路路基填筑質(zhì)量進(jìn)行連續(xù)檢測(cè)，克服了傳統(tǒng)路基檢測(cè)方法的不足。然而瑞雷面波法求得的各層瑞雷波速值只能說明填筑各層的軟硬程度和填筑強(qiáng)度的均勻性，無法定量評(píng)價(jià)路基填筑質(zhì)量。因此，求解瑞雷波速和壓實(shí)度、地基系數(shù)的相關(guān)性，實(shí)現(xiàn)瑞雷面波法檢測(cè)的定量分析具有十分重要的意義。

瑞雷面波最早由Rayleigh[1]在計(jì)算半空間自由界面中的平面波傳播時(shí)發(fā)現(xiàn)。Haskell[2]計(jì)算出了瑞雷面波在不同介質(zhì)中的頻散特性，給出了對(duì)應(yīng)的頻散曲線。Hesisey等[3]提出了瞬態(tài)瑞雷面波法的頻率域分析方法，進(jìn)一步推進(jìn)了瑞雷面波法的理論研究。1996年，劉云偵等[4]自主研制了SWS瞬態(tài)面波多道數(shù)據(jù)采集處理系統(tǒng)。盧寧等[5]應(yīng)用瑞雷面波法檢測(cè)公路路堤的填方量并取得了一定成果。范躍武等[6]利用τ-p變換來有效提取采集數(shù)據(jù)中的面波反射，并應(yīng)用瑞雷面波法檢測(cè)路基密實(shí)度。李海[7]討論了瑞雷波速與路基承載力之間的關(guān)系，并給出了兩者的相關(guān)性公式。李青山等[8]通過建立數(shù)學(xué)模型分析討論瑞雷波速與壓實(shí)度的相關(guān)性。董海文等[9]計(jì)算了瑞雷波速與壓實(shí)度的回歸經(jīng)驗(yàn)公式。上官位等[10]通過分析瑞雷波速度與動(dòng)力觸探和靜載結(jié)果，給出了路基承載力和瑞雷波速的線性相關(guān)公式。林向東[11]將BP人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型應(yīng)用在瑞雷面波法檢測(cè)中，通過網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)訓(xùn)練來快速計(jì)算波速值所對(duì)應(yīng)的壓實(shí)度。劉曉敏[12]對(duì)比分析了瑞雷面波法檢測(cè)結(jié)果和灌砂法測(cè)試結(jié)果，確定了瑞雷波法檢測(cè)路基壓實(shí)度的可行性。劉超英等[13]通過對(duì)比分析瞬態(tài)瑞雷波速值和現(xiàn)場(chǎng)鉆孔取樣室內(nèi)填筑材料的干密度試驗(yàn)資料，建立了瑞雷波波速與干密度的相關(guān)關(guān)系。

以下分析瑞雷波速與路基填筑干密度、地基系數(shù)的相關(guān)關(guān)系，給出擬合瑞雷波速與干密度、地基系數(shù)的數(shù)學(xué)回歸公式，并結(jié)合工程實(shí)例計(jì)算在滿足壓實(shí)度(或孔隙率)和地基系數(shù)設(shè)計(jì)要求下所需要達(dá)到的最小瑞雷波速值。通過上述回歸分析的過程，實(shí)現(xiàn)了瞬態(tài)瑞雷面波法的定量分析，解決了以往瑞雷面波法無法定量評(píng)價(jià)路基質(zhì)量的問題。另外，將相關(guān)數(shù)學(xué)公式編入Excel表格，使其能夠自動(dòng)計(jì)算出瑞雷面波的數(shù)學(xué)回歸公式和最小瑞雷波速，方便了實(shí)際工程應(yīng)用。

2 基本原理

地震波分為兩類，即體波和面波[14]，體波包括縱波(P波)和橫波(S波)。當(dāng)介質(zhì)中存在分界面時(shí)，體波在一定條件下會(huì)相互干涉并迭加產(chǎn)生出一種頻率較低、能量較強(qiáng)的次生波，因其主要沿介質(zhì)的分界面?zhèn)鞑ィ史Q為面波。面波分為兩類，即瑞雷波和勒夫波。

當(dāng)在各向均勻介質(zhì)中傳播時(shí)，瑞雷波速與介質(zhì)的物理力學(xué)性質(zhì)有關(guān)，與頻率無關(guān)。當(dāng)在水平分層介質(zhì)中傳播時(shí)，瑞雷波速除與介質(zhì)性質(zhì)有關(guān)，還隨頻率的變化而改變，表現(xiàn)出頻散特性[15]。不同頻率的瑞雷面波傳播深度不同，可根據(jù)瑞雷面波的頻散特性劃分層位并計(jì)算各層的瑞雷波速值。瑞雷波速與介質(zhì)性質(zhì)存在相關(guān)性，可根據(jù)計(jì)算出的瑞雷波速值反演各層介質(zhì)的物理力學(xué)參數(shù)(壓實(shí)度和地基系數(shù))，從而實(shí)現(xiàn)路基填筑質(zhì)量的定量評(píng)價(jià)。

在瞬態(tài)瑞雷面波法檢測(cè)中，震源激發(fā)產(chǎn)生一個(gè)包含一定頻率范圍的瞬態(tài)激勵(lì)，某接收點(diǎn)記錄到的瑞雷面波有如下所示的頻譜形式

(1)

其中，f1(t)是時(shí)間域波形函數(shù)，F(xiàn)1(ω)是頻譜，ω是圓頻率。

與該接收點(diǎn)相距ΔX距離的另一接收點(diǎn)記錄到的瑞雷面波頻譜F2(ω)為

(2)

其中，f2(t)是該接收點(diǎn)記錄到的時(shí)間域波形函數(shù)。兩接收點(diǎn)頻譜間存在下列關(guān)系式

(3)

其中，VR(ω)是圓頻率為ω時(shí)瑞雷面波的相速度。

公式(3)可寫為如下相位差表示的形式

F2(ω)=F1(ω)e-iφ

(4)

其中，φ是F1(ω)和F2(ω)的相位差。根據(jù)公式(3)和公式(4)，有

(5)

即

(6)

公式(6)表明，已知兩個(gè)接收點(diǎn)的距離和每個(gè)頻率的相位差，便可以計(jì)算出每個(gè)頻率的相速度。對(duì)單個(gè)接收點(diǎn)，分別計(jì)算出不同頻率對(duì)應(yīng)的速度值，就可以得到頻率速度曲線，即頻散曲線。

對(duì)多通道瑞雷面波法檢測(cè)，瑞雷波速可寫為

(7)

或

(8)

其中，VR是瑞雷波速，Δx是檢波器道間距，Δt是相鄰檢波器接收到面波的時(shí)間差，f是頻率，Δφ是相位差，N+1是檢波器個(gè)數(shù)。公式(8)表明瑞雷波速與頻率有關(guān)，通過反演VR-f曲線，即頻散曲線，可以得到不同深度下的瑞雷波速。

頻散曲線的反演建立在彈性波理論的基礎(chǔ)上。根據(jù)彈性波理論，瑞雷面波的能量主要集中在一個(gè)面波波長(zhǎng)深度范圍內(nèi)，而半波長(zhǎng)理論表明，瑞雷波平均速度反映的是半波長(zhǎng)深度處介質(zhì)的平均彈性性質(zhì)，故瑞雷波速和勘探深度有如下關(guān)系

(9)

其中，H是勘探深度，λ是面波波長(zhǎng)。

根據(jù)公式(9)，可將頻散曲線轉(zhuǎn)換為深度速度曲線，可得到該接收點(diǎn)處不同深度介質(zhì)的瑞雷波速值。

瑞雷波與介質(zhì)性質(zhì)的相關(guān)性可由剪切波進(jìn)行推導(dǎo)。由彈性力學(xué)公式可知

(10)

其中，VS是剪切波速，G是剪切模量，ρ是密度。

在等效半空間條件下，瑞雷波速VR與剪切波速VS有如下關(guān)系式

(11)

其中，μ為地層泊松比，對(duì)于常用的鐵路路基填筑土體，可以近似認(rèn)為瑞雷波速等于剪切波速，即

(12)

剪切模量G與彈性模量E間存在如下正比關(guān)系

G=αE

(13)

其中，α是比例系數(shù)(α≤1)，當(dāng)土的密度增加時(shí)，α接近于1。對(duì)特定介質(zhì)，α為常數(shù)。

根據(jù)地基系數(shù)K30的計(jì)算公式

E=0.79(1-μ2)DK30

(14)

其中，D是荷載板直徑。聯(lián)立公式(12)到公式(14)，推導(dǎo)出瑞雷波速和地基系數(shù)的相關(guān)公式為

(15)

目前，國(guó)內(nèi)外關(guān)于密度與瑞雷波速關(guān)系的研究表明，兩者之間存在以下冪函數(shù)關(guān)系式

(16)

其中，A和B為函數(shù)系數(shù)，對(duì)特定介質(zhì)為常數(shù)。將公式(16)代入公式(15)可知，地基系數(shù)與瑞雷波速的冪指數(shù)成正比關(guān)系，即

(17)

其中，

(18)

對(duì)特定介質(zhì)，A，B，μ，D，和α均為常數(shù)，所以a和b也是常數(shù)。

壓實(shí)度K的計(jì)算公式[16]為

(19)

其中，ρ0是最大干密度，對(duì)特定介質(zhì)為常數(shù)。將公式(16)代入公式(19)，壓實(shí)度K與瑞雷波速VR也有如下冪函數(shù)形式的關(guān)系式

(20)

其中，c和d是函數(shù)系數(shù)。公式(17)和公式(20)表明，壓實(shí)度和地基系數(shù)與瑞雷波速的冪函數(shù)存在正比關(guān)系，這一關(guān)系式是進(jìn)行瑞雷波法定量分析的理論基礎(chǔ)。在實(shí)際工程應(yīng)用中，由于路基填料的性質(zhì)變化較大，土體模型并不滿足理想的等效半空間各項(xiàng)同性介質(zhì)的條件。為此，在理論公式的基礎(chǔ)上，利用試驗(yàn)數(shù)據(jù)的回歸分析來確定最佳擬合參數(shù)，并計(jì)算在符合路基填筑設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)下所需的最小瑞雷波速。

對(duì)含有兩個(gè)未知數(shù)的冪函數(shù)方程，當(dāng)要擬合的數(shù)據(jù)點(diǎn)大于兩個(gè)時(shí)，回歸過程可寫為如下所示的超定方程組

(21)

其中，y代表壓實(shí)度或地基系數(shù)，x代表瑞雷波速，n是要擬合的數(shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù)(n為整數(shù)且n>2)，a和b是待求擬合參數(shù)。公式(21)中方程個(gè)數(shù)大于未知數(shù)個(gè)數(shù)，方程組超定，常用的求解方法是在最小二乘意義下進(jìn)行非線性擬合，即求取滿足目標(biāo)函數(shù)時(shí)a和b的值

(22)

求出a和b后，將設(shè)計(jì)參數(shù)要求的最小壓實(shí)度或地基系數(shù)代入冪函數(shù)回歸方程，即可得到對(duì)應(yīng)的最小瑞雷波速。

3 工程實(shí)例

根據(jù)某鐵路路基基床表層的瑞雷面波、干密度、和地基系數(shù)采集數(shù)據(jù)，分別計(jì)算瑞雷波速與干密度、地基系數(shù)的冪函數(shù)回歸方程，并用擬合誤差和相關(guān)系數(shù)來驗(yàn)證回歸擬合的準(zhǔn)確性。最后，根據(jù)該段鐵路路基的設(shè)計(jì)參數(shù)要求，利用回歸方程預(yù)測(cè)出滿足設(shè)計(jì)要求的最小瑞雷波速。所有計(jì)算過程被編入Excel表，以方便實(shí)際工程應(yīng)用。

該段鐵路路基基床表層分別采用灌砂法、K30和瑞雷面波法進(jìn)行檢測(cè)。瑞雷面波法配套儀器為國(guó)產(chǎn)SWS-6工程勘探與工程檢測(cè)儀。根據(jù)該段路基的測(cè)試段落長(zhǎng)度，選擇測(cè)點(diǎn)間距為5 m。每個(gè)測(cè)點(diǎn)使用12道4 Hz低頻檢波器采集信號(hào)，采樣間隔0.1 ms，記錄長(zhǎng)度200 ms，道間距1.0 m，偏移距2.0 m。采用50 kg級(jí)落錘錘擊墊板作為單邊激發(fā)震源，每個(gè)測(cè)點(diǎn)重復(fù)檢測(cè)一次。

得到瑞雷面波數(shù)據(jù)后，可以通過一系列數(shù)據(jù)處理得到每個(gè)測(cè)點(diǎn)處的瑞雷波速。首先，在時(shí)間距離(X-T)域設(shè)置面波時(shí)距窗口和頻率范圍，保留時(shí)窗中的有效信號(hào)并去除時(shí)窗外的干擾信號(hào)。其次，將X-T域中的瑞雷面波數(shù)據(jù)通過傅里葉變換轉(zhuǎn)換到頻率波數(shù)(F-K)域。在F-K域選定基階面波的能量峰脊，計(jì)算出不同頻率對(duì)應(yīng)的瑞雷波速，畫出頻散曲線。根據(jù)得到的頻散數(shù)據(jù)以及頻率與面波勘探深度的關(guān)系式，在設(shè)置初始地層參數(shù)后，經(jīng)過人機(jī)聯(lián)作，優(yōu)化擬合，將頻散曲線轉(zhuǎn)換為深度速度(Z-V)曲線，得到在深度速度(Z-V)域的瑞雷面波數(shù)據(jù)，從而計(jì)算出采集排列測(cè)點(diǎn)下方介質(zhì)瑞雷波速的分層斷面和基床表層各位置的瑞雷波速值。

干密度和對(duì)應(yīng)測(cè)點(diǎn)處瑞雷波速數(shù)據(jù)如表1所示。

根據(jù)公式(16)和表1的數(shù)據(jù)，利用最小二乘法非線性擬合，建立干密度與瑞雷波速的回歸方程

(23)

回歸方程的相關(guān)系數(shù)為0.953，其回歸曲線如圖1所示。

表1 干密度和瑞雷波速數(shù)據(jù)

圖1 干密度與瑞雷波速回歸曲線

利用公式(23)和瑞雷波速反算干密度，如表2所示。

表2表明，公式(23)的平均擬合誤差為1%，最大擬合誤差不大于2.5%。另外，其相關(guān)系數(shù)大于95%，證明了回歸方程的準(zhǔn)確性。

表2 干密度和反算干密度對(duì)比

該段鐵路路基基床表層使用的是A組填料，設(shè)計(jì)參數(shù)為孔隙率小于等于31%，土的顆粒密度為2.71 g/cm3。為求出滿足設(shè)計(jì)參數(shù)要求的最小瑞雷波速，首先根據(jù)孔隙率計(jì)算公式求得當(dāng)孔隙率等于31%時(shí)，干密度為1.87 g/cm3。然后將該干密度值代入公式(23)，求得對(duì)應(yīng)的瑞雷波速為182 m/s。該瑞雷波速值即是滿足設(shè)計(jì)參數(shù)要求的最小瑞雷波速，當(dāng)路基基床表層瑞雷波速大于等于182 m/s時(shí)，即可視為該處路基填筑滿足設(shè)計(jì)的最大孔隙率要求。

下面推導(dǎo)地基系數(shù)與瑞雷波速的關(guān)系式。在刪除偏差較大的采集數(shù)據(jù)后，該段鐵路路基基床表層地基系數(shù)和瑞雷面波法檢測(cè)數(shù)據(jù)如表3所示。

表3 地基系數(shù)和瑞雷波速數(shù)據(jù)

根據(jù)公式(17)和表3的數(shù)據(jù)，利用最小二乘法非線性擬合，建立地基系數(shù)與瑞雷波速的回歸方程

(24)

回歸方程的相關(guān)系數(shù)為0.995，其回歸曲線如圖2所示。

圖2 地基系數(shù)與瑞雷波速回歸曲線

利用公式(24)和瑞雷波速反算地基系數(shù)，如表4所示。

表4 地基系數(shù)和反算地基系數(shù)對(duì)比

由表4可知，公式(24)的平均擬合誤差為1.56%，最大擬合誤差不大于4%。另外，其相關(guān)系數(shù)大于99%，證明了回歸方程的準(zhǔn)確性。該段鐵路路基基床表層設(shè)計(jì)地基系數(shù)大于等于120 MPa/m，將其代入公式(24)，求得對(duì)應(yīng)的瑞雷波速為145 m/s，即當(dāng)路基基床表層瑞雷波速大于等于145 m/s時(shí)，該處路基填筑滿足設(shè)計(jì)的最小地基系數(shù)要求。

為方便實(shí)際工程應(yīng)用，將上述計(jì)算過程編入Excel表格，對(duì)不同地區(qū)和填料的路基，使用時(shí)只需將采集的瑞雷波速、干密度(或壓實(shí)度)和地基系數(shù)填入表格，即可自動(dòng)求出該段路基在滿足設(shè)計(jì)要求條件下的最小瑞雷波速，實(shí)現(xiàn)瑞雷面波法的定量分析評(píng)價(jià)。回歸分析時(shí)用到的數(shù)據(jù)量越大，數(shù)據(jù)偏差就越小，最后得到的結(jié)果越準(zhǔn)確。

4 結(jié)論

瞬態(tài)瑞雷面波法能夠?qū)崿F(xiàn)路基填筑質(zhì)量的無損快速連續(xù)檢測(cè)，面波法只能檢測(cè)出路基軟硬程度，無法對(duì)路基填筑質(zhì)量進(jìn)行定量評(píng)價(jià)。本文提供了一種定量分析方法，并通過工程實(shí)例進(jìn)行驗(yàn)證，得到以下結(jié)論：

(1)給定壓實(shí)度和地基系數(shù)的設(shè)計(jì)值，利用二者與瑞雷波速的回歸方程可以計(jì)算出相應(yīng)的瑞雷波速設(shè)計(jì)值，即當(dāng)瑞雷波速大于等于該值時(shí)路基填筑質(zhì)量合格。由此解決了以往瑞雷面波法只能定性判斷路基填筑軟弱夾層的缺陷，實(shí)現(xiàn)了瑞雷面波法對(duì)路基填筑質(zhì)量的定量分析，簡(jiǎn)化了路基填筑質(zhì)量的檢測(cè)過程。

(2)理論推導(dǎo)表明，冪函數(shù)形式的回歸方程是瑞雷波速與干密度、地基系數(shù)的最佳擬合函數(shù)。工程實(shí)例進(jìn)一步驗(yàn)證了冪函數(shù)回歸方程具有較大的相關(guān)系數(shù)和較小的擬合誤差，證明了回歸方程的準(zhǔn)確性。

(3)最小二乘法非線性擬合是求解冪函數(shù)回歸方程的最優(yōu)化數(shù)學(xué)方法，擬合用的數(shù)據(jù)越多，求出的回歸方程準(zhǔn)確度越高。

(4)求出回歸方程后，將干密度和地基系數(shù)的設(shè)計(jì)參數(shù)代入回歸方程，求出滿足設(shè)計(jì)要求的最小瑞雷波速，可為瞬態(tài)瑞雷面波法的定量分析提供評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。