淺析可導(dǎo)函數(shù)一致連續(xù)性的判定方法

劉旭堂

摘要：可導(dǎo)函數(shù)的一致連續(xù)性是高等數(shù)學(xué)當(dāng)中的重要內(nèi)容，本文主要研究了如何通過一致連續(xù)性的定理來對可導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行一致連續(xù)性判斷的方法，使可導(dǎo)函數(shù)的一致連續(xù)性判斷更加簡潔、明了。

關(guān)鍵詞：可導(dǎo)函數(shù)；一致連續(xù)性；判定；方法

在高等數(shù)學(xué)中，有很多種方法可以證明函數(shù)的一致連續(xù)性，但是大多數(shù)都是使用定義來進(jìn)行判定，比如：假設(shè)f（x）為定義在區(qū)間I上的函數(shù)，如果對于任意的ε>0，存在δ=δ（ε）>0，對于任意的x′，x〞∈I，那么只要|x′-x〞|<ε，我們就可以說f（x）在區(qū)間I上是一致連續(xù)的。還可以根據(jù)一致連續(xù)性定理來進(jìn)行判定，比如：假設(shè)函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上是連續(xù)的，那么f（x）在閉區(qū)間[a，b]上就是一致連續(xù)的。由此可見，利用定義來證明函數(shù)的一致連續(xù)性比較復(fù)雜，使用一致連續(xù)性定理來證明函數(shù)的一致連續(xù)性則比較簡單，但是定理證明的范圍僅限于閉區(qū)間，如果函數(shù)是在其他類型，如開區(qū)間或者半開半閉區(qū)間則不適用，如何找到一個方便實用的函數(shù)連續(xù)一致性判定方法稱為數(shù)學(xué)界一直以來重點研究的問題。

引理：如果f（x）在區(qū)間I1上具有一致連續(xù)性，在區(qū)間I2上也具有一致連續(xù)性，并且I1∩I2≠Φ，那么f（x）在I1∪I2上具有一致連續(xù)性。

1.利用導(dǎo)數(shù)判別可導(dǎo)函數(shù)的一致連續(xù)性

定理1：假設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間I上可導(dǎo)，并且它的導(dǎo)函數(shù)f′（x）在區(qū)間I上有界，那么f（x）在區(qū)間I上具有一致連續(xù)性。

推論1：假設(shè)f（x）在[a，﹢∞]上是連續(xù)的，并且在（a，﹢∞）上可導(dǎo)，如果f′（x）在﹢∞的某鄰域內(nèi)有界，那么f（x）在[a，﹢∞]上是一致連續(xù)的。

證明：由上述條件可知，?X>a和L>0，當(dāng)x∈[X，﹢∞）時，| f′（x）|≤L，通過定理1可以推算出f（x）在[X，﹢∞）上具有一致連續(xù)性。由于f（x）在[a，﹢∞）上是連續(xù)的，所以f（x）在[a，X]上具有一致連續(xù)性。通過引理1可得，f（x）在[a，﹢∞）上具有一致連續(xù)性。

推論2：如果f（x）在（a，b）上可導(dǎo)，并且f′（x）在點a的某右鄰域內(nèi)有界，在點b的某左鄰域內(nèi)有界，那么f（x）在（a，b）上具有一致連續(xù)性。

推論3：如果f（x）在（a，b）上可導(dǎo)，并且 |f′（x）|和 |f′（x）|能夠同時存在，那么f（x）在（a，b）上具有一致連續(xù)性。反之則不能夠成立。

定理2：假設(shè)f（x）在[a，﹢∞）上是連續(xù)的，并且在（a，﹢∞）上可導(dǎo)， |f′（x）|=A，那么f（x）在[a，﹢∞）上具有一致連續(xù)性的充要條件為A<﹢∞。

例1：f（x）=logax，x∈[c，﹢∞），其中a>0，并且a≠1，c>0。f′（x）= · |f′（x）|=0，通過上述定理2可得，f（x）=logax在[c，﹢∞）上具有一致連續(xù)性。

2.采取比較判別法判定函數(shù)的連續(xù)一致性

定理3：假設(shè)函數(shù)f（x）和g（x）在區(qū)間I上可導(dǎo)，如果存在L>0，能夠使?x∈I，有|g′（x）|

證明：假設(shè)f（x）在區(qū)間I上具有一致連續(xù)性，那么?ε>0，?δ>0，當(dāng)x1，x2∈I，并且|x1-x2|<δ時，|f（x1）-f（x2）|< 。通過柯西中值定理能夠得出，在x1與x2之間存在一點ξ，能夠使| |=| |

假設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間I上具有一致連續(xù)性，從上述結(jié)論中可知，g（x）在區(qū)間I上也具有一致連續(xù)性，所以當(dāng)g（x）在區(qū)間I上不具有一致連續(xù)性時，f（x）在區(qū)間I上也不具有一致連續(xù)性。

推論1：假設(shè)函數(shù)f（x）和函數(shù)g（x）在（a，b]上是連續(xù)的，并且在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)， | |=l，那么（1）當(dāng)0

證明：（1）當(dāng)0

如果f（x）在（a，b]上具有一致連續(xù)性，那么f（x）在（a，c]上也具有一致連續(xù)性，根據(jù)定理3可得，左端不等式g（x）在（a，c]上也具有一致連續(xù)性，由于g（x）在[c，b]上具有連續(xù)性，那么g（x）在[c，b]上具有一致連續(xù)性。

如果g（x）在（a，b]上具有一致連續(xù)性，由右端不等式可以得出，f（x）在（a，b]上也具有一致連續(xù)性。

（2）當(dāng)l=0時，由函數(shù)的局部保號性可得，存在c∈（a，b），能夠使x∈（a，c]時，| |<1，也就是| f′（x）|<| g′（x）|。由（1）的推導(dǎo)過程可知，如果g（x）在（a，b]上具有一致連續(xù)性，那么f（x）在（a，b]上也具有一致連續(xù)性。

（3）當(dāng)l=﹢∞時， | |=0，由（2）的結(jié)論可知，如果f（x）在（a，b]上具有一致連續(xù)性，那么g（x）在（a，b]上也具有一致連續(xù)性。所以當(dāng)g（x）在（a，b]上不具有一致連續(xù)性時，f（x）在（a，b]上也不具有一致連續(xù)性。

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