兩端固支屈曲梁準零剛度隔振器的微振動隔振性能分析

王云峰， 李 博， 王利桐

(天津航天機電設備研究所 天津市微低重力環(huán)境模擬技術重點實驗室，天津 300458)

航天器微振動通常是指在空間微低重力環(huán)境下由航天器上活動部件工作產(chǎn)生的一種幅值較低(微米級)、帶寬位于1～1 kHz的振動或擾動[1]。產(chǎn)生微振動的活動部件有控制力矩陀螺(Control Moment Gyro, CMG)、太陽翼驅(qū)動機構(Solar Array Drive Assembly Mechanism, SADAM)以及動量輪(Momentum Wheel Assembly, MWA)等[2]，由于空間環(huán)境阻尼較小，整星抖動會長時間持續(xù)存在，影響相機等高精度敏感設備正常工作。因此，減少微振動向相機有效載荷的傳遞，對提高相機成像質(zhì)量具有重要意義。

準零剛度系統(tǒng)一般是通過正剛度和負剛度系統(tǒng)并聯(lián)來實現(xiàn)，典型的準零剛度系統(tǒng)結構型式是使用線性豎向彈簧和斜向彈簧并聯(lián)[5-9]，其他實現(xiàn)準零剛度的途徑還有：利用空氣彈簧[10]、碟形彈簧[11]、凸輪-彈簧機構[12]、電磁鐵[13]、歐拉屈曲梁等。其中歐拉屈曲梁準零剛度系統(tǒng)通過使用歐拉屈曲梁提供負剛度，與正剛度彈簧并聯(lián)，具有較好的低頻隔振性能。

文獻[14]中屈曲梁兩端通過鉸接與負載和基座相連，由于鉸接中存在間隙，不利于微振動隔振[15]，Platus[16]利用兩端固支屈曲梁建立豎向準零剛度隔振系統(tǒng)，有效避免鉸接間隙的影響，但未對固支屈曲梁結構參數(shù)對隔振性能的影響展開深入分析。Benjamin等[17]將兩端固支屈曲梁準零剛度隔振器用于振動和沖擊隔離研究，取得明顯的隔振和隔沖效果，但文中屈曲梁負剛度中忽略了高階項的影響，并且未從理論上對系統(tǒng)的整體動力學特性進行分析。

本文以微振動隔振為目標，研究使用兩端固支屈曲梁準零剛度隔振系統(tǒng)進行微振動隔振，首先分析兩端固支屈曲梁負剛度的產(chǎn)生機理，其次，通過理論計算，分析屈曲梁和線性彈簧并聯(lián)的準零剛度特性，考慮不同阻尼和擾動幅值系統(tǒng)傳遞率的影響，最后，通過仿真對系統(tǒng)的隔振性能進行了驗證。

1 兩端固支屈曲梁負剛度模型

預壓梁結構屈曲形式包括線性屈曲和非線性屈曲兩種，在橫向大位移、大變形條件下，梁結構在兩個穩(wěn)態(tài)之間跳轉會發(fā)生非線性屈曲，表現(xiàn)出復雜的動力學行為[18]。在橫向小位移條件下，梁結構在兩個穩(wěn)態(tài)之間的跳轉可近似為一階模態(tài)屈曲，在橫向力作用下，屈曲梁的跳轉過程如圖1所示。

圖1 橫向力作用下屈曲梁一階模態(tài)跳轉

如圖2所示，為得到屈曲梁的負剛度模型，令兩端固支梁的右固定端從位置a移到位置b，在軸向產(chǎn)生預緊力P，在x方向產(chǎn)生位移ux。在梁中點處施加一個y向力F，中心位置在y向產(chǎn)生位移uy。

圖2 預壓屈曲梁受力簡圖

變形后梁的撓曲線滿足兩端固支梁的一階模態(tài)振型

(1)

則屈曲梁撓曲線的長為[19]

(2)

令梁原長為l0，即l0=lc+ux，則梁軸向壓縮產(chǎn)生的勢能為

(3)

梁彎曲變形產(chǎn)生的勢能為

(4)

梁變形產(chǎn)生的全部勢能與施加的力F之間滿足

(5)

得到系統(tǒng)剛度為

(6)

梁的軸向剛度為

(7)

(8)

(9)

圖3 不同值對應屈曲梁剛度值曲線

在豎向并聯(lián)一個剛度為k1的線性彈簧后，如圖4所示，豎向力與梁中點位移變?yōu)?/p>

(10)

對uy求導并無量綱化處理后，得到剛度為

(11)

(12)

圖4 屈曲梁-彈簧系統(tǒng)結構圖

2 屈曲梁準零剛度系統(tǒng)動力學模型

為實現(xiàn)超低頻隔振的目的，將屈曲梁負剛度系統(tǒng)與具有正剛度的線性彈簧并聯(lián)，構建準零剛度隔振系統(tǒng)，其結構原理圖如圖6所示。

圖6中，線性彈簧剛度為k，系統(tǒng)阻尼系數(shù)為c，基礎產(chǎn)生的位移激勵為uh，質(zhì)量為m的負載產(chǎn)生的位移為uy，令y=uy-uh為負載相對基礎的位移，其中，uh=Hsin(ωt)，利用拉格朗日方法建立系統(tǒng)的動力學模型。

線性彈簧的壓縮勢能為

(13)

質(zhì)量塊的動能為

(14)

得到拉格朗日函數(shù)

L=T-Uc-Ub-Uk

(15)

計算得到無量綱化的系統(tǒng)動力學模型為

(16)

(a) 不同值對應屈曲梁-線性彈簧剛度值曲線

(b)不同值對應屈曲梁-線性彈簧剛度值曲線

圖6 屈曲梁-彈簧準零剛度隔振系統(tǒng)

利用諧波平衡法求解系統(tǒng)的響應，假設式(16)的解為

(17)

將式(17)代入式(16)中，并令方程兩邊的諧波項系數(shù)相等，可得

(18)

(19)

(20)

由式(19)計算得到響應幅值后，利用式(18)可求得系統(tǒng)絕對位移傳遞率為

(21)

(22)

則系統(tǒng)響應有界必須滿足

(23)

圖7 不同阻尼下系統(tǒng)響應

當阻尼大于臨界阻尼時，令ξ分別取0.203，0.208，0.211和0.206，得到位移傳遞率如圖8所示?？梢娮枘岜圈?0.203時傳遞率曲線較大程度上向右彎曲，表明響應衰減效果較差，系統(tǒng)不穩(wěn)定區(qū)間較大，對系統(tǒng)隔振不利；隨著阻尼比的增加，傳遞率曲線的共振峰明顯減小，同時向下跳躍頻率左移，減小了系統(tǒng)的不穩(wěn)定區(qū)間，ξ=0.216時傳遞率曲線的不穩(wěn)定區(qū)間消失，傳遞率的共振峰值進一步降低?？梢姡m度增加阻尼比對改善系統(tǒng)不穩(wěn)定區(qū)間和降低傳遞率峰值具有積極的作用。

圖8 不同阻尼對應的位移傳遞率

圖9 不同激勵幅值對應的位移傳遞率

3 隔振系統(tǒng)仿真

在前文屈曲梁隔振準零剛度系統(tǒng)性能分析的基礎上，為綜合驗證系統(tǒng)的隔振能力，在SIMULINK環(huán)境下對該系統(tǒng)進行仿真。仿真模型中參數(shù)設置如表1所示。

表1 仿真模型參數(shù)

SIMULINK模型結構如圖10所示。為得到基礎擾動的正弦掃頻信號，在Matlab工作空間中生成0～10 Hz幅值為0.5 mm的正弦掃頻信號，并對其求微分，得到的的數(shù)據(jù)被模型中Input_vel模塊從工作空間導入用作地基速度擾動信號，在模型中積分后即為基礎的位移擾動。其中設置采樣間隔0.01 s，采樣時間為500 s。

圖10 SIMULINK仿真模型

仿真得到的基礎擾動與負載位移響應，取前100 s數(shù)據(jù)對比如圖11(a)所示，可見在掃頻起始階段響應信號有較大的幅值，隨頻率的增加響應的幅值逐漸減小，隔振效果明顯。

由仿真結果可知，屈曲梁準零剛度隔振系統(tǒng)對擾動具有明顯的抑制作用，與線性系統(tǒng)相比尤其對低頻、超低頻的擾動具有良好的隔振效果。

(a) 時域響應-擾動對比

(b) 線性系統(tǒng)與準零剛度系統(tǒng)傳遞率曲線對比

4 結 論

本文以星上微振動隔離為目標，分析了兩端固支屈曲梁準零剛度隔振系統(tǒng)的動力學特性。推導得出了屈曲梁系統(tǒng)的負剛度產(chǎn)生機理，得到了屈曲梁正負剛度并聯(lián)系統(tǒng)在靜平衡位置的零剛度條件，并利用諧波平衡法得到兩端固支屈曲梁準零剛度隔振系統(tǒng)的位移響應、傳遞率與擾動頻率之間的關系，最后通過仿真對隔振系統(tǒng)的性能進行了驗證。結果表明，在高頻段兩種隔振系統(tǒng)都能夠得到較好的隔振效果；在線性系統(tǒng)固有頻率位置，線性隔振系統(tǒng)出現(xiàn)位移放大(傳遞率大于1)，而準零剛度隔振系統(tǒng)在此位置隔振效率達到-30 dB；在低頻和超低頻段，屈曲梁準零剛度系統(tǒng)的隔振性能明顯優(yōu)于線性系統(tǒng)。

本文對兩端固支屈曲梁隔振器進行了理論和仿真分析，在此基礎上，接下來的工作需要通過實驗對其動力學特征和隔振性能作進一步分析和驗證，以推進其工程應用。